Теорема Хаага

[warlock66613]

Alex-Yu в сообщении #1367264 писал(а):

А он ЗАВИСИТ (в представлении взаимодействия).

А с чего вы взяли, что там используется представление взаимодействия?

-- 09.01.2019, 21:33 --

Alex-Yu в сообщении #1367264 писал(а):

Точнее все состояния взаимодействующего поля (и асимтотические в т.ч.) совпадают с КАКИМИ-ТО состояниями свободного поля.

Да неизвестно какие у взаимодействующего поля состояния. Но как раз обсуждаемая теорема утвержадет, что какими бы они не были, они точно не совпадают ни с какими состояниями никакого свободного поля.

-- 09.01.2019, 21:38 --

А если бы все состояния взаимодействующего поля совпадали с состояниями свободного поля, то частицы не могли бы превращаться, потому что матричные элементы полного гамильтониана, включающего взаимодействие, для состояний свободного поля равны матричным элементам гамильтониана без взаимодействия.

[Alex-Yu]

warlock66613 в сообщении #1367265 писал(а):

А если бы все состояния взаимодействующего поля совпадали с состояниями свободного поля, то частицы не могли бы превращаться, потому что матричные элементы полного гамильтониана, включающего взаимодействие, для состояний свободного поля равны матричным элементам гамильтониана без взаимодействия.

Прекрасный образчик ошибочного рассуждения. Все, дальше no comment. Читали бы Вы лучше Пескина-Шредера, Вайнберга, Райдера в конце концов... Больше толку было бы. За сим всего Вам доброго.

[warlock66613]

Alex-Yu в сообщении #1367269 писал(а):

Прекрасный образчик ошибочного рассуждения.

Возможно. Но я пока не вижу в чём ошибка.

-- 09.01.2019, 21:56 --

Alex-Yu в сообщении #1367269 писал(а):

Пескина-Шредера, Вайнберга, Райдера

К сожалению, эти авторы подобные вопросы просто игнорируют.

-- 09.01.2019, 22:00 --

А вот квалифицированный ответ, который я получил на stackexchange когда-то:

Is an interacting QFT Hilbert space a physical particles Fock space? писал(а):

Haag's theorem says that the Hilbert space on which interacting relativistic quantum fields can be defined cannot be a standard Fock space. The finite time dynamics happens in this space, hence not in a Fock space.

Haag-Ruelle theory on the other hand says that the space of asymptotic particles of a relativistic quantum field theory is a Fock space. The latter space is the space on which the S-matrix acts. Thus the S-matrix is a unitary operator on Fock space.

The Hilbert space of an interacting theory and the Hilbert space of the space of its asymptotic particles are therefore two different things.

Clothed particle theories work on the perturbative level only, where the structural differences between the free (Fock) Hilbert space and the interacting (non-Fock) Hilbert space is not visible.

[Alex-Yu]

warlock66613 в сообщении #1367270 писал(а):

Hilbert space on which interacting relativistic quantum fields can be defined cannot be a standard Fock space.

Что значит "не может быть". На каком пространстве хочу определить действие операторов, на таком и определяю. Возможно, определенные так операторы будут в чем-то патологичны, но это совсем другой вопрос. При этом очень странно если оператор $\phi^2$ определенный на неком пространстве не патологичен, а оператор $\phi^4$, определенный на том же самом пространстве, уже патологичен. Это, что операторы перемножать нельзя что ли??? равенства $$\phi^4=(\phi^2)^2$ нет??? А чем еще отличается свободная теория от теории с взаимодействием ($\phi^4$ для примера), кроме как прибавлением $\phi^4$...

Во всех этих Хааговских затеях какая-то муть в самых основах, в исходных посылках. Что не удивительно, если учесть, что все это из 1955 года. В те времена чего только ни выдумывали А оказалось в итоге все намного проще.

Конечно, возможны (даже точно есть) математические тонкости, связанные с КТП. Но эти тонкости не должны эту вполне успешную КТП "ставить на уши". А если такое получается при строгом рассмотрении, то значит надо что-то подправить в самых-самых основах, из которых "постановка на уши" следует. Физика не интересуется следствиями из наперед заданных аксиом, она интересуется вопросом из каких аксиом следуют наперед заданные следствия (экспериментальные результаты).

