Уравнение Больцмана и его свойства

[epros]

warlock66613 в сообщении #1305836 писал(а):

Суть в том, что если начальное состояние удовлетворяет некоторому условию, которое, в отличие от уравнений, несимметрично, и если симметричные уравнения таковы, что (по крайней мере, в течение долгого времени) это условие сохраняется эволюцией, то происходящее эффективно описывается уравнением с нарушенной симметрией.

Ваш пример как-то слишком далёк от того, что на практике отличает обратимые уравнения от необратимых. Он построен на том, что инверсия времени переносит нас из области, в которой уравнения эквивалентны ("после БВ"), в область, где они существенно различны ("до БВ"). На практике же обычно бывает интересно решение уравнений динамики на отрезке от некоего $t_{\text{нач}}$ до некоего $t_{\text{кон}}$, а "обратимость" означает, что по состоянию $S(t_{\text{кон}})$ мы можем найти состояние $S(t_{\text{нач}})$.

Теперь давайте посмотрим на процитированное. Если упомянутое Вами "некоторое условие" удовлетворяется в момент $t_{\text{нач}}$ и оно "сохраняется эволюцией" по крайней мере до момента $t_{\text{кон}}$, то на отрезке между $t_{\text{нач}}$ и $t_{\text{кон}}$ мы имеем нормальные обратимые уравнения динамики, а все разговоры о том, что они "эффективно" заменяются необратимыми, никакого полезного смысла не несут. Содержательные отличия необратимых уравнений от обратимых появляются только тогда, когда функция $f : S(t_{\text{нач}}) \mapsto S(t_{\text{кон}})$ не биективна, то бишь не имеет обратной в силу того простого факта, что некоторое $S(t_{\text{кон}})$ соответствует не единственному $S(t_{\text{нач}})$. Необратимые уравнения обычно получаются из обратимых путём внесения малой неопределённости или точек бифуркации. Но суть в том, что это всё же другие уравнения - в том смысле, что у них другие решения на том отрезке от $t_{\text{нач}}$ до $t_{\text{кон}}$, который нас интересует.

[warlock66613]

epros в сообщении #1305978 писал(а):

Он построен на том, что инверсия времени переносит нас из области, в которой уравнения эквивалентны ("после БВ"), в область, где они существенно различны ("до БВ").

Да нет же. Это только то, почему не работает рассуждение Пуанкаре. Вот чисто формально оно не работает поэтому. Если говорить более содержательно, то принципиальная разница между уравнениями динамики и кинетическим уравнением (безотносительно его обратимости) - это что уравнения динамики справедливы для любой траектории, а кинетическое уравнение - только для реально встречающихся траекторий (участков траекторий). Такие типы законов называются в [1], соответственно, law-like и fact-like. Эти различие даже более глубокое, чем обратимость/необратимость.

epros в сообщении #1305978 писал(а):

cуть в том, что это всё же другие уравнения - в том смысле, что у них другие решения на том отрезке от $t_{\text{нач}}$ до $t_{\text{кон}}$, который нас интересует.

Это кажется весьма затруднительным - как-то сопоставить решения совсем разных уравнений. Они ведь для совершенно разных величин. И суть как раз в том, что решения одинаковые - в том смысле, что один и тот же ответ получается двуми способами: можно просто решить необратимое уравнение, а можно вместо этого решить обратимое, а затем "пересчитать" результат (в описанном выше фреймворке это делается применением оператора Цванцига к решению обратимого уравнения).

[amon]

warlock66613 в сообщении #1305996 писал(а):

Это только то, почему не работает рассуждение Пуанкаре.

Эт Вы опять горячитесь. Прекрасно работают. Ваше условие $\frac {dx} {dt} |_{t=t_0} > 0$ означает необратимость во времени исходного оператора. Я, к сожалению, на некоторое время (пару недель) выключусь из дискусии.

[epros]

warlock66613 в сообщении #1305996 писал(а):

Это кажется весьма затруднительным - как-то сопоставить решения совсем разных уравнений. Они ведь для совершенно разных величин. И суть как раз в том, что решения одинаковые - в том смысле, что один и тот же ответ получается двуми способами: можно просто решить необратимое уравнение, а можно вместо этого решить обратимое, а затем "пересчитать" результат (в описанном выше фреймворке это делается применением оператора Цванцига к решению обратимого уравнения).

Это называется изоморфностью (когда хотя и "совершенно разные величины", но "можно пересчитать"). Как раз между обратимыми и необратимыми уравнениями её-то и нет. Ваш пример про совершенно другое - когда решения на рассматриваемом отрезке одинаковые.

Правильный пример необратимой задачи динамики - это пресловутая задача про Петю, Машу и Мухтара.

