Предел суммы

[Otta]

Bosmer2 в сообщении #1328274 писал(а):

Вы знаете, я кажется допер. Это примерно $\lim_{n \rightarrow \infty}\infty=\infty$ получается?

Угу. Получается.

Bosmer2 в сообщении #1328274 писал(а):

(только я все равно не понимаю почему нельзя предел в каждое слагаемое засунуть))

Потому что нельзя. :)

Вот щас начнем решать задачу, которая подразумевалась составителем, а не ту, на которой Вы настаивали, и может, разберемся, почему нельзя.
А подразумевалась им на самом деле задача

$\lim_{n \rightarrow \infty }\sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k}$.

Заметьте разницу. И попробуйте решить. Именно к этой задаче хорошо применяется то указание, которое Вы в стартовом посте написали.

[Bosmer2]

grizzly в сообщении #1328275 писал(а):

А Вам как давали понятие последовательности? если только числовых последовательностей, а не произвольной природы, тогда в задании ошибка. Тем более, что никакие милиционеры здесь не пригодятся, если их самих за уши не притянуть :)

Ну вроде, только числовых)

[Pphantom]

Bosmer2, пожалуйста, обращайтесь аккуратнее с цитированием. Пару особо вопиющих случаев я сам поправил, но в дальнейшем проверяйте, что сообщение выглядит именно так, как предполагалось.

[Bosmer2]

Otta в сообщении #1328276 писал(а):

Вот щас начнем решать задачу, которая подразумевалась составителем, а не ту, на которой Вы настаивали, и может, разберемся, почему нельзя.
А подразумевалась им на самом деле задача

$\lim_{n \rightarrow \infty }\sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k}$.

Заметьте разницу. И попробуйте решить. Именно к этой задаче хорошо применяется то указание, которое Вы в стартовом посте написали.

А здесь нужно искать ограничение для суммы ряда целиком $\sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k}$ или для общего члена $\frac{n}{n^2+k}$?

[Otta]

Ну во-первых, это уже не ряд. Теорему о двух милиционерах нужно применять, понятно, к сумме. Потому что ее предел ищем. Оцениваем сумму, оценивая слагаемые. Все стандартно.

[Bosmer2]

Otta в сообщении #1328281 писал(а):

Ну во-первых, это уже не ряд. Теорему о двух милиционерах нужно применять, понятно, к сумме. Потому что ее предел ищем. Оцениваем сумму, оценивая слагаемые. Все стандартно.

Ну сначала я записал вот так
$\frac{n}{n^2+n}\leq\frac{n}{n^2+k}\leq\frac{n}{n^2+1}$
Потом для суммы:
$\frac{n}{n^2+n}+\frac{n}{n^2+n}+\frac{n}{n^2+n}...\leq\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2}+\frac{n}{n^2+3}...\leq\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+1}...$
Получается:
$\frac{n}{n^2+n}\cdot n\leq\sum_{k=1}^{n=1}\frac{n}{n^2+k}\leq\frac{n}{n^2+1}\cdot n$
Переходим к пределу:
$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n}{n^2+n}\cdot n\leq\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n=1}\frac{n}{n^2+k}\leq\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n}{n^2+1}\cdot n$
$1\leq\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n=1}\frac{n}{n^2+k}\leq 1$
$\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n=1}\frac{n}{n^2+k}=1$
Так?
Правда я не всегда понимаю как подбирать эти ограничения, есть ли что-то типа алгоритма или каждый раз надо придумывать что-то... Потому что здесь я просто догадался что этот предел стремится к единице, а ограничения подбирал уже подходящие.

[Otta]

Bosmer2
Можно и так. Хорошо.

Bosmer2 в сообщении #1328495 писал(а):

Правда я не всегда понимаю как подбирать эти ограничения, есть ли что-то типа алгоритма или каждый раз надо придумывать что-то... Потому что здесь я просто догадался что этот предел стремится к единице, а ограничения подбирал уже подходящие.

Ну это как получится, но здесь все очень естественно оценивается. А уже потом можно смотреть, что куда стремится. Другое дело, если поставленная цель не достигнута - приходится уточнять оценки. Или пересматривать взгляд на цель :)

-- 24.07.2018, 19:53 --

Bosmer2 в сообщении #1328274 писал(а):

(только я все равно не понимаю почему нельзя предел в каждое слагаемое засунуть))

К Вашему вопросу.
Посмотрите на вот эту сумму, хотя бы:

Цитата:

$\frac{n}{n^2+n}+\frac{n}{n^2+n}+\frac{n}{n^2+n}...$

Вы, кстати, неправильно ее оформили. Так записывают суммы с бесконечным числом слагаемых У Вас конечное, и чтобы это подчеркнуть, пишут так:
$\frac{n}{n^2+n}+\frac{n}{n^2+n}+\ldots+\frac{n}{n^2+n}$
Каждое из этих слагаемых при $n\to\infty$ стремится, очевидно, к нулю. А сумма - Вы уже сами посмотрели, куда стремится. Почему так получается? Потому что хоть слагаемые и бесконечно малые при $n\to\infty$, их становится бесконечно много. Эффект накопления. Он часто встречается в интегральных суммах, если Вы с ними сталкивались. В рядах происходит примерно то же. И есть специальные теоремы о предельном переходе под знаком суммы ряда, где сформулированы достаточные условия, когда этот предельный переход можно осуществить. Может, Вы с ними сталкивались, если нет - еще столкнетесь. Если условия выполнены - переходите на здоровье.

[ewert]

Про милиционеров -- это как-то слишком громко сказано. Идея-то ведь в том, что в знаменателе все слагаемые $k$ много меньше, чем $n^2$, а если их отбросить, то останется $\sum\limits_{k=1}^n\frac1n=1$. Ну так и надо просто вычесть из исходной суммы эту упрощённую, т.е. рассмотреть сумму

$$\sum\limits_{k=1}^n\left(\frac{n}{n^2+k}-\frac1n\right)=\sum\limits_{k=1}^n\frac{k}{n^3+kn}$$

и доказать, что она стремится к нулю. Последнее очевидно, т.к. эта сумма очень грубо оценивается сверху через $\sum\limits_{k=1}^n\frac{n}{n^3}=\frac1n$. Заметьте, что ни о каких двух милиционерах и речи нет -- здесь максимум один милиционер плюс стенка.

Вот если бы было что-нибудь типа $n^2-k$ вместо $n^2+k$, то возни было бы чуть больше; но общая идея и там ровно та же.