-- Чт янв 10, 2019 14:49:51 --

warlock66613 в сообщении #1367265 писал(а):

овпадали с состояниями свободного поля,

Нет никаких "состояний свободного поля"!!! Что Вы подразумеваете под этими словами??? Есть просто состояния поля, а уж свободное оно или нет, это определяется гамильтонианом. Причем для того, чтобы этот гамильтониан определить, СНАЧАЛА надо определить пространство, где он действует. А иначе это не гамильтониан и вообще не оператор, а просто болтовня какая-то.

Я даже больше скажу. Нет никакого свободного и несвободного поля в том смысле, что это разные операторы (в любой фиксированный момент времени). Если говорить точнее, то есть свободная и несвободная динамика оператора поля. А в шредингеровской картине так и вообще операторы при наличии взаимодействия и при его отсутствии НЕ ОТЛИЧАЮТСЯ НИЧЕМ. В каком смысле Вы говорите о свободном и несвободном поле? Это два совсем разных поля???? Ужас какой....

[Brakonier]

Alex-Yu, тут дело вот в чём. Для введения теории возмущений в КТП важно ввести унитарный оператор $U(t)$, такой что:
$\phi(t,x)=U(t)^+ \phi_0(t,x) U(t)$,
где $\phi(t,x)$ - настоящее физическое квантовое поле, которое стоит в Гамильтониане, а $\phi_0(t,x)$ - искусственно введённое свободное поле (действующее как оператор на том же гильбертовом пространстве, если не занудствовать).
Теорем (Haag) Для Пуанкаре-инвариатной теории такого оператора $U(t)$ нет и быть не может (если только она не свободна с самого начала).
На первый взгляд это противоречит со всем, что можно прочитать в стандартных "физических" учебниках по КТП. Кто же прав? Правы все. Результат этот, как Вы заметили, старый, но значит не что он неправильный, а что его наверное как-то давно обошли. И в самом деле, ключевой момент здесь - Пуанкаре-инвариантность. Если её нет, то и теоремы Хаага нет. Поэтому было предложено (в 70-х или раньше) ввести так называемое адиабатическое обрезание. Вместо исходной физической теории рассматривается некоторая искусственная, в которой все константы взаимодействия зависят от времени, причём так, что при $-T<t<T$ они постоянны, а затем плавно ("адиабатически") затухают к нулю. Для большинства вычислений, впрочем, на затухающий участок можно не обращать внимание. Эта теория уже не Пуанкаре-инвариантна (как и предложенная Вами теория с классическим потенциалом) и про теорему Хаага можно забыть.
Если вы внимательно посмотрите на раздел 4.2 того же Пёскина-Шрёдера (или куда угодно ещё), вы заметите, что там взаимодействие существует только в интервале $-T<t<T$.
Разумеется, чтобы получить физический результат нужно устремить $T$ к бесконечности (на принятом среди тех, кого интересуют подобные тонкости жаргоне "взять адиабатический предел"). Теорема Хаага запрещает делать это на этапе введения $U(t)$ (предел разойдётся), поэтому это приходится делать позже. Для физики стандартный путь - это так называемый "слабый адиабатический предел". Оказывается (Epstein, Glaser, 1970-какой-то), что для локальных массивных (ныне вроде как доказано для КТП с безмассовыми частицами) КТП существует (и обладает хорошими свойствами, например не зависит от того, как мы разделим гамильтониан на свободную часть и взаимодействие, т.е. от перенормировки по сути) адиабатический предел време-упорядоченных корреляторов. Тогда с помощью LSZ-формулы можно найти и амплитуды рассеяния (уже сразу в физической теории без всяких $T$).
На практике это означает вот что. Если вы считаете только пертурбативные амплитуды рассеяния через LSZ(а значительная часть людей, которые изучают КТП изучают его именно для этого и именно на эту аудиторию рассчитан ПШ), вы можете про всё это и не знать. Тут, правда, важно не делать ни шага в сторону с этого пути. Например, если Вы вместо корреляторов найдёте сразу амплитуды рассеяния и только потом будете стремить $T$ к бесконечности, Вас может ждать разочарование (если только вам не повезёт с удачной перенормировкой). Если Вы занимаетесь какими-то точными вещами, или строите новые модели (нелокальные теории для квантовой гравитации, скажем), то важно помнить, что такая проблема может возникнуть (всё-таки дополнительный предел - это новая потенциальная расходимость, и бывает, что устранив ультрафиолетовую за счёт нелокальности Вы получаете инфракрасную в подарок, а даже интуитивно видно, что адиабатический предел тесно связан с инфракрасным поведением).

