Всем спасибо за помощь! Сейчас всё перечитал и вот что есть из понимания и непонимания на данный момент.
1.
Это не функция, это обозначение.
Я понял, что это обозначение, но не ясно, почему нелинейную часть приращения функции нельзя считать функцией от приращения аргумента?!
Ещё раз, это не функция!!!
Это всего лишь обозначение, что "
стремится к 0 быстрее, чем
".
Но на оси OY эта "нефункция" имеет свой отрезок... Что это тогда?
2.
Подразумевается, что
в выражении
это тождественная функция, а не переменная. Правильнее
или
. Тогда пришлось бы явно указать где
определена. В «правильном» определении вошли бы дополнительно две буквы:
и
Тут совсем неясно, с этими id я вообще не знаком. Буду признателен, если подскажете, в каком разделе математики можно изучить эти обозначения.
3.
или что найдется
такое, что
. Поэтому подставлять
можно только после того, как выбрана
Тут имеется в виду, что альфа - это б.м.ф.?
4.
Да тут в этом определении
Solaris86 в сообщении #1325446
писал(а):
функцию в окрестности
можно представить в виде
просто упущена концовка. В таких равенствах с о-малыми всегда через запятую надо указывать базу, в данном случае,
. Указание базы, по-моему, как раз и отбивает желание подставлять конкретные
(по крайней мере внутрь значка
).
О какой базе идёт речь, в каком разделе математики про это почитать?
5.
Solaris86 в сообщении #1326380
писал(а):
Вообще, о-функция - это вариант б.м.ф. или нет?
Не обязательно (обоснуйте). Но бесконечно малую функцию можно записать в виде
. Обоснуйте, почему.
Вроде готов рискнуть предположить.
О-функция является б.м.ф. при условии:
и не является б.м.ф. в остальных случаях.
Б.м.ф., например,
можно записать в виде
, т.е.
при условии, что
и
. Это возможно потому, что 1 - это константа, она не убывает или иными словами скорость убывания равна 0, поэтому любая другая функция, не являющаяся константой, всегда будет убывать быстрее.
6.
— это самый нормальный дифференциал
, если не забывать, что сама
является переменной, от которой мы рассматриваем тут функции. Этот дифференциал (как и другие!) является функцией двух переменных —
и
, но от
он не зависит никак и равен просто
. В этом смысле
, хотя точнее будет писать, конечно, что
. Этого обычно не пишут, или пишут лишь единожды за всё изложение, потому что это и так ясно из определения дифференциала, и, кроме того, это вынуждает нас вводить какое-то обозначение для переменной-приращения. Так что
использовать удобнее.
Solaris86 в сообщении #1326486
писал(а):
Что же такое дифференциал, стало совсем неясно.
... это линейная часть приращения
Если прирастает независимая переменная
, то считается, что прирастает она в принципе линейно всегда и везде и поскольку
то
и получается что
для любых значений
А вот прирост зависимой переменной уже зависит от двух параметров: от значения независимой переменной в той точке, откуда считают прирост, и от прироста независимой переменной. Кроме того, этот прирост зависимой переменной искусственно разделяют на линейную и нелинейную части, и вот линейную часть, то есть прямо пропорциональную приросту независимой переменной, называют дифференциалом независимой переменной:
Эти два сообщения дали ответ на вопрос о приравнивании приращения аргумента к дифференциалу аргумента.
Объединяя информацию из двух сообщений, я понял так:
; 2 вида записи:
- развернутая запись,
- сокращённая запись.
; 2 вида записи:
- развернутая запись,
- сокращённая запись.
Не понял, с какой целью были использованы знаки тождественного равенства в выражениях:
и
.
Ещё вопрос: можно ли дифференциал считать оператором?
7.
А слова, что "
- бесконечно малое приращение", выкиньте из головы.
Так вот на картинке нет никаких бесконечно малых.
может быть любым -- и большим и малым. Соответственно и
может быть как большим так и малым.
Итак, я понял следующее:
1) дифференциал функции или аргумента - это линейная часть приращения функции или аргумента соответсвенно
2) дифференциал функции или аргумента - это конечная величина, могущая принимать любые значения:
и
Я так понял, что Munin негодовал именно по поводу того, что я брал бесконечную величину, во-первых, да еще и только малую, во-вторых...
Значит, моё предположение, что дифференциал - это числовой ряд, неверно.
8.
Ну вот вы выделяете постоянную часть функции
, а именно
, потом линейную часть: выделили, назвали её
. Если вы теперь хотите записать, что
, то этим чем-то как раз и окажется
.
Предположим, что Вам известно, что
, где
— некоторое число. Пожалуйста, найдите
, пользуясь непосредственно определением производной. Если и после этого не поймёте, зачем это условие, то я уж и не знаю, как Вам помочь.
Что совсем непонятно, так это обозначение
... Наверно, имелось в виду
всё-таки
Кажется, прояснилось: если в числителе слагаемого
будет б.м.ф. того же или большего порядка, что и б.м.ф.
в знаменателе, то предел будет не 0, а либо конечно число, либо бесконечность... Тут единственная проблема: мне не представить функцию, у которой предел второго слагаемого будет конечное число или бесконечность. Я понимаю, что они должна быть недифференцируема вообще, но что это за функция, пока неясно.