Перекрестные производные

[DLL]

Есть система УРЧП на две скалярные функции $F(x,y), G(x,y)$, которая выглядит следующим образом

$$ F_{xxx} = f_1(x,y,F,G), F_{xxy} = f_2(x,y,F,G), F_{xyy} = f_3(x,y,F,G), F_{yyy} = f_4(x,y,F,G), $$

и

$$ G_{xxx} = g_1(x,y,F,G), G_{xxy} = g_2(x,y,F,G), G_{xyy} = g_3(x,y,F,G), G_{yyy} = g_4(x,y,F,G). $$

Как понять в этом случае сколько нужно перекрестных производных взять, чтобы найти все условия совместности?

[pogulyat_vyshel]

ну переобозначать, очевидно, $F_{xx}=u$ и так далее, пока не придете теореме с которой начинается Эйзенхарт "Непрерывные группы преобразований"

-- 28.04.2019, 20:57 --

алсо http://dxdy.ru/post759012.html#p759012

[Red_Herring]

DLL в сообщении #1390058 писал(а):

ак понять в этом случае сколько нужно перекрестных производных взять, чтобы найти все условия совместности?

Много, причем в общем случае ничего сказать нельзя. Если говорить о нетривиальном случае следует взять 8 первых производных от правых частей, получив 6 линейных алгебраических уравнений относительно четырех переменных $F_x,\ldots,G_y$. Тогда "в случае общего положения" следует удовлетворить двум условиям, из которых найдутся $F=\phi(x,y)$, $G=\psi(x,y)$, после чего следует проверить удовлетворяют ли они вашим уравнениям.

Автор задачи--извращенец.

[DLL]

ОК, рассмотрим тогда более простую задачу. Допустим, есть линейная (!) система первого порядка
$F_x = f_1, F_y = f_2, G_x = g_1, G_y = g_2,$
функции $f_1, f_2, g_1, g_2$ зависят от $(x,y,F,G)$ (от $F$ и $G$ линейно).
Приравняв $F_{xy} = F_{yx}$ и $G_{xy} = G_{yx}$ и подставив $F_x, F_y, G_x, G_y$ можно получить два условия на $F$ и $G$. Если эти условия эквивалентны, то одну функцию можно выразить через другую (если нет, то только нулевое решение возможно). Например, $F = \alpha(x,y) G$. В этом случае система эквивалентна $G_x = g_1, G_y = g_2$ и $F = \alpha(x,y) G$.

Я правильно понимаю, ситуацию в этом случае?

[Red_Herring]

DLL в сообщении #1390169 писал(а):

ОК, рассмотрим тогда более простую задачу.

Если вами движет простое любопытство, то, повторяю, задача IMHO извращение

[DLL]

Не, ну а все-таки
Дело же так обстоит для случая первого порядка?

[pogulyat_vyshel]

Данная задача является классической, имеет множество приложений в дифференциальной геометрии и механике

[DLL]

Ну да, но по вашей ссылки там только достаточные условия.
Плюс там задача Коши конечномерная, а в общем случае может быть нет.

[pogulyat_vyshel]

DLL в сообщении #1390188 писал(а):

да, но по вашей ссылки там только достаточные условия.

необходимость этих условий для полной интегрируемости очевидна

DLL в сообщении #1390188 писал(а):

там задача Коши конечномерная, а в общем случае может быть нет.

разумеется, см Дьедонне Основы мат. анализа

[пианист]

Работы О.В.Капцова еще не смотрели?
Там одна из них уже доступна..
По-моему это б.м. то, что Вас интересует..