[Alex-Yu]

Brakonier в сообщении #1367393 писал(а):

где $\phi(t,x)$ - настоящее физическое квантовое поле, которое стоит в Гамильтониане, а $\phi_0(t,x)$ - искусственно введённое свободное поле

Вот этого я уже не понимаю. Что еще за два разных поля??? В каком смысле "истинное", в каком "искусственно введенное"? Я беру истинное поле и "обкладываю" его каким хочу унитарным оператором. Что нельзя? Что значит не существует такого опратора? Хоть какой-нибудь существует? Вот им и "обложу" А потом скажу, что это экспонента от гамильтониана (и это будет ОПРЕДЕЛЕНИЕ гамильтониана). Или S-оператор если здесь переход от гайзенберговского к представлению взаимодействия.

Я не хочу знать никакого "исскуственно введенного поля"! Зачем??? Поле в одном представлении и поле в другом представлении это ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ просто по разному "обложенное" одно и то же поле! Оператор $U$ сначала, поле $\phi_0$ потом!

[Brakonier]

Alex-Yu в сообщении #1367378 писал(а):

При этом очень странно если оператор$\phi^2$ определенный на неком пространстве не патологичен, а оператор $\phi^4$, определенный на том же самом пространстве, уже патологичен. Это, что операторы перемножать нельзя что ли??? равенства $\phi^4=(\phi^2)^2$нет???

Раз уж стал отвечать. Если занудствовать и брюзжать (а говорить про теорему Хаага в контекста простых пертурбативных расчётов - это именно занудство и брюзжание), то нет, квантовые поля перемножать нельзя. Дело в том, что они не функции координат, а обобщённые функции, ещё и сингулярные в каждой точке, которые, как хорошо известно, перемножать нельзя. Попробуйте, например, подействовать $\phi(0)$ для свободного поля на любое фоковское состояние на Ваш выбор и посчитайте норму получившегося вектора.
На практике расплата за беспечное обращение с такими объектами - ультрафиолетовые расходимости, которые нужно устронять, по сути, искусственно делая взаимодействие менее точечным.
Но к разговору это не имеет прямого отношения.

(Оффтоп)

Alex-Yu в сообщении #1367378 писал(а):

Причем для того, чтобы этот гамильтониан определить, СНАЧАЛА надо определить пространство, где он действует. А иначе это не гамильтониан и вообще не оператор, а просто болтовня какая-то.

Кстати, и это вовсе необязательно. Вы ведь наверняка знаете, что такое представление группы? Так вот и алгебра операторов наблюдаемых можно задать сначала абстрактно (вывести коммутационные соотношения можно из лагранжиана), а потом уже искать её представления. Опять таки для стандартных расчётов это всё занудство. Это может быть интересно в двух контекстах: с одной стороны само, скажем так, "пространство" неприводимых представлений (с точностью до унитарной эквивалентности, естественно) содержит определённую информацию о теории (изучая его свойства можно, скажем, доказывать теорему о связи спина со статистикой и CPT-симметрии в довольно широкой постановке, которая ассимптотически стремится к тому, чтобы охватить физически-важные теории, но, как я понимаю, работа там ещё не завершена), а с другой в искривлённом пространстве нет выделенного представления (того, что содержит вакуум - просто потому что там нет никакого глобального вакуума, что одному наблюдателю вакуум - другому горячая баня, а выделенных инерциальных наблюдателей, опять таки, нет), поэтому нужно позаботиться о выборе представления, которое не слишком паталогично (например, чтобы там можно было строить ту же теорию возмущений), и делать это приходится уже когда коммутационные соотношения заданы (хотя бы примерно) из физики. Для конкретных расчётов выбор представления - вопрос удобства (лишь бы только опять таки оно не было слишком уж плохим), потому как есть теорема, что множества состояний (в этом контексте состояние - аналог матрицы плотности, а не вектора состояния) одних представлений, грубо говоря, всюду плотно в состояниях других представлений.

