Исследовать ряд на сходимость

[Red Blood Rose]

Приветствую, каким образом вот это вот исследовать? Я по всем признакам прогнал не по разу, уже 5 часов с ним мучаюсь, ни один признак не дал ответа, даже бесконечно малые ничего не дают
Я подозреваю что здесь только предельным, либо сравнением. По предельному конечное ненулевое у меня получить не удалось, по признаку сравнения ряд я так и не подобрал.
Ну и ещё возможно интегральный, но можно ли раскладывать несобственный интеграл в ряд? Я разложил и получил расхождение, все таки значит ряд расходится?


$ \sum_{n=1}^{\infty}n\cdot \sin\left ( \frac{1}{n^{\frac{5}{2}}} \right )$

[thething]

Предельный признак и эквивалентность синуса

[Red Blood Rose]

thething в сообщении #1318881 писал(а):

Предельный признак и эквивалентность синуса

И какой ряд брать вторым?

[thething]

Слова "эквивалентность синуса" о чём-то говорят?

[Red Blood Rose]

thething в сообщении #1318884 писал(а):

Слова "эквивалентность синуса" о чём-то говорят?

Причём тут это? У меня вопрос про предельный признак, какой ряд брать?

[thething]

Ну а у меня вопрос, ответив на который, Вы ответите и на свой вопрос

[Red Blood Rose]

thething в сообщении #1318887 писал(а):

Ну а у меня вопрос, ответив на который, Вы ответите и на свой вопрос

Эквивалентен n^(-5/2), и что это даёт? Если взять это как второй ряд, это даст отношение синуса к корню из n в кубе, даже если это подвести к первому замечательному пределу получился ноль, что не даёт ответа

[thething]

Осталось посмотреть, чему будет эквивалентен весь общий член ряда. Потом вспомнить определение эквивалентных функций и формулировку предельного признака. Ну и эталонный ряд.

[Red Blood Rose]

Надеюсь ещё кто то поможет

[Евгений Машеров]

Куда уж больше? Практически решили.

[Red Blood Rose]

Евгений Машеров в сообщении #1318893 писал(а):

Куда уж больше? Практически решили.

Ну я этих определений за время попыток решения не пяток раз прочитал, и до этого пользовался эквивалентностями и признаками сравнения и предельным, но это...

[thething]

Вы, похоже, хотите, чтобы за Вас всё решили, но тут так не принято, поэтому, давайте по шагам (заодно и мысли в порядок приведёте):

1. Выпишите сюда, чему равен общий член ряда

2. Выпишите сюда, чему эквивалентен общий член ряда

3. Выпишите сюда определение эквивалентных функций

4. Выпишите сюда формулировку предельного признака сравнения рядов

[Евгений Машеров]

Замените синус на его эквивалент, умножьте на n, и посмотрите, что получается. Более строго, наверно, использовать неравенство \sin x < x$, выполняющееся начиная с некоторого n.

[ewert]

Red Blood Rose в сообщении #1318888 писал(а):

Эквивалентен n^(-5/2), и что это даёт?

Это даёт эталон, про который к этому моменту всё должно быть известно. Разве что захочется помазохидничать -- тогда никто не в силах запретить доказывать сходимость/расходимость эталонного ряда в очередной, стопиццотый раз.

(Оффтоп)

Евгений Машеров в сообщении #1318899 писал(а):

Более строго, наверно, использовать неравенство \sin x < x$, выполняющееся начиная с некоторого n.

Во-первых, это невозможно, т.к. буковки ничем не связаны. Во-вторых, ничуть это не строже. В-третьих, попробовать можно, конечно -- из чувства эстетического извращения.

[Red Blood Rose]

thething в сообщении #1318898 писал(а):

Вы, похоже, хотите, чтобы за Вас всё решили, но тут так не принято, поэтому, давайте по шагам (заодно и мысли в порядок приведёте):

1. Выпишите сюда, чему равен общий член ряда

2. Выпишите сюда, чему эквивалентен общий член ряда

3. Выпишите сюда определение эквивалентных функций

4. Выпишите сюда формулировку предельного признака сравнения рядов

Поскольку я с телефона, буду коряво писать формулы
1. Общий член под знаком суммы
2. Если заменить синус эквивалентом, получается n/n^(5/2) -> 1/n^(3/2)
3.Своими словами - это функции, отношение которых в некоторой точке равно единице
4. Своими словами - если нужно исследовать ряд с общ членом А на сходимость, можно взять ряд с членом В, который сходится или расходится. Затем найти предел А/В на бесконечности, и если этот предел равен конечному ненулевому числу, то про ряд А можно сказать тоже, что и про ряд В.