[VanD]

Не знаю, о том ли напишу, что Вас интересует, но, возможно, все такого рода интересующие Вас задачи можно решать так (по решению станет понятно, под какой оно ответ):

Сначала строится минимально возможное пространство струй, в которое можно вложить систему. Локально для него придётся создать (независимые) координаты $x^1,\dots, x^n, F^1,\dots, F^k, F^1_{x^1}, \dots, F^1_{x^n}, \dots, F^k_{x^1}, \dots, F^k_{x^n}, F^1_{x^1x^1}, \dots (выглядят они как обозначения производных, но тут каждое обозначение следует понимать, как неделимый символ). Затем на поверхность, соответствующую системе, ограничиваются все контактные 1-формы вида

$$ \omega^i_{\alpha} = dF^i_{\alpha} - F^i_{\alpha + e_j}dx^j\,, $$

которые в это пространство влезли. После этого пишется условие Фробениуса, то которое

$$ dw^j\wedge w^1\wedge\dots\wedge w^m = 0 $$

(через $w^j$ я для удобства как-то переобозначил те же формы $\omega^i_{\alpha}$). В итоге получаются условия того, что соответствующее распределение вполне интегрируемо, то есть через каждую точку полученного пространства струй проходит ровно одна интегральная поверхность. Эти интегральные поверхности и есть интересующие Вас решения.

На практике так считать многовато, но при наличии под рукой какого-нибудь maple, наверное, можно оптимизировать процесс.

[VanD]

VanD в сообщении #1390219 писал(а):

через каждую точку полученного пространства струй проходит ровно одна интегральная поверхность

Не пространства струй, конечно, а поверхности в нём, отвечающей исходной системе уравнений.

[DLL]

Хорошо, тогда другой вопрос. Допустим у нас есть система второго порядка на две функции $F(x,y), G(x,y)$, т.е.

$$F_{xx} = f_1, F_{xy} = f_2, F_{yy} = f_3, ..., G_{xx} = f_4, ..., G_{yy} = f_6.$$

Какая может быть максимальная размерность пространства решений такой системы (если она конечномерна)? 8?
P.S: подразумевается, что часть уравнений может не быть в системе, например:

$$F_{xx} = 0, F_{yy} = 0, G_{xx} = 0, G_{yy} = 0.$$

[VanD]

В данном случае минимальное пространство струй, куда можно вложить систему -- это $J^2(2, 2)$, оно имеет размерность $14$. Пусть Ваша система в нём имеет размерность $n$. При этом в нём две независимых переменных, тогда ответ $n - 2$.

DLL в сообщении #1390351 писал(а):

Допустим у нас есть система второго порядка на две функции $F(x,y), G(x,y)$, т.е.

$$F_{xx} = f_1, F_{xy} = f_2, F_{yy} = f_3, ..., G_{xx} = f_4, ..., G_{yy} = f_6.$$

Тут шесть уравнений, размерность поверхности, соответствующей системе, равна $14 - 6 = 8$. Тогда размерность пространства решений не более $8 - 2 = 6$.

DLL в сообщении #1390351 писал(а):

P.S: подразумевается, что часть уравнений может не быть в системе, например:

$$F_{xx} = 0, F_{yy} = 0, G_{xx} = 0, G_{yy} = 0.$$

Тут четыре уравнения, размерность поверхности, соответствующей системе, равна $14 - 4 = 10$. Тогда размерность пространства решений не более $10 - 2 = 8$.

В рассматриваемых случаях вроде бы условие Фробениуса, о котором я писал ранее, и есть необходимое и достаточное для того, чтобы размерность пространства решений была максимальной из возможных при данном количестве уравнений.

P.S. Не важно, какой именно вид имеют уравнения, важно только, чтобы соответствующая поверхность была регулярной. Правда, ещё надо будет проверять, что полученные интегральные поверхности могут быть представлены в виде графика продолжения функции $(F(x, y), G(x, y))$, то есть диффеоморфны своим проекциям на плоскость $Oxy$.

[DLL]

Понятно. А сколько максимально возможно? Это же не любое число?
Например, можно ли придумать систему уравнений на 2 функции с двумя независимыми переменными, чтобы размерность была больше 8?