[Alex-Yu]

Brakonier в сообщении #1367398 писал(а):

а говорить про теорему Хаага в контекста простых пертурбативных расчётов - это именно занудство и брюзжание

Кстати, возникла она в контексте виртуальных частиц. Уж точно ни к селу ни к городу.

-- Чт янв 10, 2019 16:43:25 --

Brakonier в сообщении #1367398 писал(а):

Дело в том, что они не функции координат, а обобщённые функции, ещё и сингулярные в каждой точке, которые, как хорошо известно, перемножать нельзя.

Ну это понятно. Но я бы все же сказал, что такое умножение надо как-то доопределять. Собственно, а что такое перенормировка, оно и есть. Проблема, правда, тогда в том, что и $\phi^2$ устроить нельзя. Не понятно чем так четвертая степень такая особенная, отличающаяся от второй.

-- Чт янв 10, 2019 16:45:53 --

Brakonier в сообщении #1367398 писал(а):

Так вот и алгебра операторов наблюдаемых можно задать сначала абстрактно (вывести коммутационные соотношения можно из лагранжиана), а потом уже искать её представления

Это мне понятно. Но кто меня обязал делать именно так? Мне такой подход совсем не нравится.... Почему нельзя взять физически понятное фоковское представление. Есть другие? Ну и бог с ними, пусть они есть... Все равно не понятно что они такое с точки зрения физики.

-- Чт янв 10, 2019 16:48:51 --

Brakonier в сообщении #1367398 писал(а):

есть теорема, что множества состояний (в этом контексте состояние - аналог матрицы плотности, а не вектора состояния) одних представлений, грубо говоря, всюду плотно в состояниях других представлений.

Ну вот как замечательно! И зачем весь тогда сыр-бор... На всякий случай, для полноты картины? Если так, то возражений нет. Но мне не нравится запрет работать с фоковским пространством.

А в целом спасибо, стало намного все яснее. Т. Хаага --- это некое "архитектурное излишество" может чем-то и полезное в каких-то очень специальных случаях при очень специальных путях построения теории.

Вот только про "искуственное поле" я как-то все же не понял. Совсем. В моем представлении операторные обкладки сначала, что из этого получится --- это потом. Как при этом обкладки могут не существовать.... Чтобы такое несуществование хотя бы в принципе было возможно, надо поле $\phi_0$ определить как-то НЕЗАВИСИМО от обкладок (оператора $U$). А как?

[Brakonier]

Alex-Yu в сообщении #1367394 писал(а):

Что еще за два разных поля???

Это два разных поля, удовлетворяющих уравнениям
$\frac{\partial}{\partial t} \phi=-i [H, \phi]$
и
$\frac{\partial}{\partial t} \phi_0=-i [H_0, \phi_0]$
соответственно, причём $H$ - функционал поля $\phi$, а $H_0$ - функционал поля $\phi_0$. Они удоветворяют разным коммутационным соотношениям (просто коммутационные соотношения для свободного поля не совместимы с эволюцией под полным гамильтонианом) и вообще разные. Само поле $\phi$ можно найти (как ряд теории возмущений за исключением отдельных точно решаемых моделей, естественно) и его можно использовать для поиска амплитуд рассеяния с теми же самыми результатами - но это жутко неудобно (диаграммная техника становится сложнее на порядки). "Стандартная" теория возмущений в КТП значительно упрощается за счёт того, что удаётся всюду выразить это сложное и жуткое поле через свободное, для которого корреляторы считать одно удовольствие. В частности, гамильтониан взаимодействия в предстваление взаимодействия принимает вид
$H_I(t)=UHU^+-H_0$
что, как не сложно видеть, эквивалентно просто выкидыванию свободной части и замене $\phi$ на $\phi_0$ во взаимодействии.
Освежите Пёскин-Шрёдер, 4.2, там всё это есть (с точностью до того, что свободное поле там обозначено с индексом I, а для Гамильтониана взаимодействия в какой-то момент используется шрёденгировское представление вместо гейзинберговского, я по привычке пишу в нотации Ицыксона-Зубера, где этого нет. 5 минут с бумагой и ручкой достаточно чтобы понять, что это всё одно).

