Визуализация тессеракта. Опрос

[arseniiv]

EUgeneUS в сообщении #1310098 писал(а):

Весьма наглядно, но вот у меня, например, эти разноцветные пузырики разного размера в 4-5-6-мерную картину не складываются, остаются разноцветными пузыриками в трехмерном пространстве.

И не должны. Это использование тех ресурсов типичного человеческого зрительного анализатора, которые в нём есть. Ещё есть способ визуализации с помощью стилизованных лиц, его придумали, ориентируясь на ту область, которая используется при распознавании лиц людей. Не знаю, правда, более ли он эффективен, чем кодирование цветами, формой и размером.

EUgeneUS в сообщении #1310098 писал(а):

Интересно описание словами четырехмерных образов.

Слова тоже для этого плохо предназначены, мы даже трёхмерные-то не очень описываем.

Munin в сообщении #1310099 писал(а):

- и наконец, уставшие от этого математики пользуются обычными словами: куб, шар (даже диск), сфера, пространство, иногда с приставкой $n$- или уточнением "$n$-мерный"

Ну «гипер» тоже ведь в ходу. Это обычно коразмерность 1.

[EUgeneUS]

Munin в сообщении #1310099 писал(а):

Ну не складываются и не складываются. Было бы из-за чего переживать.

Уверяю Вас, никаких эмоций по этому поводу не испытываю.
Что касается первых трех пунктов, не понял: это были комментарии не требующие ответа, или ответ на них ожидается.

[Munin]

EUgeneUS в сообщении #1310105 писал(а):

Что касается первых трех пунктов, не понял: это были комментарии не требующие ответа, или ответ на них ожидается.

Ожидается на них рефлексия. Если у вас есть заготовленные необдуманные ответы, то пожалуй, они не нужны. Если же вы сочли замечания влияющими на вашу позицию и действия, то можно и обсудить.

[EUgeneUS]

Munin в сообщении #1310119 писал(а):

Если у вас есть заготовленные необдуманные ответы, то пожалуй, они не нужны. Если же вы сочли замечания влияющими на вашу позицию и действия, то можно и обсудить.

Не знаю, на сколько Вы сочтете обдуманными, но таки попробую ответить.

0. Общий ответ на вопросы "зачем?" - ради любопытства.
1. "Зачем описывать словами". Интересовал вопрос: можно ли образ, не имеющий общепринятых интуитивных аналогов, и не состоящий из общепринятых интуитивных примитивов передать от одного человека другому.
2. На пункты два и три ответ у меня один: прежде чем задаваться предыдущим вопросом, хорошо бы выяснить: а такой образ вообще возможно сформировать? Если да, то насколько это распространено? История со студентом, представившим 4D-куб и отъехавшим в дурку широко известна.

-- 05.05.2018, 09:50 --

arseniiv в сообщении #1310103 писал(а):

Слова тоже для этого плохо предназначены, мы даже трёхмерные-то не очень описываем.

Ну как-то же получается, иногда
3D-образ может собираться "по рецепту": взять такой-то примитив, сделать с ним что-то. Но требуется набор общепринятых примитивов и действий с ними. Но не всегда срабатывает:

1. Берем длинную полоску бумаги. (Общепринятый, всем понятный примитив)
2. Один узкий край поворачиваем на 180 градусов, удерживая противоположный край, склеиваем узкие края (Общепринятые, всем понятные действия)
Получили ленту Мёбиуса. Не знаю, как у кого, а у меня 3D-модель в голове возникла.

3. Разрезаем получившуюся лену Мёбиуса вдоль центральной линии. Действие всем понятное, а вот результат (в первый раз) оказывается неожиданным. Тут "рецепт" часто дает сбои.

[Munin]

EUgeneUS в сообщении #1310179 писал(а):

История со студентом, представившим 4D-куб и отъехавшим в дурку широко известна.

Скорее, не история, а байка.

