Здесь Вы ошибаетесь: в учебниках мат.анализа всё строго и без полилинейных форм
По моим воспоминаниям, когда я читал про дифференциал что в Фихтенгольце, что в Зориче, что в Камынине, у меня ощущения ясности отнюдь не возникало. Позже, когда мне довелось некоторое время преподавать, тоже было весьма беспокоящей проблемой, как объяснить студентам, что форма первого дифференциала инвариантна, а второго нет, и т.д. (был такой пункт в программе, не мной написанной). В тот раз я поступил, как считаю, мудро, и про второй дифференциал вообще не заикался (тем более студенты были даже не очень технической специальности...). Я думаю, что такой субъективно переживаемый дискомфорт как раз и является проявлением того, что в учебниках с "объяснением" дифференциала не все в порядке.
и запись
под знаком интеграла приходится не связывать с дифференциалом, а считать просто символом
Ой ли просто символом? А отчего же тогда при интегрировании сплошь и рядом что-нибудь "заносят под дифференциал"? Вероятно, не из чисто эстетических соображений же? (Ставили бы тогда в конце интеграла какой-нибудь диез-бемоль..) То же самое, когда, допустим, решают дифур или неявно что-то дифференцируют. То есть сплошь и рядом обращаются с дифференциалом именно как с приращением.