Alex-Yu в сообщении #1367394 писал(а):

Я беру истинное поле и "обкладываю" его каким хочу унитарным оператором. Что нельзя? Что значит не существует такого опратора? Хоть какой-нибудь существует? Вот им и "обложу"

Именно, что не существет никакого. Поэтому в Пёскине-Шрёдере вводится оператор $U(t,t_0)$, зависящий от времени $t_0$, который нельзя просто так увести в минус бесконечность.

Alex-Yu в сообщении #1367394 писал(а):

А потом скажу, что это экспонента от гамильтониана (и это будет ОПРЕДЕЛЕНИЕ гамильтониана)

Так, конечно, можно. Но как правило Вы хотите всё же работать с теорией, в которой Гамильтониан откуда-то есть и задан он в терминах некоего поля $\phi$, которое само ещё нужно найти из уравнения, содержащего этот самый Гамильтониан, а хочется чтобы неизвестного было поменьше. Для этого и нужно представление взаимодействия.

Alex-Yu в сообщении #1367394 писал(а):

Я не хочу знать никакого "исскуственно введенного поля"!

На самом деле хотите. Вся диаграммная техника идёт из формулы (4.31) ПШ (извините, лень писать, а в готовом виде у меня под рукой только в специфической нотации) и её аналогов с большим количеством полей, а там все поля в правой части свободные, поэтому корреляторы можно считать с помощью теоремы Вика и свободного (!) фейнмановского пропагатора.

Alex-Yu в сообщении #1367394 писал(а):

Поле в одном представлении и поле в другом представлении это ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ просто по разному "обложенное" одно и то же поле!

Вопрос в том, может ли одно и то же поле быть в одном представлении свободным полем, а в другом взаимодействующим пуанкаре-инвариантным. Простой пример. Возьмите два матрицы с разным спектром. Сколько вы их ни обкладывайте, хоть унитарно, хоть нет, одно в другое вы не переведёте никогда. Вот и настоящие поля слишком сильно отличаются от свободных, чтобы их можно было бы представить как хитро-повёрнутые свободные. Но стоит ввести адиабатическое оберзание, и эта проблема исчезает.

Alex-Yu в сообщении #1367394 писал(а):

Оператор $U$ сначала, поле $\phi_0$ потом!

Это уже курица с яйцом какие-то. И $U$ (обратите внимание, что это не настоящий оператор эволюции, а некоторая конструкция, которая "корректирует" эволюцию свободного поля так, чтобы получилась эволюция "настоящего") и $\phi_0$ - искусственные инструменты для решения математической задачи, которая возникает в ходе поиска амплитуды. Сами по себе они глубокого смысла не имеют и вообще говоря зависят от перенормировки. Важно то, что $U$ введён так, чтобы связывать "настоящее" поле с каким-нибудь свободным (для него легко считать корреляторы) и так, что сам $U$ полностью выражается через свободное. На практике чтобы задать
$U=e^{iH_0(t-t_0)}e^{-iH(t-t_0)}$ (так написано у ПШ, на самом деле там надо должен быть времени-упорядоченная экспонента от интеграла справа, потому что $H$ зависит от времени из-за адиабатического обрезания, но на ответ это не влияет).
удобно бы уметь строить $H_0$ (обращаю ваше внимание ещё раз, что это не просто свободная часть гамильтониана, это свободная часть гамильтонинана, в которой вместо "настоящего" поля стоит "свободное", иначе ничего работать не будет), а для этого хорошо бы знать $\phi_0$ заранее. Именно поэтому у ПШ тоже сначала поле в "представлении взаимодействия", а потом уже $U$.

(Оффтоп)

На самом деле всё это лишь следствие того, что теорию возмущений строят так, чтобы Лоренц-инвариантность была видна явно, несмотря на то, что в вычислениях время отличается от пространственных координат. Это упрощает расчёты, но может немного путать. Я и сам раньше не вполне понимал, в какой момент поля подменяются свободными и почему, пока не столкнулся с глупостью в расчётах и не пришлось идти разбираться

Alex-Yu в сообщении #1367401 писал(а):

Чтобы такое несуществование хотя бы в принципе было возможно, надо поле $\phi_0$ определить как-то НЕЗАВИСИМО от обкладок (оператора $U$).

