Школьная задача о движении по наклонной плоскости

[Igrickiy(senior)]

Задача.
Достаточно известная.
По сути о демонстрации принципа относительности Галилея.

На идеально гладкой наклонной плоскости с углом наклона $\alpha$ на высоте $H$ от основания удерживается идеально гладкий брусок. Определить скорость бруска после соскальзывания и плавного перехода на идеально гладкий горизонтальный участок.

Решаем двумя способами в двух разных ИСО, используя закон сохранения полной механической энергии: в замкнутых консервативных системах полная механическая энергия сохраняется. Или так: изменение полной механической энергии равно работе внешних или неконсервативных сил.

1. Рассматриваем движение в ИСО, в которой наклонная плоскость неподвижна.
Начальная энергия $E_1 = m g H + 0$
Конечная энергия на горизонтальной поверхности $E_2 = 0 + \frac {m V^2}{2}$.
Изменение энергии $E_2 - E_1 = 0$, так как неконсервативных сил нет, а работа внешних сил равна 0.
Отсюда $V = \sqrt{2 g H}$.

2. Рассмотрим движение в СО, в которая движется относительно наклонной плоскости со скоростью $V = \sqrt{2 g H}$.
В это системе брусок имеет начальную скорость $V = \sqrt{2 g H}$.
$E_1= m g H + \frac{m V^2}{2} = m g H + m g H = 2 m g H$.
$E_2 = 0 + 0$, так брусок после скатывания относительно этой системы неподвижен.
Изменение полной энергии $E_2 - E_1 = 0 - 2 m g H = - 2 m g H$.


Вопрос:
в чем причина такого расхождения
Предлагаю не просто объяснить, а точно всё вычислить.

[Alex-Yu]

Igrickiy(senior) в сообщении #1393870 писал(а):

Рассмотрим движение в СО, в которая движется относительно наклонной плоскости со скоростью

В этой СО энергия не сохраняется. Ибо потенциал зависит от времени явно, нет однородности относительно сдвигов времени. Так что Ваши вычисления можно выкинуть в корзину. Хотите описывать в этой СО -- решайте диффур и никакой энергии.

[pogulyat_vyshel]

Igrickiy(senior) в сообщении #1393870 писал(а):

Рассмотрим движение в СО, в которая движется относительно наклонной плоскости со скоростью $V = \sqrt{2 g H}$.

Если скорость СО направлена горизонтально, то относительно нее сила реакции совершает работу.

[Igrickiy(senior)]

pogulyat_vyshel в сообщении #1393876 писал(а):

В этой СО энергия не сохраняется.

Что так?

Alex-Yu в сообщении #1393874 писал(а):

Ибо потенциал зависит от времени явно, нет однородности относительно сдвигов времени.

Можно об этом же на школьном уровне?

Alex-Yu в сообщении #1393874 писал(а):

Так что Ваши вычисления можно выкинуть в корзину.

Можно выкинуть?
Выкидывайте!

(Оффтоп)

А я подожду немного: подходящей корзинки нет.

Alex-Yu в сообщении #1393874 писал(а):

Хотите описывать в этой СО -- решайте диффур и никакой энергии.

Ага!
Хочу.

(Оффтоп)

Но оставлю всё так, как есть: без диффуров и с энергией.
Вы уж не обессудьте!

pogulyat_vyshel в сообщении #1393876 писал(а):

Если скорость СО направлена горизонтально, то относительно нее сила реакции совершает работу.

Именно об этом и речь!

[StaticZero]

(Оффтоп)

По моему разумению, товарищ предлагает эти вопросы школьными методами решать. А вы его дифференциальными уравнениями по башке...

[Igrickiy(senior)]

StaticZero

(Оффтоп)

Я имел удовольствие несколько раз предупреждать уважаемых собеседников, что у меня за плечами неоконченная ЦПШ в Брянской губернии.
Какие к чёрту дифференциальные уравнения?!
Меня можно элементарной гиперболой насмерть укокошить. Одной левой веткой.

-- 18.05.2019, 23:06 --

Alex-Yu в сообщении #1393874 писал(а):

В этой СО энергия не сохраняется. Ибо потенциал зависит от времени явно, нет однородности относительно сдвигов времени.

Вот никак не убеждает!
Совсем никак.
Вы опуститесь до моего уровня или поднимитесь до написания потенциала, покажите его зависимость от времени, покажите неоднородность сдвигов.
И как это всё влияет на решения.
Формулы, пожалуйста.

(Оффтоп)

Говорить я тоже умею.

[wrest]

Я думаю что школьное объяснение "на пальцах" должно быть примерно в таком духе.
Энергия увеличивается как квадрат скорости. Приращение же самой скорости будет в разных СО, движущихся равномерно-прямолинейно относительно друг друга - одним и тем же (и добавить с умным видом "будет инвариантом" или что-нибудь о Галилее сказать). Поэтому приращение кинетической энергии в разных ИСО будет в общем случае разным.
И это прямой ответ на вопрос "почему не сошлось".

Иллюстрировать это можно например так. Всем известно, что чтобы максимально эффективно потратить топливо на поднятие орбиты, газовать надо в перицентре, где скорость максимальна, и где фиксированное её (скорости) приращение даёт максимальное повышение орбиты -- и при том именно так обычно и делают: газуют в перицентре для того, чтобы отлететь от планеты подальше.

