2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Непрерывность функции (Давидович)
Сообщение02.02.2018, 14:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
irod в сообщении #1289420 писал(а):
имеет более одной предельной точки
...хотя бы одну...
Идея в целом правильная, но противоречие локализовано не совсем точно. Не нужно никаких других точек, когда уже найдено противоречие (поэтому и получили замечание от SomePupil).

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции (Давидович)
Сообщение02.02.2018, 16:13 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
irod в сообщении #1289420 писал(а):
последовательность $(f(x_k))$ сходится к $f(c)$ и, следовательно, ограничена (задача 12 листка 11).
Во-первых, подпоследовательность нельзя обозначать $(x_k)$ -- это то же самое, что $(x_n)$ (индекс-то ведь немой). Надо $(x_{n_k})$. Во-вторых, это чересчур вычурно: стремление к бесконечности напрямую противоречит стремлению к конечному $f(c)$. Хотя, впрочем, это зависит от того, в сколь причудливом порядке давались предыдущие задачки/определения.

SomePupil в сообщении #1289426 писал(а):
На самом деле, возможен и такой случай, когда после вычета останется бесконечное количество членов.

На самом деле невозможен. Другое дело, что вопрос о том, можно ли вычесть решительно все сходящиеся подпоследовательности, вряд ли можно решить без злобной аксиомы выбора. И что это явный перебор, да.

-- Пт фев 02, 2018 17:36:55 --

А, можно и без. Но всё рано это безумие. Формально правильное, но -- безумие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции (Давидович)
Сообщение08.02.2018, 14:35 


21/02/16
483
grizzly в сообщении #1289431 писал(а):
Не нужно никаких других точек, когда уже найдено противоречие (поэтому и получили замечание от SomePupil).
Простите, я долго думал над этим, и все равно не понимаю почему не нужно никаких других точек. Можете объяснить подробнее?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции (Давидович)
Сообщение08.02.2018, 14:46 
Аватара пользователя


14/12/17
1510
деревня Инет-Кельмында
Если последовательность стремится к бесконечности, что можно сказать про любую её подпоследовательность?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции (Давидович)
Сообщение08.02.2018, 14:47 


21/02/16
483
Со вторым пунктом тоже затык.
б) для любого замкнутого множества $M\subset[a,b]$ его образ $f(M)$ замкнут.

Мои попытки.
Пусть $M\subset[a,b]$ -- замкнутое множество, $y$ -- произвольная предельная точка множества $f(M)$, и пусть $(x_n)$ -- последовательность точек множества $M$ такая, что последовательность $(f(x_n))$ сходится к $y$.
Надо доказать, что $(x_n)$ сходится к некоторой точке $c$. Тогда $c$ по определению будет предельной точкой множества $M$, и значит по условию (из замкнутости $M$) $c\in M$.
По определению непрерывности в точке, последовательность $(f(x_n))=(y_n)$ сходится к точке $f(c)=y$. Т.е. $y\in f(M)$.
Как доказать что $(x_n)$ куда-то сходится? Кажется, это ниоткуда не следует.
Или я вообще не в ту сторону пошел?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции (Давидович)
Сообщение08.02.2018, 15:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
irod в сообщении #1291123 писал(а):
Можете объяснить подробнее?
Мы все намекаем Вам, что (хотя идея решения у Вас верная) можно было пойти более рациональным путём.

Вот Ваша цитата (я в ней подправил пару букв, это сейчас не важно):
irod в сообщении #1289420 писал(а):
По определению непрерывности функции в точке, подпоследовательность $(f(x_{n_k}))$ сходится к $f(c)$ и, следовательно, ограничена (задача 12 листка 11).
Вот здесь лучше было строить противоречие. Пусть $f(c)=y_c$, тогда по определению непрерывности для $\varepsilon =1$ существует $\delta >0$ такое, что для любого $x\in (c-\delta, c+\delta): f(x) \in (y_c-1, y_c+1)$. А это вступает в противоречие с определением последовательности, стремящейся к бесконечности (см. задачу 15 листка 11).