Так а что такого, поле это просто оператор(но-значное распределение)ы с определёнными коммутационными соотношениями. Свободное поле можно ввести просто по определению, действующим на некотором гильбертовом пространстве, благо они все примерно одинаковые. Как именно оно действует в исходном пространстве не очень важно, это всегда можно откорректировать, поменяв $U$. На практике, если обрезания нет, то и говорить не о чем, если есть - то в далёком прошлом физическое поле удовлетворяет уравнениям движения на свободное, а потому в качестве свободного можно взять его, продолженного в будущее так, будто бы взаимодействия никто и не включал (оно похоже на "налетающее"(incoming) поле в LSZ, только в него поле переходит при конечных временах, а не стремится ассимптотически). А можно быть оригиналом и начать с будущего.

-- 10.01.2019, 14:36 --

Alex-Yu в сообщении #1367401 писал(а):

Кстати, возникла она в контексте виртуальных частиц. Уж точно ни к селу ни к городу.

Немножко к селу, но в целом в том разговоре я согласен с Вами. Может быть завтра соберусь ответить. В целом это как теорема Гёделя для рядовых математиков.

[Alex-Yu]

Brakonier в сообщении #1367409 писал(а):

Может быть завтра соберусь ответить.

А я тем временем (вырывая на то кусочки из других дел) попытаюсь подумать над сказанным Вами. В целом очень и очень интересно.

P.S. Все же я как-то всегда считал, что вообще нет никакого свободного/несвободного поля. А есть свободная/несвободная динамика одного и того же поля (как оператора в некий фиксированный момент времени). Считал, что в некий момент времени эти операторы вообще неотличимы, тождественны. Вот возьмем картину Шредингера, как в ней вообще различить свободное это поле или не свободное? Там вся динамика (а значит и действие гамильтониана) в векторе состояния. Полевой оператор как-то вообще тут ни причем кажется...

-- Чт янв 10, 2019 18:23:36 --

Brakonier в сообщении #1367409 писал(а):

а потому в качестве свободного можно взять его, продолженного в будущее так, будто бы взаимодействия никто и не включал (оно похоже на "налетающее"(incoming) поле в LSZ, только в него поле переходит при конечных временах, а не стремится ассимптотически). А можно быть оригиналом и начать с будущего.

Я всегда представлял себе все это еще более оригинально Берем истинное поле в момент времени $t=0$ ( а можно и в любой другой момент времени) и продолжаем его в другие времена с помощью гамильтониана с выключенным взаимодействием. Это и будет свободное поле. А так можно?

[warlock66613]

Brakonier в сообщении #1367409 писал(а):

Немножко к селу, но в целом в том разговоре я согласен с Вами. Может быть завтра соберусь ответить. В целом это как теорема Гёделя для рядовых математиков.

А кто не согласен? Я тоже согласен. Потому и странна резкая реакция Alex-Yu, что это всё на самом деле никаких катастрофических последствий не имеет.

[SergeyGubanov]

Alex-Yu в сообщении #1367413 писал(а):

Вот возьмем картину Шредингера, как в ней вообще различить свободное это поле или не свободное?

Наверное во всех предыдущих сообщениях надо бы заменить "свободное поле" $\to$ "поле для которого все корреляторы известны".

[Alex-Yu]

warlock66613 в сообщении #1367429 писал(а):

Потому и странна резкая реакция Alex-Yu,

Реакция резкая потому, что полностью рушатся все представления о КТП. И даже в более общем виде: о квантовой физике вообще. Возможно, я что-то неверно себе представляю. Надо понять что именно.

Сначала я и сам не вполне мог сформулировать. Но теперь могу сказать в чем проблема: что такое свободное поле? Я всегда представлял себе что никакого свободного или несвободного поля нет (строго говоря, но жаргон такой есть), но есть свободная (или не свободная) динамика поля. Здесь поле --- поле в фиксированный момент времени. В какой-то момент времени (удобно нулевой) свободное и несвободное поле вообще совпадают (как всегда было в обычной квантовой механике для системы с взаимодействием и без взаимодействия). Полностью одно и то же, один и тот же во всех смыслах оператор. Но тогда это контрпример, опровергающий т.Хаага. Видимо, в т.Хаага под словами "свободное поле" понимается что-то иное. Но что именно? И почему этот пример не попадает под это "что именно" в качестве частного случая.

