Бесконечно гладкое сопрягающая двух лучей

[ellipse]

Как построить бесконечно дифференцируемую функцию, которая равна $0$ при $x\le 0$ и $1$ при $x\ge 1$. И желательно наименее крутую, то есть максимум производной как можно меньше.

Пока смог придумать только такую функцию $f(x)=e^{\frac{1}{x^2-1}}$. Она вроде бесконечно гладко сопрягает два луча, но на одном уровне.

[TOTAL]

ellipse в сообщении #1326088 писал(а):

Как построить бесконечно дифференцируемую функцию, которая равна $0$ при $x\le 0$

Разлагайте эту воображаемую функцию в ряд Тейлора относительно нуля.

[wrest]

ellipse
Может, синус подойдёт?

[пианист]

Видимо, это будет что-то типа последовательности гладких функция, приближающихся к куску прямой $y = x$.

[grizzly]

wrest в сообщении #1326099 писал(а):

Может, синус подойдёт?

ellipse в сообщении #1326088 писал(а):

Как построить бесконечно дифференцируемую функцию

-- 12.07.2018, 08:19 --

пианист
А есть какие-то теоремы о гладкости предела такой последовательности?

[пианист]

:о
Мне кажется очевидным, что такого быть не может.
Типа примера Вейерштрасса (который против принципа Дирихле).

[grizzly]

пианист в сообщении #1326105 писал(а):

Мне кажется очевидным, что такого быть не может.

Какого? Вопрос ТС имеет широкоизвестное стандартное решение (я не говорю о минимальности максимума производной) и строится теми же шапочками, которые ТС нащупал. Пример есть у Гелбаума, Олмстеда, сейчас посмотрю.

-- 12.07.2018, 09:01 --

Вот: $f(x)=\exp\left(-\dfrac{1}{x^2}\exp\left(-\dfrac{1}{(1-x)^2}\right)\right)$ (на (0;1)).

[пианист]

Гладкого предела.
А, я как раз о минимальности максимума.

[grizzly]

пианист
Я только сейчас понял Ваше первое сообщение

[пианист]

:))

[wrest]

ellipse в сообщении #1326088 писал(а):

И желательно наименее крутую, то есть максимум производной как можно меньше.

Из теоремы Лагранжа о среднем значении следует, что найдется такая точка, в которой производная будет равна единице, так что максимум производной меньше единицы никак не сделать. Но такой гладкой функции, чтобы максимум производной был равен единице, не существует, а как тут выше заметили, существуют последовательности функций, пределы которых дают этот минимум максимума производной.

Одна из последовательностей может быть как на картинке -- уменьшаем радиусы сопрягающих окружностей и так приближаемся к прямой $y=x$.

[ellipse]

wrest в сообщении #1326134 писал(а):

Одна из последовательностей может быть как на картинке -- уменьшаем радиусы сопрягающих окружностей и так приближаемся к прямой $y=x$.

А предел такой последовательности будет бесконечно дифференцируемый?

[wrest]

ellipse в сообщении #1326137 писал(а):

А предел такой последовательности будет бесконечно дифференцируемый?

Каждая функция последовательности, очевидно, будет гладкой.
А пределом последовательности является, как вы понимаете, ломаная (на картинке зеленым цветом).

То есть "наилучшей функции" и при том гладкой, в принципе не существует, для любой предложенной функции можно найти другую, максимум производной которой будет меньше.

[TOTAL]

wrest в сообщении #1326142 писал(а):

ellipse в сообщении #1326137 писал(а):

А предел такой последовательности будет бесконечно дифференцируемый?

Каждая функция последовательности, очевидно, будет гладкой.

Требуется гладкость всех производных.

[ellipse]

wrest в сообщении #1326142 писал(а):

То есть "наилучшей функции" и при том гладкой, в принципе не существует, для любой предложенной функции можно найти другую, максимум производной которой будет меньше.

Как я понимаю, показано, что для любой функции найдется конечно дифференцируемая с наименьшей крутизной. Как из этого следует, что в классе бесконечно дифференцируемых нет наилучшей?