-- 08.02.2018, 15:42 --

irod в сообщении #1291131 писал(а):
Как доказать что $(x_n)$ куда-то сходится? Кажется, это ниоткуда не следует.
Не только не следует, но это и не так (придумайте простой контрпример в качестве бонуса :) Зато, считайте, Вы уже получили ограниченную последовательность. Разве Вам недостаточно просто взять из неё сходящуюся подпоследовательность?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции (Давидович)
Сообщение09.02.2018, 13:59 


21/02/16
483
eugensk в сообщении #1291129 писал(а):
Если последовательность стремится к бесконечности, что можно сказать про любую её подпоследовательность?
Она тоже стремится к бесконечности.
Все, у меня "щелкнуло", и теперь мне стыдно за такие глупые вопросы. Большое Вам спасибо! Почему-то у меня в голове перемешались определения неограниченной и стремящейся к бесконечности последовательностей (точно так же, как когда-то ранее я путал наличие у последовательности предельных точек и сходимости).
Видимо, пришла пора устроить себе небольшое самотестирование по всему пройденному (обычно провожу их после каждых 1-3 листков).
grizzly в сообщении #1291135 писал(а):
Вот здесь лучше было строить противоречие.
Ваши выкладки мне понятны, но чем они лучше чем моей отсылки к задаче 12 листка 11 -- не понятно.

-- 09.02.2018, 14:13 --

Вот новое исправленное доказательство 14.а с учетом замечаний ewert и других.
irod в сообщении #1289122 писал(а):
Задача 14.
Пусть функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$. Доказать, что
а) функция $f$ ограничена на $[a,b]$;
Произвольная последовательность $(x_n)$ из чисел отрезка $[a,b]$ ограничена, и значит имеет хотя бы одну предельную точку $c$ (задача 13 листка 11). Пусть $(x_{n_k})$ -- сходящаяся к $c$ подпоследовательность $(x_n)$. По определению непрерывности функции в точке, последовательность $(f(x_{n_k}))$ сходится к $f(c)$. Из сходимости подпоследовательности $(f(x_{n_k}))$ следует, что вся последовательность $(f(x_n))$ не является стремящейся к бесконечности.
Таким образом, какова бы не была последовательность $(x_n)$, последовательность $(f(x_n))$ не стремится к бесконечности. Отсюда следует ограниченность $f$ на $[a,b]$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции (Давидович)
Сообщение09.02.2018, 14:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
irod в сообщении #1291368 писал(а):
чем они лучше чем моей отсылки к задаче 12 листка 11 -- не понятно.
Вот это слишком сложно:
    irod в сообщении #1289420 писал(а):
    За вычетом сходящихся подпоследовательностей, в $(x_n)$ останется не более конечного числа членов.
Там этих сходящихся подпоследовательностей может быть несчётное число, Вы ещё не знаете механизмов, способных их аккуратно и правильно удалять.

Отвлечённо: посмотрите на последовательность $(1/n)$. Она состоит из счётного множества точек (иначе и быть не может) и сходится к 0. Но если Вы присмотритесь внимательно, то обнаружите, что в ней помещается несчётное множество разных сходящихся подпоследовательностей (которые, конечно, пересекаются). Даже если Вы удалите какое-то несчётное количество таких подпоследовательностей, у Вас всё ещё может остаться сходящаяся последовательность.

-- 09.02.2018, 14:30 --

irod в сообщении #1291368 писал(а):
следует, что вся последовательность $(f(x_n))$ не является стремящейся к бесконечности.
"Не является стремящейся к бесконечности" -- это не то же самое, что "является ограниченной". Пример: последовательность $\{1,2,1,3,1,4,1,5,...\}$ не является стремящейся к бесконечности, но она не ограничена.

PS. Я на самом деле считаю, что это была оговорка :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции (Давидович)
Сообщение10.02.2018, 10:23 


21/02/16
483
grizzly
нет, не оговорка. Я понимаю, что $(f(x_n))$ не обязана быть ограниченной только потому что ее подпоследовательность ограничена, и хотел показать что она именно не стремится к бесконечности.
Наверное, надо было все-таки от противного доказывать, как в первой попытке: брать $(x_n)$ такую, что $(f(x_n))$ стремится к бесконечности и так далее.
После Вашего замечания мне снова кажется, что от меня еще что-то ускользает. Новый вариант доказательства под катом. Пожалуйста, напишите где там можно было пойти более рациональным путем, если это так.

(Новое доказательство от противного)

