2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Популярные рассказы о квантовой запутанности и др. явлениях
Сообщение10.05.2018, 21:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4606
Anton_Peplov в сообщении #1311538 писал(а):
Узнать.
Комплексное $L_2$ (и вообще $L_p$) определяется так же как вещественное, только функции, входящие в это пространство, могут принимать комплексные значения (при этом аргументы у них всё равно вещественные!)

В вещественном $L_2(a,b)$ скалярное произведение такое:
$$
(f,g)=\int\limits_a^bf(x)g(x)dx,
$$
а в комплексном - такое:
$$
(f,g)=\int\limits_a^bf(x)\overline{g(x)}dx,
$$
т.е. $g(x)$ под знаком комплексного сопряжения.

(Интегрирование здесь везде, вообще говоря, по Лебегу.
Всё это легко распространяется на случай пространств функций нескольких аргументов, типа $L_p(\mathbb{R}^n)$ или $L_p(\Omega)$, где $\Omega$ - область в $\mathbb{R}^n$.)

Это нужно, в частности, для того чтобы выполнялось
$$
(f,f)=\int\limits_a^b|f(x)|^2dx=\|f\|^2.
$$
И, конечно, чтобы удовлетворялись аксиомы скалярного произведения - в комплексном случае они немного другие, чем в вещественном. Видно, например, что в комплексном случае скалярное произведение несимметрично: $(f,g)\neq(g,f)$.

Что-то подобное имеет место уже в конечномерных комплексных пространствах. Например, скалярное произведение в $\mathbb{C}^n$ имеет вид
$$
(x,y)=\sum\limits_{k=1}^nx_k\overline{y_k},
$$
где $x=(x_1,\ldots,x_n)$, $y=(y_1,\ldots,y_n)$.

Для квантовой механики важно ещё изучить, что такое спектр линейного оператора, чем дискретный спектр отличается от непрерывного, и какими особенностями обладает спектр самосопряжённых операторов. Эта теория про спектр обычно формулируется только для комплексных пространств.
Например, в конечномерном случае спектр - это множество собственных значений оператора. В бесконечномерном сложнее.

На знание квантовой механики не претендую (только на знание функционального анализа).
Но если по теме, то довольно симпатичной кажется книжка
Иванов. Как понимать квантовую механику
Её тут советовали в разных темах, и мне она тоже нравится, так что советую без опаски.

 Профиль  
                  
 
 Re: Популярные рассказы о квантовой запутанности и др. явлениях
Сообщение10.05.2018, 22:12 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Aritaborian)

Aritaborian в сообщении #1311539 писал(а):
А в каких произведениях Иган более тщательно подходит к использованию идей квантовой механики? Я пока что не так уж много его читал.
Ну, он не пренебрегает декогеренцией явным образом в той же «Лестнице Шильда» и чём-то там ещё, но описание обычно не погружается достаточно глубоко в кванты, чтобы стоило о них говорить и чтобы обсуждать декогеренцию в тексте. Вот в трилогии «Orthogonal» достаточно интересно и довольно наглядно выстроена история открытия релятивистских и квантовых теорий (но для другой сигнатуры пространства-времени). Забыл, додумались ли там до декогеренции или тот кусок специально опущен.

Не, Иган умница, но не думаю, что здесь его нужно предлагать. Это всё-таки больше художественное.

Кстати я тоже присоединяюсь к совету ФЛФ, читал как раз те части и понравилось.

Anton_Peplov в сообщении #1311531 писал(а):
проекторы, тензорное произведение - совсем не знакомые мне слова.
Кстати, по поводу первого можно прямо в теме: проектор $P$ — это (линейный) оператор, проецирующий элемент на подпространство (ортогональный проектор — ортогонально), и это оказывается возможным выразить очень просто как $P^2 = P$. Отсюда легко при наличии времени вывести разные их свойства. Например, собственные числа и векторы. Для каждого подпространства ортогональный проектор на него единственен, так что их можно использовать вместо — например, вместо одномерных подпространств, соответствующих квантовым состояниям. Через ортогональные же проекторы можно выразить соотношение соответствующих подпространств: если сумма некоторого набора проекторов даёт тождественный оператор 1, значит, подпространства ортогональны.

Я понимаю, непосредственным объяснениям тут не место, потому всё. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Популярные рассказы о квантовой запутанности и др. явлениях
Сообщение10.05.2018, 22:25 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Mikhail_K в сообщении #1311547 писал(а):
На знание квантовой механики не претендую (только на знание функционального анализа).