[fred1996]

Igrickiy(senior)
Не понял, в чем проблема?
В первой системе отсчета потенциальная энергия переходит в кинетическую. Блок падает на высоту $H$
Во второй системе отсчета кинетическая энергия переходит в потенциальную. Блок забирается на высоту $H$

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Дискуссионные темы (Ф)»
Причина переноса: к разделу ПРР это никакого отношения не имеет, поскольку автор темы умеет (или, по крайней мере, полагает, что умеет) решать исходную задачу самостоятельно.

[Guvertod]

Igrickiy(senior) в сообщении #1393870 писал(а):

$E_1= m g H + \frac{m V^2}{2} = m g H + m g H = 2 m g H$.
$E_2 = 0 + 0$, так брусок после скатывания относительно этой системы неподвижен.

Должно быть $E_1=-mgH+mV^2/2=0$ (если начало отсчета потенциальной энергии в 2 принимается нулевой).
Просто в этой ИСО вы должны формально заново записать ЗСЭ, проинтегрировав второй закон Ньютона. Тогда у вас уровень этой новой потенциальной энергии "внизу" будет выше, чем "наверху".
Если по-простому, то тут сила тяготения совершает работу против движения, а не по.

Нельзя брать кинетическую энергию из новой ИСО, а потенциальную из старой.

-- 19.05.2019, 01:24 --

Alex-Yu в сообщении #1393874 писал(а):

В этой СО энергия не сохраняется. Ибо потенциал зависит от времени явно, нет однородности относительно сдвигов времени.

В однородном силовом поле в любой ИСО сохраняется энергия. Вы избавьтесь от времени в общей сумме с помощью уравнений движения.

[amon]

Alex-Yu в сообщении #1393874 писал(а):

В этой СО энергия не сохраняется.

Это Вы, видимо, задачу не дочитали. Скорость СО направлена горизонтально (вдоль $X$), а потенциал зависит только от $Y,$ так что зависимости от времени неоткуда взяться.
Специально, что бы подразнить уважаемого pogulyat_vyshel ;)

(Оффтоп)

Про работу понимаю, но не люблю я силы реакции, нет их в моих науках. Посему, пусть клин стоит на трех слонах, а те, в свою очередь, стоят на столе с колесиками. Масса этого сооружения $M,$ ее мы в конце устремим к бесконечности. Пишем законы сохранения в СО движущейся со скоростью $W.$ ($M$ - масса слонов, $V$ - их скорость, $m$ - масса бруска, $v$ - его скорость.)

\begin{align*} (M+m)W&=MV+mv\\ U+\frac{MW^2}{2}+\frac{mW^2}{2}&=\frac{MV^2}{2}+\frac{mv^2}{2} \end{align*}
Решаем, получаем
$U+\frac{MW^2}{2}+\frac{mW^2}{2}=\frac{M}{2}\left(W^2\left(1+\frac{2m}{M}+\frac{m^2}{M^2}\right)+\frac{m^2v^2}{M^2}-2Wv\frac{m}{M}\left(1+\frac{m}{M}\right)\right)$
Берем предел $M_\text{слонов}\to\infty,$ получаем
$U=\frac{m(v-W)^2}{2}$
И никаких работ сил реакции.

[Igrickiy(senior)]

Pphantom
Спасибо за убедительно обоснованный перенос.
Ваши предположения о способностях автора очень далеки от реального положения дел.

amon
Напоминаю, что задача и ее решение должно быть понятно школьникам.
Обычным школьникам.

[E61]

...задача и ее решение должно быть понятно школьникам.
Обычным школьникам.[/quote]

Решение "по энергии для школьников" должно сходиться при двухскатной горке (симметричный спуск вперёд и назад)

[Igrickiy(senior)]

E61
Можно подробности?

[Alex-Yu]

amon в сообщении #1393948 писал(а):

Это Вы, видимо, задачу не дочитали. Скорость СО направлена горизонтально (вдоль $X$), а потенциал зависит только от $Y,$ так что зависимости от времени неоткуда взяться.

Э, нет! Потенциал же не вообще потенциал (двумерный) а потенциал именно на доске (на связи, если по-ученому )! Потенциал в СО, где наклонная доска неподвижна: $V=mgh=mg(x-x_0) \tg\alpha$ ибо на наклонной доске $h=(x-x_0)\tg\alpha$. В движущейся СО $x=x'+vt$ так что $V=mgh=mg(x'+vt -x_0) \tg\alpha$ --- очень даже зависящий от времени потенциал. А при зависящем от времени потенциале никакого сохранения энергии нет и быть не может.

В общем-то очевидно, что наклонная доска при ее движении совершает работу (в этой СО неподвижный по $x$ груз поднимается или опускается), ну как нож бульдозера приподнимает срезаемый грунт. На таком языке и школьникам можно, пожалуй, объяснить. Но это объяснение я оставляю в качестве самостоятельного упражнения, оно же очевидно и где-то тут уже упоминалось.

На мой взгляд было бы полезно объяснять школьникам, что законы сохранения выполняются не всегда. А только при наличии соответствующей симметрии (относительно сдвигов по времени для энергии). Но на сколько это реально...