Предположим, что $f$ не ограничена на $[a,b]$, т.е. $\forall C\ \exists x\in[a,b]\ |f(x)|>C$. Тогда из множества $f([a,b])$ можно выделить неограниченную последовательность, из которой в свою очередь можно выделить последовательность, стремящуюся к бесконечности (задача 16.б листка 11).
Пусть $(x_n)$ -- последовательность из чисел отрезка $[a,b]$ такая, что последовательность $(f(x_n))$ стремится к бесконечности.
Последовательность $(x_n)$ ограничена, и значит имеет хотя бы одну предельную точку $c$ (задача 13 листка 11). Пусть $(x_{n_k})$ -- сходящаяся к $c$ подпоследовательность $(x_n)$. По определению непрерывности функции в точке, последовательность $(f(x_{n_k}))$ сходится к $f(c)$. Из сходимости подпоследовательности $(f(x_{n_k}))$ следует, что вся последовательность $(f(x_n))$ не является сходящейся к бесконечности.
Из невозможности построить стремящуюся к бесконечности последовательность значений $f$ на $[a,b]$ следует ограниченность $f$ на $[a,b]$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции (Давидович)
Сообщение10.02.2018, 12:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
irod в сообщении #1291548 писал(а):
Из сходимости подпоследовательности $(f(x_{n_k}))$ следует, что вся последовательность $(f(x_n))$ не является сходящейся к бесконечности.
Вот здесь, оказывается, можно было просто вспомнить задачу 12 листка 11 и вместо "не является сходящейся к бесконечности" просто сказать "является ограниченной". (Мне нужно было посоветовать это раньше.)

Не всегда стоит совершенствовать решение до предела. Изначально у Вас было почти приемлемое решение -- вряд ли оно требовало такого длительного разбора и совершенствования.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции (Давидович)
Сообщение13.02.2018, 12:29 


21/02/16
483
По 14.б:
grizzly в сообщении #1291135 писал(а):
Зато, считайте, Вы уже получили ограниченную последовательность. Разве Вам недостаточно просто взять из неё сходящуюся подпоследовательность?
Пока не понимаю, почему этого должно быть достаточно, но еще подумаю сам.

Выкладываю следующую - легкую - задачу.

Задача 15.
Пусть функция $f$ определена и непрерывна на отрезке $[a,b]$. Тогда она достигает на нем своих точных нижней и верхней граней, то есть $\exists c\in[a,b]\ f(c)=\inf f([a,b])$ и $\exists C\in[a,b]\ f(C)=\sup f([a,b])$.

Доказательство.
Отрезок $[a,b]$ является замкнутым множеством. Следовательно, множество $f([a,b])$ также является замкнутым (задача 14.б). Точные грани множества являются его предельными точками (это следует из определения точных граней). Следовательно, точные грани множества $f([a,b])$ принадлежат ему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции (Давидович)
Сообщение13.02.2018, 13:49 
Аватара пользователя


07/01/15
1221
irod, поскольку в данный момент я достиг перигелия абсолютной строгости, то мне надо сказать Вам, что Вы не доказали существования точных граней этого множества.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции (Давидович)
Сообщение13.02.2018, 14:46 


21/02/16
483
SomePupil
Вы правы.
Множество $f([a,b])$ ограничено (задача 14.а). Следовательно, его точные грани существуют согласно аксиоме о точной верхней грани.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции (Давидович)
Сообщение14.02.2018, 15:29 


21/02/16
483
Придумал что-то похожее на доказательство 14.б. Как ни странно, мне помогла задача 15.

14.б) для любого замкнутого множества $M\subset[a,b]$ его образ $f(M)$ замкнут.

Доказательство.
Пусть $M\subset[a,b]$ -- замкнутое множество.
Множество $f(M)$ ограничено (задача 14.а).
Возьмем произвольную предельную точку $y$ произвольной последовательности из точек множества $f(M)$.
Из ограниченности $f(M)$ следует существование его точных граней (аксиома о точной верхней грани).
Очевидно, $\inf f(M)\leq y\leq \sup f(M)$.
Тогда $\exists x\in M\ f(x)=y$ (задача 11), т.е. $y\in f(M)$.

Тут конечно явная проблема: в задаче 11 говорится об отрезке как области определения $f$, а в этой задаче это абстрактное замкнутое множество. Можно попробовать показать, что $M$ является либо конечным множеством, либо объединением не более чем счетного числа отрезков, каждый из которых можно рассматривать отдельно (можно ли?). В последнем случае можно использовать задачи 4 и 15 листка 13. Так можно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции (Давидович)
Сообщение14.02.2018, 15:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
irod в сообщении #1292440 писал(а):
Тут конечно явная проблема: в задаче 11 говорится об отрезке как области определения $f$, а в этой задаче это абстрактное замкнутое множество.
Это не проблема, но пока не будем об этом.
irod в сообщении #1292440 писал(а):
Очевидно, $\inf f(M)\leq y\leq \sup f(M)$.
Тогда $\exists x\in M\ f(x)=y$ (задача 11), т.е. $y\in f(M)$.
Вот здесь проблема. Между первой и второй строчками цитаты нет логически связанного перехода. Для того, чтобы воспользоваться задачей 11 Вам нужно знать, что $y\in [f(a),f(b)]$. У Вас этого нет и быть, вообще говоря, не может.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 69 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group