Не подскажите ли мне тогда, как доказать, что $L^3(0,1)$ изоморфно некоторому факторпространству вида $\ell_1/?$ :?:

-- 10.05.2018, 23:38 --

Уточню на всякий случай. Доказать, что существует замкнутое подпространство $M\subset\ell_1$ такое, что $\ell_1/M$ изоморфно $L^3(0,1)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Популярные рассказы о квантовой запутанности и др. явлениях
Сообщение10.05.2018, 23:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
pogulyat_vyshel в сообщении #1311559 писал(а):
Не подскажите ли мне тогда
Очень прошу любые обсуждения, не имеющие прямого отношения к теме текущего топика, заводить в других топиках. Модераторов жалко, им потом получившуюся окрошку по кусочку разбирать. А им, между прочим, за это денег не плотют.

 Профиль  
                  
 
 Re: Популярные рассказы о квантовой запутанности и др. явлениях
Сообщение10.05.2018, 23:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Anton_Peplov
Ужас какой. Зря вы упомянули бесконечномерность.

Внимание, бесконечномерность вам сейчас отнюдь не принципиальна. Хотя многие могут начать вас бурно убеждать в обратном. А вот комплекснозначность - крайне нужна.

На понятия базиса, оператора, с.з.-с.в. она не оказывает большого влияния. Но скалярное произведение имеет такое свойство:
    $\langle x|y\rangle=(\langle y|x\rangle)^*$ (в физике так обозначается комплексное сопряжение),
так что
    $\langle x|x\rangle\in\mathbb{R}$
и $\sqrt{\langle x|x\rangle}$ можно называть длиной вектора.

Соответственно, меняются понятия ортогональных векторов ($\langle x|y\rangle=0$) и ортогональных преобразований - унитарные преобразования - это такие, которые сохраняют скалярные произведения, и соответственно, длины векторов.

Роль самосопряжённых операторов и матриц в КМ играют эрмитовы операторы (по крайней мере, так их называют в физических учебниках по КМ). Эрмитова матрица $A=(A^*)^\mathrm{T},$ и на её диагонали стоят чисто мнимые числа (в т. ч. нули).

 Профиль  
                  
 
 Re: Популярные рассказы о квантовой запутанности и др. явлениях
Сообщение10.05.2018, 23:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
Munin
Спасибо. Да, всё Вами сказанное про комплекснозначность тоже есть в "Линейной алгебре" Ильина и Позняка, и я это даже когда-то конспектировал (ещё в тетрадку), но с тех пор ни разу не применял и поэтому всё забыл, лет-то прошло много. Думаю, заглянуть в книжку и вспомнить не составит большого труда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Популярные рассказы о квантовой запутанности и др. явлениях
Сообщение10.05.2018, 23:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Пожалуйста, приведите примеры:
- матрицы эрмитова оператора в 2-мерном и 3-мерном пространстве;
- матрицы унитарного оператора в 2-мерном и 3-мерном пространстве.
Найдите определение матриц Паули, и опишите пространство, базисом которого они являются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Популярные рассказы о квантовой запутанности и др. явлениях
Сообщение10.05.2018, 23:36 


20/04/10
1776
Munin в сообщении #1311574 писал(а):
Эрмитова матрица $A=(A^*)^\mathrm{T},$ и на её диагонали стоят чисто мнимые числа (в т. ч. нули).

Тут, очевидно, опечатка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Популярные рассказы о квантовой запутанности и др. явлениях
Сообщение11.05.2018, 02:21 
Заслуженный участник


01/06/15
1149
С.-Петербург
Anton_Peplov в сообщении #1311409 писал(а):
Вот я нагуглил такой рассказ про квантовую запутанность на Geektimes. Ему можно доверять?


Ужасный рассказ. Понять, что хотел сказать автор, можно только зная КМ и всё то, о чём рассказывается. Дурацкая терминология ("пирожные"/"квантожные") и взятые с потолка корреляции цвета и формы придуманных объектов (вместо корреляции свойств реальных квантовых объектов, обусловленной законами сохранения) только запутывают дело. Ну а когда разговор заходит о "множественности миров в КМ" и о коте Шрёдингера, то повествование идёт на грани полубреда.

В плане альтернативного (данному "рассказу") чтива присоединюсь к советам предыдущих ораторов: Иванов, "Как понимать КМ". Или менее строгая и более попсовая книга Пенроуза "Путь к реальности..."