(напоминаю условие)

По дороге слева направо движутся Петя со скоростью 5 км/ч и Маша со скоростью 4 км/ч. В момент нуль Пете осталось пройти 5 км до пункта X, Маше осталось пройти 4 км до пункта X (т.е. через час Петя в пункте X обгонит Машу). Мухтар в момент нуль находится рядом с Петей и со скоростью 10 км/ч бежит в сторону Маши. Как только он добежит до Маши, развернётся и побежит к Пете, после чего развернётся и побежит к Маше и т.д. Вопрос: Где будет Мухтар через 2 часа?

Точного ответа для неё не существует. Неточный ответ: Мухтар будет правее пункта X на расстоянии от 4 до 5 км. Причина отсутствия точного ответа - точка бифуркации при прохождении через пункт X, в которой "частота колебаний" Мухтара обращается в бесконечность. Эта задача необратима, потому что из ответа о конечном местонахождении Мухтара нельзя вычислить его начальное местонахождение.

Сделать эту задачу обратимой можно только убрав точку бифуркации. Например, можно дать Мухтару секунду на разворот, тогда частота его колебаний будет ограничена сверху и мы сможем точно вычислить, где он окажется после прохождения пункта X. Но это будет уже другое уравнение с другим решением, хотя в каком-то смысле оно "близко" к исходному.

[warlock66613]

amon в сообщении #1306026 писал(а):

Я, к сожалению, на некоторое время (пару недель) выключусь из дискусии.

Ну, я тогда пока суммирую со своей стороны:
1. Вывод Больцмана из обратимых уравнений динамики существует и приведён в этой теме.
2. Замечание Пуанкаре, утверждающее невозможность получения несимметричных уравнений из симметричных, не опровергает указанный вывод, так как он основывается не только на (симметричных) законах движения, но и - весьма существенным образом - на начальных условиях, которые требуемой симметрией не обладают. Указанные начальные условия могут быть сформулированы как дополнительные требования, которым должна удовлетворять траектория, и имеют космологический характер.

[epros]

warlock66613 в сообщении #1306838 писал(а):

он основывается не только на (симметричных) законах движения, но и - весьма существенным образом - на начальных условиях, которые требуемой симметрией не обладают

Вообще непонятно что такое симметричность или несимметричность начальных условий. Поясните пожалуйста на примере с задачей о Пете, Маше и Мухтаре (Вы ведь согласитесь с тем, что это - задача динамики?).

Выше amon писал о возражении Пуанкаре, что:

amon в сообщении #1305673 писал(а):

либо исходные уравнения не инвариантны относительно обращения времени, либо операция $\mathfrak{R}$ неоднозначна

Судя по всему, всё именно так: операция, с помощью которой производится переход к уравнению Больцмана (оператор Цванцига?), неоднозначна. Т.е. дело вовсе не в "необратимости" каких-то начальных условий.

[Red_Herring]

epros в сообщении #1308269 писал(а):

Судя по всему, всё именно так: операция, с помощью которой производится переход к уравнению Больцмана (оператор Цванцига?), неоднозначна. Т.е. дело вовсе не в "необратимости" каких-то начальных условий.

Если я правильно понимаю, оператор Цванцига (впервые услышал это имя в этом топике) однозначен, но необратим, и именно в необратимости все дело. И переход от Больцмана к газовой динамике, это ведь тоже пример такого оператора(?) С другой стороны, возможно что применение такого оператора обосновано только для "правильных" траекторий (т.е. начальных условий).

[epros]

Red_Herring в сообщении #1308333 писал(а):

необратим

Да, очевидно, это более подходящее слово для обозначения проекции.

Red_Herring в сообщении #1308333 писал(а):

С другой стороны, возможно что применение такого оператора обосновано только для "правильных" траекторий (т.е. начальных условий).

Непонятно, что это могло бы быть за "обоснование". Насколько я в состоянии угадать, под "неправильными" здесь могут иметься в виду начальные условия типа тех, которые через час приводят к собиранию молекул в одном углу сосуда. Не понимаю, что в этих условиях "неправильного" и каким образом оную неправильность можно заметить (с целью заранее исключить выбор именно таких условий). Я так подозреваю, что если нам подсунут такие "неправильные" начальные условия, то применение оператора Цванцига приведет нас к уравнению, из которого собирание молекул через час в одном углу сосуда предсказываться не будет. И это правильно, потому что если нам заранее не сказать когда и куда смотреть, то мы этого собирания скорее всего даже не заметим. Т.е. решение остаётся адекватным нашему инструментарию и, соответственно, я не вижу в выборе этого начального условия ничего "неправильного".

