Энтропия и стрела времени

amon · 04/09/14 5255 ФТИ им. Иоффе СПб

Munin в сообщении #1352922 писал(а):

Кроме направления перехода энергии - это выводится.

Не, не выводится. Постулируется, что энергия переходит от тела с более высокой внутренней энергией к телу с более низкой, что есть вранье в общем случае. Это верно для идеальных газов, для которых внутренняя энергия и температура это одно и тоже, либо тел из одного и того же материала. В этом случае это утверждение совпадает со 2-м началом (тепло идет от горячего к холодному). Этот постулат неявно используется в таких доказательствах (см. Базаров И.П. Заблуждения и ошибки в термодинамике).

Munin · 30/01/06 72407

amon
Ну если вы не читаете Киттеля, а читаете только Базарова, я выхожу из разговора.

warlock66613 · 02/08/11 7003

Итак, рассмотрим следующую динамическую систему: ряд из четырёх монет, каждая из которых может лежать на одной из двух сторон. Будем обозначать монету, лежащую аверсом вверх, нулём, а монету, лежащую вверх реверсом, единицей. Тогда пространство состояний ( $\Gamma$ -пространство) - это множество из шестнадцати элементов $| 0000 \rangle, | 0001 \rangle, \dots, | 1111 \rangle$ . Для краткости будем обозначать каждое состояние его номером, совпадающим со значением его обозначения как двоичного числа: $| 0 \rangle, \dots, | 15 \rangle$ .

Следующее, что нам понадобится - динамика. Время будет дискретным, а динамика, задаваемая унитарным оператором эволюции $\hat U$ , очень простой: $\hat U | n \rangle = | (n + 1) \bmod 16 \rangle.$

Таким образом, наша система является эргодической и детерминистической, а время возвращения Пуанкаре равно $16$ шагам. Также имеется $t$ -инвариантность: если определить оператор инверсии времени как $\hat T |n\rangle = | 15 - n \rangle$ , то будем иметь $\hat U^{-1} \hat T = \hat T \hat U$ .

Теперь перейдём к динамике ансамблей/распределений. Ансамбль мы определим как взвешенный набор состояний, то есть множество всех возможных ансамблей - это $\mathbb R^\Gamma$ . Мы можем задавать ансамбли с помощью "чисел заполнения": $\rho = |n_0, n_1, \dots, n_{15} \rangle,\quad n_i \in \mathbb R$ . Динамику ансамблей, индуцированную $\hat U$ , можно записать в виде уравнения Лиувилля $\rho_{t+1} = \hat L \rho_t,$ где оператор Лиувилля $\hat L$ циклически сдвигает числа заполнения: $\hat L |n_0, n_1, \dots, n_{15} \rangle = |n_{15}, n_0, \dots, n_{14} \rangle.$ Поскольку динамика ансамблей согласована с динамикой микросостояний, последние можно рассматривать как частный случай ансамблей, а именно как ансамбли, состоящие из одной системы.

Определим энтропию ансамбля $S[\rho]$ традиционным образом как $S[|n_0, n_1, \dots, n_{15} \rangle] = -\sum\limits_{i=0}^{15} n_i \log n_i.$ (Я буду брать логарифмы по основанию $\sqrt 2$ - так круглее.)

Отметим, что энтропия любого микросостояния равна нулю. Оператор Лиувилля не меняет значения чисел заполнения, лишь смещает их индексы, то есть выполняется теорема Лиувилля $S[\rho] = S[\hat L \rho].$
Значит ли это, что энтропия сохраняется? Вовсе нет! Это значит, что энтропия ансамбля не является физической энтропией.

Как же правильно определить (физическую) энтропию? Для этого прежде всего необходимо ввести понятие макросостояния. За макросостояние мы примем разность количества единичек и ноликов $N[|n \rangle]$ . Так, для $| 13 \rangle$ макросостоянием будет $N[| 13 \rangle] = N[| 1011 \rangle] = 2$ . Всего имеется пять различных макросостояний: $0, \pm 2, \pm 4$ . Заметим, что макросостояния, так же как и микросостояния, могут быть представлены в виде распределений в $\Gamma$ -пространстве: соответствующий макросостоянию ансамбль состоит из микросостояний, которыми данное макросостояние может быть осуществлено, и нормирован так, что сумма чисел заполнения равна $1$ .

Энтропией макросостояния мы будем называть логарифм числа микросостояний, которыми можно осуществить данное макросостояние. Нетрудно подсчитать, что для $N = 0$ энтропия равна $\log 6 \approx 5$ , для макросостояний $N = \pm 2$ энтропия будет $\log 4 = 4$ , а для $N = \pm 4$ энтропия равна нулю. Это определение согласовано с определением энтропии ансамбля: энтропия макросостояния равна энтропии соответствующего ансамбля.

