2018-значное число, делящееся на 2018

[Ktina]

Существует ли 2018-значное число, делящееся на 2018, в котором не более двух различных цифр?

[grizzly]

Решим задачу в двоичной системе исчисления. Очевидно, существует порядка $2^{2017}/2018$ чисел делящихся на 2018. Не менее очевидно, что у всех у них не более двух различных цифр

[wrest]

Ktina в сообщении #1332021 писал(а):

Существует ли 2018-значное число, делящееся на 2018, в котором не более двух различных цифр?

Существует, но поля форума не вмещают его. Опишу словесно: 2016 одинаковых цифр не равных нулю, и два нуля на конце.

[kotenok gav]

Неверная цитата; и почему оно будет делится?

[wrest]

kotenok gav в сообщении #1332028 писал(а):

Неверная цитата; и почему оно будет делится?

Потому что остаток от деления числа состоящего из $2018$ цифр $d$ на $2018$ равен $10d+d$

[kotenok gav]

Почему?

[wrest]

kotenok gav
Так говорит калькулятор :)
Надо бы подумать почему.

[gris]

grizzly в сообщении #1332024 писал(а):

Решим задачу в двоичной системе исчисления. Очевидно, существует порядка $2^{2017}/2018$ чисел делящихся на 2018. Не менее очевидно, что у всех у них не более двух различных цифр

Решим задачу в 2018-тиричной системе счисления. Очевидно, существует ровно $2017\cdot 2^{2016}$ чисел, требуемового вида и делящихся на 2018. У меня больше чисел, вот.

[waxtep]

wrest в сообщении #1332035 писал(а):

Надо бы подумать почему

можно от малой теоремы Ферма танцевальные па совершить

[grizzly]

gris в сообщении #1332042 писал(а):

У меня больше чисел, вот.

Осталось решить задачу в произвольной системе исчисления. Ведь в ней утверждение тоже верно?

[gris]

в некоторых и одной цифры достаточно

[wrest]

waxtep в сообщении #1332045 писал(а):

можно от малой теоремы Ферма танцевальные па совершить

Ну кроме неё то больше в теории чисел ничего и нет Но пока не выходит.
Надо определить что $10^{2018} \equiv 100 \mod 2018$

[Ktina]

gris в сообщении #1332050 писал(а):

в некоторых и одной цифры достаточно

А в нашей не достаточно?

[waxtep]

wrest, можно воспользоваться тем, что $2018$ - не простое число (и в лоб к нему МТФ не применишь), но и, как сказать, не слишком сложное... и, может быть, полезно сразу работать в системе с произвольным основанием, как предлагают коллеги выше

[gris]

Ktina в сообщении #1332066 писал(а):

А в нашей не достаточно?

Наше и в десятичной рулит: четыре 22-хзначных числа из одной цифры делятся на $22$.