 Профиль  
                  
 
 Re: Популярные рассказы о квантовой запутанности и др. явлениях
Сообщение11.05.2018, 09:46 


01/09/14
401
Anton_Peplov в сообщении #1311409 писал(а):
Однако я столько лет слышу слова про квантовую запутанность, квантовую телепортацию и так далее, что в определённый момент мне стало невтерпёж представить себе, о чём речь, хотя бы на уровне научпопа.


Аналогичная история, вот когда-то заводил тред topic87318.html Но так и не доразобрался. Пришёл к выводу, что надо начинать с интерпретации КМ, потом идти в запутанность. Есть такая интерпретация "заткнись и считай", но она мне не подходит, потому что не владею матаппаратом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Популярные рассказы о квантовой запутанности и др. явлениях
Сообщение11.05.2018, 10:01 
Заслуженный участник


21/09/15
998
Я бы хотел обратить внимание на книгу Гринштейн, Зайонц. Квантовый выбор.
Там почти нет математики. И вообще нет ничего о том, как квантовая механика работает практически - в атомной физике и т. д.
Т. е. это не учебник.
Но рассматриваются болевые точки - запутанность, коты, измерения, смысл волновой функции. Немного о квантовой информатике и криптографии

 Профиль  
                  
 
 Re: Популярные рассказы о квантовой запутанности и др. явлениях
Сообщение11.05.2018, 10:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
lel0lel в сообщении #1311581 писал(а):
Тут, очевидно, опечатка.

Да, спасибо огромное! Заговариваюсь. (А если бы её заметил ТС, было бы совсем хорошо...)

-- 11.05.2018 10:40:49 --

talash в сообщении #1311636 писал(а):
Пришёл к выводу, что надо начинать с интерпретации КМ, потом идти в запутанность.

Вывод ошибочный. Надо начинать с самой КМ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Популярные рассказы о квантовой запутанности и др. явлениях
Сообщение11.05.2018, 11:50 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
Walker_XXI в сообщении #1311601 писал(а):
более попсовая книга Пенроуза "Путь к реальности..."
Не знаю, что вы имеете в виду под "попсовостью", но лёгким чтением эту книгу назвать сложно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Популярные рассказы о квантовой запутанности и др. явлениях
Сообщение11.05.2018, 12:28 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Walker_XXI в сообщении #1311601 писал(а):
Или менее строгая и более попсовая книга Пенроуза "Путь к реальности..."
Менее строгая? Более попсовая? Вы точно не путаете её с какой-либо иной книгой? Это ж серьёзнейший учебник весом в три кило. Никакой попсовостью там не пахнет. Ладно, строгость в ней может и не на уровне Зорича, но называть эту книгу попсовой попросту нелепо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Популярные рассказы о квантовой запутанности и др. явлениях
Сообщение12.05.2018, 10:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
Sorry, вчера совершенно не было времени добраться до форума.

Munin в сообщении #1311580 писал(а):
Пожалуйста, приведите примеры:
- матрицы эрмитова оператора в 2-мерном и 3-мерном пространстве;
Это легко. Зафиксируем ортонормированный базис. Тогда любая эрмитова матрица будет матрицей некоторого эрмитова оператора. Примеры эрмитовых матриц:
$$\left ( \begin{matrix}
1 &i \\ -i & 2
\end{matrix} \right )
$$
$$\left ( \begin{matrix}
1 &1+i&i \\ 
1-i & 2&5+i\\
-i & 5-i &3
\end{matrix}  \right )
$$
Munin в сообщении #1311580 писал(а):
матрицы унитарного оператора в 2-мерном и 3-мерном пространстве
С этим не справился.
Матрица унитарного оператора в ортонормированном базисе, она же унитарная матрица - это такая матрица $A$, что $\bar A^T = A^{-1}$. Я, разумеется, помню рецепт построения обратной матрицы (составить матрицу алгебраических дополнений, транспонировать, разделить на определитель исходной матрицы). Но это столь громоздкая процедура, что я не в силах заранее предсказать её результат. То есть я не могу подобрать матрицу $A$ такой, чтобы обратная к ней имела какие-то заданные свойства. Может быть, имеются какие-то более простые рецепты построения именно унитарных матриц?

Munin в сообщении #1311580 писал(а):
Найдите определение матриц Паули, и опишите пространство, базисом которого они являются.
Сейчас посмотрю, что это за зверь.

talash в сообщении #1311826 писал(а):
О том, как КМ начиналась.
Извините, но я предпочёл бы, чтобы советы по поводу того, как освоить квантовую механику, мне давали люди, уже освоившие квантовую механику.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 48 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group