Так вот, физической энтропией системы, находящейся в некотором (микро)состоянии, мы будем называть именно энтропию макросостояния. И нетрудно заметить, что точная (без всякого трения) динамика системы не оставляет физическую энтропию постоянной! Так, если начать с состояния $|0\rangle$ , то энтропия будет вести себя следующим образом: $0\, \text{--}\, 4\, \text{--}\, 4\, \text{--}\, 5\, \text{--}\, 4\, \text{--}\, 5\, \text{--}\, 5\, \text{--}\, 4\, \text{--}\, 4\, \text{--}\, 5\, \text{--}\, 5\, \text{--}\, 4\, \text{--}\, 5\, \text{--}\, 4\, \text{--}\, 4\, \text{--}\, 0.$ Может быть по этому ряду и не очевидно, что она растёт (а на самом деле это так - в том смысле, который имеет закон возрастания энтропии в статфизике), но что она не остаётся постоянной - точно очевидно.

Как же так получается, что уравнение Лиувилля говорит, что энтропия остаётся постоянной, в то время как очевидно, что на самом деле это не так? Да просто уравнение Лиувилля не является правильным уравнением эволюции макросостояний. Так, если подействовать оператором Лиувилля на $N=-4$ , то вместо правильного макросостояния $N = -2$ мы получим $\hat L | 1, 0, \dots, 0 \rangle = | 0, 1, 0, \dots, 0 \rangle$ , что вообще не похоже на на какое макросостояние.

Продолжение воспоследует.

amon · 04/09/14 5255 ФТИ им. Иоффе СПб

Munin в сообщении #1352962 писал(а):

у если вы не читаете Киттеля

Ну почему, Киттеля тоже читаю

Киттель писал(а):

Для доказательства рассмотрим суммарное изменение энтропии $\delta \sigma$ в случае, когда мы отбираем положительное количество энергии $\delta U$ от тела 1 и добавляем такое же количество энергии телу 2 (рис. 4.5). Суммарное изменение энтропии равно
$\delta \sigma=\left(\frac{\partial \sigma_1}{\partial U_1}\right)_{N_1}(-\delta U)+\left(\frac{\partial \sigma_2}{\partial U_2}\right)_{N_2}\delta U\dots$
При $\tau_1 > \tau_2$ величина, заключенная в правой стороне равенства в скобки, положительна (см. (22)). Направление потока энергии согласуется с обычным представлением о высокой и низкой температуре: энергия переходит от тела с высокой температурой к телу с низкой температурой.

Теперь, что здесь написано с точки зрения меня, потомка крепостной крестьянки. Написано, что если есть два тела с разной температурой и мы отнимем кусок внутренней энергии от одного и запихнем в другое так, что вся энергия идет на изменение энтропии и больше ни на что, то энтропия увеличивается если я перепихиваю энергию от горячего тела к холодному, а значит естественный процесс пойдет в эту сторону.
Теперь что здесь меня не устраивает. Если я реально приложу горячее тело к холодному, то кроме изменения энтропии изменится еще давление, объем и прочее. Поэтому кроме члена $\frac{\partial \sigma_1}{\partial U_1}$ будет еще что-то вроде $\frac{\partial \sigma_1}{\partial V}\frac{\partial V}{\partial U_1}$ и в этом месте все поплывет. Рассуждение искренне уважаемого мной ученого Киттеля годится в качестве иллюстрации согласованности статфизики и термодинамики в детском учебнике, но на доказательство того, что тепло всегда идет от горячего к холодному не тянет. Киттель, наверно, хороший учебник, просто я его поздно открыл и начал придираться.
warlock66613, то, что вы пишете напоминает мне какие-то упражнения Пуанкаре по поводу упражнений Людвига Больцмана. Я это на свежую голову почитаю и повспоминаю.

Munin · 30/01/06 72407

warlock66613 в сообщении #1352973 писал(а):

Да просто уравнение Лиувилля не является правильным уравнением эволюции макросостояний.

Yes-s-s!!!

Dmitriy40 · 20/08/14 11780 Россия, Москва

Задам пару глупых вопросов.

warlock66613 в сообщении #1352973 писал(а):

Как же правильно определить (физическую) энтропию? Для этого прежде всего необходимо ввести понятие макросостояния. За макросостояние мы примем разность количества единичек и ноликов $N[|n \rangle]$ . Так, для $| 13 \rangle$ макросостоянием будет $N[| 13 \rangle] = N[| 1011 \rangle] = 2$ . Всего имеется пять различных макросостояний: $0, \pm 2, \pm 4$ .

Энтропией макросостояния мы будем называть логарифм числа микросостояний, которыми можно осуществить данное макросостояние.

Я правильно понимаю что свойства энтропии макросостояния будут очень существенным образом зависеть от метода определения понятия макросостояния? По тексту выше это очевидно, но тогда непонятно почему правильно (см. начало цитаты) именно так? Или потом будет показано что для любого осмысленного (в каком-то смысле, например для вывода температуры) определения макросостояния результирующий вывод сохраняется? Или только такой/аналогичный способ определения макросостояния приводит к естественному (по своим свойствам) понятию температуры? Просто непонятно почему такой достаточно произвольный способ ввода макросостояния назван правильным - например введя макросостояние как сумму количества единиц и нулей сразу получим единственное макросостояние и постоянную энтропию и дальше всё порушится. С логарифмом всё ясно.
Если эти вопросы освещены в указанных выше учебниках (каюсь, не читал), то вопросы снимаю, так и скажите.

warlock66613 · 02/08/11 7003