Матрица - это что?

[pogulyat_vyshel]

куда важнее что бы студенты понимали разницу между матрицей линейного оператора и матрицей билинейной формы

[Yodine]

Или так.
Матрица это отображение прямого произведения семества произвольных множеств на несущее множество.
Вводим проекции $\pi _{i}\colon X\to X_{i} $.
Если упорядочить проекции, то первую проекцию назовем строкой, вторую столбцом, третью глубиной...
Четвертую, наверное, временем.

[g______d]

Вавилов в сообщении #1307456 писал(а):

Множества $B(\mathbb{N},K)$ и $B(\mathbb{Z},K)$ образуют различные (не изоморфные!) кольца, а множество $B(\mathbb{Q},K)$ вообще не является кольцом (потому что произведение двух матриц не определено!)

Я, кстати, не очень понял, почему $B(\mathbb{Z},K)$ кольцо, а $B(\mathbb{Q},K)$ нет. По-моему, в обоих случаях нужно накладывать одно и то же условие (конечность множества ненулевых элементов в каждой строке и каждом столбце). И они вроде даже будут изоморфны.

[mihaild]

g______d в сообщении #1307668 писал(а):

По-моему, в обоих случаях нужно накладывать одно и то же условие (конечность множества ненулевых элементов в каждой строке и каждом столбце).

Вроде бы на $B(\mathbb{Z}, K)$ можно определить умножение и без такого условия: хотя у нас в строке и столбце может быть и бесконечно много ненулевых элементов, но все ненулевые элементы в строке имеют номер столбца больший некоторого $m$, а все ненулевый элементы столбца - номер строки, меньший некоторого $n$. В итоге если зафиксировать строку $U$ и столбец $V$, то число $i$ таких что $U_i \neq 0, V_i \neq 0$ конечно, и понятно как определять произведение $UV$. А для $\mathbb{Q}$ - уже непонятно, т.к. там интервал $(n; m)$ может содержать бесконечное число элементов.

[Alexey Rodionov]

Munin в сообщении #1307610 писал(а):

Нет, вот на это мы не договаривались. Для студентов - лучше следуйте совету Someone.

Это определение - стоит показывать только тем студентам, которые подходят после лекции, недовольные традиционной "таблицей чисел".

Не-е-е. Потом переучивать придется. Можно футболиста для начала научить играть только ногами, а потом ногами и головой. Но начинать с игры рукой я бы не стал. Определение поддается упрощению с потерей общности, но без потери смысла. Обещаю на Вас не ссылаться.

[arseniiv]

А ещё Вавилов настаивает на разделении правых и левых векторных пространств, вы это тоже студентам расскажите. А то будут удивляться, чем отличаются векторы-строки от векторов-столбцов.

(Без шуток, меня это в своё время немного занимало. А вот определение матрицы почему-то нет. Видимо, CS к тому времени уже оставило отпечаток в виде массивов, и всё было ясно. Про отдельные строки/столбцы, наоборот, отпечаток бы противоречил — чего, и там кортеж, и там кортеж…)

[Munin]

Alexey Rodionov в сообщении #1307737 писал(а):

Определение поддается упрощению с потерей общности, но без потери смысла.

Только сначала покажите результат здесь.

[Alexey Rodionov]

Определение. Пусть $I= \{1, \dots , m\}$ и $J= \{1, \dots , n\} $ два подмножества $N$ (называемые в дальнейшем множеством строчных индексов и множеством столбцовых индексов, соответственно), а $X$ множество действительных или комплексных чисел. Тогда матрицей типа $m\times n $ с компонентами из $X$ называется произвольная функция $x\colon I\times J\to X.$ Значение $x$ на паре $(i,j)\in I\times J$ называется компонентой $(i,j)$ матрицы $x$.

[Metford]

Странно, что ТС при его склонностях не догадался заглянуть в труды Бурбаки, которые озаботились таким подходом к вопросу куда как раньше. Но даже эти господа всё-таки не скрывают, что под их мудрёным определением скрывается просто таблица чисел. Да и помимо Бурабаки и Вавилова мне встречалась попытка сделать нечто подобное (правда, всего одна) - её в пример приводить не стану за избыточностью. Так что в этой теме изобретается велосипед (к тому же, похоже, неудобный).
Надеюсь, всё это не коснётся коллег-физиков, и они от этого не пострадают...

[Munin]

Alexey Rodionov
В общем, не забудьте добавить, что:

Вавилов в сообщении #1307456 писал(а):

Прямоугольные таблицы являются одним из способов изображения матриц

во-первых, чтобы всё-таки студенты могли матрицы записать и прочитать, а во-вторых, чтобы у них ваше определение стыковалось с тем, что они услышат из других источников.

[Alexey Rodionov]

Разумеется. И круглую матрицу покажу, и синусоидальную, и матрицу со случайно размещенными по доске компонентами.
А прямоугольная таблица чисел - это из падонковского языка.
Штука не вредная, но не в университете же на нем бакланить?

[provincialka]

Alexey Rodionov в сообщении #1307966 писал(а):

А прямоугольная таблица чисел - это из падонковского языка.

Хм... Ну, падонковский так падоновский... Как-то мы обходимся... По крайней мере на младших курсах.
И не стоит давить на нас своим снобизмом. Не на таковских напали!
У начинающих преподов, да, бывает... Этакий перфекционизьм.

(тут важно -- какую цель товарищ преследует... шашечки или ехать чтобы поняли или чтобы формализовали?)

[Alexey Rodionov]

Можно попытаться достичь состояния когнитивной легкости ( что иногда получается используя падонковский язык), а заодно и повысить общность определения детсадовской игрой.

Написать у студентов на футболках $(1,1)$, $(1,2)$ и т.д.
и раздать каждому по фруктику - фруктовая матрица, по денежке - денежная матрица, по ... зависит от фантазии.
А теперь, дети, покувыркайтесь.
- Изменилась матрица?
- Неет!!!
- А теперь постройтесь в коробочку.
- Ну, как?
- А в туалет можно?
- Можно.
- А футболку снять?
- Снимай. Только компоненту на нее положи, а то матрицу испортишь.

[beroal]

Munin в сообщении #1307806 писал(а):

Alexey Rodionov
В общем, не забудьте добавить, что:

Вавилов в сообщении #1307456 писал(а):

Прямоугольные таблицы являются одним из способов изображения матриц

во-первых, чтобы всё-таки студенты могли матрицы записать и прочитать, а во-вторых, чтобы у них ваше определение стыковалось с тем, что они услышат из других источников.

Таблицы являются способом изображения конечных функций или конечных отношений. Не надо ограничиваться линейной алгеброй.

[provincialka]

Alexey Rodionov
Ну, играйтесь, играйтесь... Только спросите все-таки у студентов, что они поймут, что нет... Чисто методически удобнее сначала создать интуитивный образ, а потом его формализовать. А не обрушивать на юные, "измученные ЕГЭ", головы всякие абстракции.

Что-то я не помню, чтобы нам со студентами хоть раз помешал этот ужасный "падонкофский язык"... Что, боитесь, что ученики лишатся своего аристократизма? (ха! был бы он изначально)