[Red_Herring]

epros в сообщении #1308381 писал(а):

каким образом оную неправильность можно заметить (с целью заранее исключить выбор именно таких условий).

Исключаются они вероятностно (что то вроде множества очень малой меры при достаточно большом количестве молекул)

[warlock66613]

Red_Herring в сообщении #1308333 писал(а):

И переход от Больцмана к газовой динамике, это ведь тоже пример такого оператора(?)

Да, поскольку это дальнейшее "укрупнение" клеток пространства состояний.Хотя откуда укрупнение? Уравнение Больцмана непосредственно даёт распределение Максвелла — Больцмана. Так что скорее нет.

Red_Herring в сообщении #1308333 писал(а):

С другой стороны, возможно что применение такого оператора обосновано только для "правильных" траекторий (т.е. начальных условий).

Применять-то можно для любых траекторий, но желаемый результат - замкнутая динамика для сокращённого описания системы - получается только для "правильных траекторий".

Red_Herring в сообщении #1308401 писал(а):

Исключаются они вероятностно (что то вроде множества очень малой меры при достаточно большом количестве молекул)

Тут есть одна тонкость. Действительно, само по себе условие $\hat I \rho_\text{irrel}(t_0) \approx 0$ является весьма вероятным, как вы сказали. Но для появления "стрелы времени" этого условия недостаточно: это условие исключает траектории с убывающей энтропией и исключительные траектории с постоянной небольшой энтропией, но остаются ещё траектории, где энтропия постоянна и максимальна, то есть траектории, где система всё время пребывает в равновесии, и, соответственно, никакой стрелы времени нет. Для таких траекторий уравнение Больцмана формально, конечно, выполняется, но довольно бесполезно. А если такие равновесные траектории исключить из подсчёта, то траекторий, для которых верно уравнение Больцмана, оказывается ровно столько же, сколько и тех, для которых верно уравнение "анти-Больцмана" (то есть уравнение Больцмана с заменой $t \to -t$), так что обосновать преимущество уравнения Больцмана перед уравнением анти-Больцмана, используя статистические аргументы, нельзя.

[epros]

warlock66613 в сообщении #1308433 писал(а):

это условие исключает траектории с убывающей энтропией и исключительные траектории с постоянной небольшой энтропией

Какова же энтропия у "траектории"? Ага, а вот она:

warlock66613 в сообщении #1305774 писал(а):

Введя понятие ансамбля, можно (следуя Гиббсу) ввести соответствующее понятие энтропии ансамбля

$$ S_{\Gamma}[\rho] = -\int \rho(q, p) \ln {\rho(q, p)}\,dq\,dp. $$

Однако, при всей своей полезности, энтропия ансамбля не может быть физической энтропией. Во-первых, для реальной системы энтропия экстремальна: $S_{\Gamma}[\rho_{\text{phys}}] = -\infty$. Во-вторых, при эволюции, по теореме Лиувилля, эта энтропия остаётся постоянной.

[warlock66613]

epros в сообщении #1308534 писал(а):

Какова же энтропия у "траектории"?

Энтропия не у траектории, а у состояния — у каждой точки траектории. Это написано дальше.

[epros]

Вы сказали "исключает траектории с убывающей энтропией". Что это значит?

[warlock66613]

epros в сообщении #1308539 писал(а):

Что это значит?

Это значит, что всего есть четыре типа траекторий:
1) где начальная энтропия маленькая, а конечная большая,
2) где начальная маленькая и конечная маленькая,
3) где начальная большая и конечная большая,
4) где начальная большая, а конечная маленькая.

Из них (2) не удовлетворяют ни уравнению Больцмана, ни уравнению анти-Больцмана, и могут быть исключены из рассмотрения с помощью статистических аргументов (таких траекторий очень мало, в термодинамическом пределе они составляют множество меры нуль).

Траектории типа (3) — это траектории, где система всё время находится в равновесии, они формально одинаково хорошо описываются и уравнением Больцмана и уравнением анти-Больцмана, и таких траекторий подавляющее большинство.

Траектории типа (1) — это траектории с возрастающей энтропией, а траектории типа (4) — симметричные им траектории с убывающей энтропией (парадокс Лошмидта).

[epros]

warlock66613 в сообщении #1308544 писал(а):

Это значит, что всего есть четыре типа траекторий:

Противоречит Вами же введённому понятию "энтропии ансамбля":

warlock66613 в сообщении #1305774 писал(а):

Во-первых, для реальной системы энтропия экстремальна: $S_{\Gamma}[\rho_{\text{phys}}] = -\infty$. Во-вторых, при эволюции, по теореме Лиувилля, эта энтропия остаётся постоянной.