Вообще как-то дико видеть это превращение в мистику простого и технического навыка, который получают сотни студентов в год во множестве вузов, чисто в рутинном порядке. Я такое встречал только в отношении ещё двух вещей: "понять теорию относительности" и "понять квантовую механику".

EUgeneUS в сообщении #1310179 писал(а):

3D-образ может собираться "по рецепту": взять такой-то примитив, сделать с ним что-то.

Точно так же можно и во всех остальных случаях. И это широко используется.

Например:

1. Взять отрезок. Взять точку вне этого отрезка, не на его продолжении, соединить её со всеми точками отрезка. Получится треугольник.
2. Взять треугольник. Взять точку вне этого треугольника, не в его плоскости, соединить её со всеми точками треугольника. Получится тетраэдр.
3. Взять тетраэдр. Взять точку вне этого тетраэдра, не в его плоском подпространстве, соединить её со всеми точками тетраэдра. Получится 4-симплекс.

1. Взять пять одинаковых тетраэдров. Раскрасить их в пять цветов. У каждого тетраэдра покрасить все его грани в четыре "не его" цвета.
2. Склеить два тетраэдра гранями, так что цвет грани соответствует цвету приклеиваемого тетраэдра. Форма граней одинакова, и склеивание возможно точное.
3. Продолжить склеивание всех остальных тетраэдров по всем граням. Получится 3-поверхность 4-симплекса.

1. Взять полусферу.
2. Для каждой точки на границе полусферы найти противоположную (по отношению к центру сферы). Склеить попарно все такие точки. Получится эллиптическое 2-пространство, или проективная плоскость (в зависимости от деталей определений, последнее может быть не совсем точным).

1. Взять шар.
2. Для каждой точки его сферической поверхности найти противоположную (по отношению к центру шара). Склеить попарно все такие точки. Получится пространство, топологически изоморфное эллиптическому 3-пространству или проективному 3-пространству.

1. Взять додекаэдр.
2. Рассмотреть две противоположные грани - пятиугольники. Они повёрнуты: там, где у одного пятиугольника рёбра, у другого вершины. Их можно совместить поворотом одного из них на $180^\circ/5=36^\circ,$ и параллельным переносом в пространстве. Склеить попарно все точки граней, совмещённые таким движением.
3. Выбрать для всех остальных пар граней додекаэдра такое же направление поворота (например, "ближнюю по часовой стрелке, глядя снаружи додекаэдра"). Склеить их между собой аналогично. Получится гомологическая сфера Пуанкаре.

[warlock66613]

Как-то на этом форуме кто-то упомянул декартово произведение червяка и табуретки (как трёхмерных объектов). Меня чуть не стошнило.

[Munin]

Ну уж.

Но декартовы произведения полезно себе представлять. Например ($S^n$ - сфера, $I$ - отрезок),

- $S^0,S^3,I^2,I^3$
- $S^0\times I,S^1\times I,S^2\times I,S^1\times I^2,S^2\times I^2$
- $S^0\times S^1,S^1\times S^1,S^2\times S^1,S^2\times S^2,S^3\times S^1$
- $S^1\times S^1\times S^1,S^2\times S^1\times S^1,(S^1)^4$

Ещё стоит быть знакомым с конусами, букетами, и т. п.

[grizzly]

Я проголосовал в этом опросе за п.1, но решил вернуться и оставить свой комментарий. У меня сколько-то неплохо развито координатное воображение (настолько, что в 3D я тоже предпочитаю пользоваться им -- иногда и в быту). Но всё же это весьма убогая замена реальному пространственному воображению. Настолько убогая, что самые простые вопросы по геометрии 4D-куба десятилетиями оставались загадкой до появления достаточно мощных компьютеров, позволяющих решить эти вопросы компьютерным "пространственным воображением" (тоже покоординатным, кстати) -- перебором.

[upgrade]

В множествах попроще:
одномерное - куча точек
двумерное - куча куч точек
трехмерное - куча куч куч точек
четырехмерное - куча куч куч куч точек
...