И еще хотелось бы увидеть аналогию с обычной квантовой механикой. Поле на конечной решетке вполне подойдет, а это просто КМ фиксированного числа частиц. И что такое фантастическое происходит, что все полностью переворачивается вверх дном, ничего даже слегка похожего на обычную КМ, когда шаг решетки идет в ноль, вот в чем вопрос!


Чтобы было яснее добавлю. Вот был в обычной КМ оператор координаты. Есть взаимодействие (потенциал), нет взаимодействия --- все едино, оператор координаты от наличия или отсутствия взаимодействия не меняется (в шредингеровском представлении, а значит и в гайзенберговском но уже только для некого фиксированного $t$). Но меняется динамика, зависимость от времени (или операторов, или вектора состояния, в зависимости от представления). Операторы (шредингеровские или для фиксированного времени) тут вообще ни при чем!!! А что такое полевой оператор, если не континуальный набор координат этой системы (поля).... Почему же тогда идет речь о том, что при наличии взаимодействия полевой оператор один, а при отсутствии --- совсем другой??? Нет, в гайзенберговском представлении для всех времен ясно, что другой. Но должен быть момент времени, когда тот же самый! А если такой момент времени есть, то нет т.Хаага. Нет? Выкладка (банальная):

$$ \phi_0(t)=U_0^+(t) \phi(0) U_0(t) $$

$$ \phi(t)=U^+(t) \phi(0) U(t) $$

$$ \phi_0(0)=U_0(t)\phi_0(t)U_0^+(t) $$

$$ \phi(t) = U^+(t)U_0(t)\phi_0(t)U_0^+(t)U(t) $$

[warlock66613]

Alex-Yu в сообщении #1367431 писал(а):

континуальный набор координат этой системы (поля)

Я не знаю насчёт оператора, но вот как раз насчёт континуального набора координат сказать кое-что могу, а именно про (шрёдингеровское) состояние.

Если вы будете самым прямым образом строить пространство состояний так же как в квантовой механике (здесь два возможных эквивалентных способа - либо оттталкиваясь от полевых конфигураций, либо от системы частиц с переменным количеством), то это можно, только результат оказывается неудовлетворительным в следующем смысле.

Такое пространство оказывается очень большим, а именно несепарабельным. То есть в нём нельзя ввести счётный базис так, чтобы любой вектор был представим в виде сходящегося разложения в этом счётном базисе. То есть пока у вас конечное число степеней свободы, это пространство сепарабельное, а в пределе оно таковым быть перестаёт.

Поэтому приходится выделять в этом большом пространстве сепарабельное подпространство, а это можно делать разными неэквивалентными способами, и подходящий способ (при котором все "полезные", "необходимые" состояния в выделенное подпространство попадают) будет уже зависеть от динамики. Если бы мы могли работать с несепарабельным пространством как есть целиком, то вопросы динамики, как и в квантовой механике, на эти вещи бы не влияли, но мы не можем эффективно управляться с таким большим пространством.

[Alex-Yu]

warlock66613 в сообщении #1367440 писал(а):

о есть в нём нельзя ввести счётный базис так, чтобы любой вектор был представим в виде сходящегося разложения в этом счётном базисе.

Подозреваю, что все это справедливо только в пределе снятия обрезания. В регуляризованной нелокальной теории такого быть не должно.


По поводу операторов у меня есть некоторые смутные догадки, но подождем, что скажет Brakonier.

-- Чт янв 10, 2019 20:59:53 --

warlock66613 в сообщении #1367440 писал(а):

Поэтому приходится выделять в этом большом пространстве сепарабельное подпространство, а это можно делать разными неэквивалентными способами,

Это как-то понять можно. А это:

-- Чт янв 10, 2019 21:00:43 --

warlock66613 в сообщении #1367440 писал(а):

подходящий способ (при котором все "полезные", "необходимые" состояния в выделенное подпространство попадают) будет уже зависеть от динамики.

уже нет. Нет, ясно, что возможны варианты. Но причем здесь динамика... Ни шредингеровские операторы ни пространство состояний к динамике вообще никакого отношения не имеют.