Бесконечно гладкое сопрягающая двух лучей

[grizzly]

wrest
Ещё раз: нужна (бесконечная) гладкость. А окружность в этом смысле не лучше косинуса. Но визуализация идеи такая, да.

[wrest]

grizzly в сообщении #1326157 писал(а):

Ещё раз: нужна (бесконечная) гладкость.

Да, mea culpa.

[grizzly]

ellipse в сообщении #1326144 писал(а):

Как из этого следует, что в классе бесконечно дифференцируемых нет наилучшей?

Следует не из этого. Вы же знаете, чем супремум отличается от максимума? Так и здесь: какую бы Вы не взяли функцию, удовлетворяющую условию, можно будет найти чуть лучше -- которая ближе с учётом первой производной к прямой $y=x$. Но в пределе будет именно эта прямая.

[ellipse]

grizzly в сообщении #1326161 писал(а):

Так и здесь: какую бы Вы не взяли функцию, удовлетворяющую условию, можно будет найти чуть лучше -- которая ближе с учётом первой производной к прямой $y=x$.

Пока показано только то, что можно найти функцию чуть лучше в классе конечно дифференцируемых. Откуда следует, что можно найти чуть лучше в более узком классе бесконечно дифференцируемых?

[slavav]

Оператор свёртки с бесконечно дифференцируемым ядром (ТС привёл такое ядро в первом сообщении) переводит любую непрерывную функцию в бесконечно дифференцируемую. Ядро должно быть финитным (отличным от нуля в конечной окрестности нуля) с единичным интегралом. Таких ядер можно построить последовательность уменьшая окрестность, где ядро отлично от нуля. Для последовательности ядер строим последовательность функций. У них такие свойства: последовательность равномерно сходится к исходной функции, Если исходная функция где-то дифференцируема, по последовательность производных сходится к производной функции. Получается конструкция где лучшей функции нет - всегда можно предъявить функцию с меньшей производной. А минимум производной достигается на пределе, да только предел не гладкий. Как-то так.