[Munin]

grizzly в сообщении #1319741 писал(а):

Настолько убогая, что самые простые вопросы по геометрии 4D-куба десятилетиями оставались загадкой...

А можете рассказать, какие именно вопросы? А то дразнитесь только.

[grizzly]

Munin в сообщении #1319820 писал(а):

А можете рассказать, какие именно вопросы?

Могу, просто боюсь, что я этими вопросами уже порядком поднадоел на форуме :) (я, кстати, всё ещё продолжаю ими заниматься, скооперировавшись в плане живых дискуссий и программирования с одним из участников форума).

Вот простейшая 3D-задача. Сколько точек можно разместить в 3D-кубе (лучше, если на рёбрах или гранях в целочисленной решётке) так, чтобы любые 3 точки давали остроугольный треугольник? 4 точки найдёт любой ребёнок. 5 точек чуть сложнее, но тоже просто.

А вот для 4D+ такая же задача продержалась в виде неправильной гипотезы 20 лет (см. гипотеза Грюнбаума--Данцера), потом была опровергнута (неконструктивно) Эрдёшом, и только ещё через 30 лет был построен пример из 8 точек (а 9 точек впервые удалось построить уже мне в прошлом году :)

В конце этого сообщения можно найти совсем уж тривиальное (и конструктивное!) опровержение той гипотезы. (Если я соберусь его опубликовать, статья войдёт в двойку самых коротких статей, решающих (пусть и с большим запозданием) какую-то долгоиграющую гипотезу. В отличие от статьи №1 решение будет чисто теоретическим, а не просто построением контрпримера.)

У всей этой истории я вижу только одно рациональное объяснение: низкие возможности любого представителя Homo Sapiens в пространственном 4D-воображении.

[nya]

Так в этом никакой специфики 4-мерности нету мне кажется, по всякой такой комбинаторной геометрии задачи можно сотнями штамповать, и они особо никакими методами не решаются (когда решаются - большое везение).

[grizzly]

nya
Не знаю, о какой специфике 4-мерности Вы говорите. Я говорю, что 5-классник сможет решить задачу вообразить 4 точки в 3D с нужным свойством (здесь тоже не обязательно использовать специфику 3D), а гениальный математик 8 точек в 4D -- не сможет (ни со спецификами, ни без). И это не потому, что количество точек катастрофически выросло.

(Оффтоп)

Я Вам не скажу за всю Одессу комбинаторную геометрию, но что касается конкретно задачи найти $2^{D-1}$ точек в $R^D$ -- немалая сложность была именно в том, чтобы найти пару примеров в малых размерностях, а после этого задача была решена олимпиадным методом за пару недель теми же специалистами, которые работали над ней раньше. И тут же на основе этих результатов вышла ещё одна статья -- про антиподальные множества. А там свой цех специалистов, и им, грубо говоря, тоже не хватало тех же наглядных примеров.

Замечу, что догадался я искать эти примеры тоже не на пустом месте -- прорыв в задаче сделал московский школьник Дима Захаров, а меня уже вдохновили его результаты. Я здесь решал эту задачу "в прямом эфире" -- со всеми глупостями, сложностями, сомнениями и т.п. И после того я не правил старые сообщения, хотя за некоторые мне должно быть стыдно, по идее. Но я думаю, что в черновиках через это проходят все или почти все.

И да -- подчеркну -- это не какая-то тупая штамповка, задача связана с очень даже прикладными вопросами (той же теорией кодирования, например, и Эрдёш работал параллельно и там, и там).

[arseniiv]

(О прагматике винных бочек)

upgrade в сообщении #1319757 писал(а):

В множествах попроще:
одномерное - куча точек
двумерное - куча куч точек
трехмерное - куча куч куч точек
четырехмерное - куча куч куч куч точек
...

Зачем такое писать?

[Munin]

grizzly
Про вашу задачу я знаю, и с удовольствием смотрю за развитием ситуации. Но вы обещали "вопросы" во множественном числе. Может, ещё пяток накидаете?