Формулировкой "продифференцировать ... по ..."

[Solaris86]

Поймал себя на том, что так и не смог до конца разобраться с пониманием фразы "дифференцировать ... по ..." Я так понимаю, что под этой фразой понимается выражение "найти производную от ... по ..." Верно?
Приведу пример: продифференцировать выражение $y= x^2$ по $x$.
1. Продифференцировать выражение $y= x^2$ по $x$ означает найти производную $y$ по $x$. Так?
2. Процесс дифференцирования и процесса взятия производной - это не одно и то же, хотя и очень близкие понятия:
1) дифференцирую по $x$ (как бы умножаю на $\dfrac{d}{dx}$ обе части выражения):
$\dfrac{d}{dx}y = \dfrac{d}{dx}x^2$
$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dx^2}{dx}$
$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2xdx}{dx}$
$\dfrac{dy}{dx} = 2x\dfrac{dx}{dx}$ (верно, что $dx$ в числителе и знаменателе сокращаются?)
$\dfrac{dy}{dx} = 2x$
2) беру производную по $x$:
$(y)_x' = (x^2)_x'$ (верна ли такая форма записи?)
$y_x' = 2x$ (верна ли такая форма записи?)
Так?
Теперь перехожу к тому, что совсем непонятно - дифференцирование неявно заданной функции.
Пример: $x^3+y^3-3xy=0$
1) дифференцирую по $x$:
$\dfrac{d}{dx}x^3+\dfrac{d}{dx}y^3-\dfrac{d}{dx}3xy=0$
$\dfrac{dx^3}{dx}+\dfrac{dy^3}{dx}-\dfrac{3d(xy)}{dx}=0$
$\dfrac{dx^3}{dx}+\dfrac{dy^3}{dx}-3\dfrac{ydx+xdy}{dx}=0$
$\dfrac{dx^3}{dx}+\dfrac{dy^3}{dx}-3(\dfrac{ydx}{dx}+\dfrac{xdy}{dx})=0$
$3x^2\dfrac{dx}{dx}+3y^2\dfrac{dy}{dx}-3(y\dfrac{dx}{dx}+x\dfrac{dy}{dx})=0$
$x^2+y^2\dfrac{dy}{dx}-(y+x\dfrac{dy}{dx})=0$
$y^2\dfrac{dy}{dx}-x\dfrac{dy}{dx}=y-x^2$
$(y^2-x)\dfrac{dy}{dx}=y-x^2$
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y-x^2}{y^2-x}$
2) беру производную по $x$:
$(x^3)_x'+(y^3)_x'-(3xy)_x'=0$
$(x^3)_x'+(y^3)_x'-3(xy)_x'=0$
$(x^3)_x'+(y^3)_x'-3((x)_x'y+(y)_x'x)=0$
Вот тут как раз идёт самое непонятное: почему $(y^3)_x'$ рассматривается как производная сложной функции?
Далее (с учётом рассмотрения $(y^3)_x'$ как производной сложной функции):
$3x^2+3y^2y'_x-3(y+y_x'x)=0$
$x^2+y^2y'_x-(y+y_x'x)=0$
$y^2y'_x-y_x'x=y-x^2$
$(y^2-x)y'_x=y-x^2$
$y'_x=\dfrac{y-x^2}{y^2-x}$
Прошу указать на ошибки в обозначениях и рассуждениях, для меня это очень важно. Спасибо!

[thething]

Дифференцирование и взятие производной -- это одно и то же.

Solaris86 в сообщении #1287817 писал(а):

почему $(y^3)_x'$ рассматривается как производная сложной функции?

Обычно в задании говорится, найти производную по $x$ функции $y(x)$, заданной неявно некоторым уравнением, поэтому, например $(y^2)'$, будет считаться производной сложной функции. А возможно, производной сложной функции будет $(x^2)'$, если в задании будет указано, что $x=x(y)$

[arseniiv]

Solaris86 в сообщении #1287817 писал(а):

Я так понимаю, что под этой фразой понимается выражение "найти производную от ... по ..." Верно?

Да.

Solaris86 в сообщении #1287817 писал(а):

Вот тут как раз идёт самое непонятное: почему $(y^3)_x'$ рассматривается как производная сложной функции?

А как ещё её воспринимать? Мы знаем функцию $y$, нам дают композицию её и возведения в куб, вот мы и выражаем эту композицию через $y'$, не оставлять же как есть (третьего не дано — или выражаем, и единственным способом, или нет).

Solaris86 в сообщении #1287817 писал(а):

$\dfrac{dx^3}{dx}+\dfrac{dy^3}{dx}-\dfrac{3d(xy)}{dx}=0$

Вот тут было бы правильнее слева написать $\dfrac{d(x^3)}{dx}+\dfrac{d(y^3)}{dx}-$. А ниже можно не выписывать явно $\dfrac{dx}{dx}$, всем и так ясно, что это 1.

И можете не писать везде $(\ldots)'_x$, когда ясно, что больше ни по чему другому рядом не дифференцируется — одного штриха будет достаточно.

[Mikhail_K]

Solaris86 в сообщении #1287817 писал(а):

верна ли такая форма записи?

Формы записи не так уж важны в математике, и зачастую могут различаться в разных учебниках (это не конкретно по Вашему вопросу, но стоит иметь в виду).
Важнее не форма, а смысл.

Solaris86 в сообщении #1287817 писал(а):

Процесс дифференцирования и процесса взятия производной - это не одно и то же

Это одно и то же. Однако:
1) Верно то, что есть разница между дифференциалом и производной;
2) Верно то, дифференцируемость функции нескольких переменных не эквивалентна существованию частных производных;
3) Когда говорят "взять производную от функции нескольких переменных" - это может означать разные вещи: найти её градиент; найти одну из её частных производных; найти полную производную как производную сложной функции (в предположении, что все аргументы функции - все эти "несколько переменных" - в свою очередь являются функциями переменной, по которой нужно дифференцировать).

[Solaris86]

Спасибо за комментарии. Тут всё прояснилось. Но назрел ещё вопрос.
Увидел вывод формулы дифференциала второго порядка. Вот она:
$d^2y=d(dy)=d(f'(x)dx)=(f'(x)dx)'dx=f''(x)dx\cdot dx=f''(x)(dx)^2$
Логика ясна, но один переход непонятен: $(f'(x)dx)'dx=f''(x)dx\cdot dx$ - этот.
У меня есть предположение, что он мог взяться по такой схеме:
$(f'(x)dx)'dx=((f'(x))'dx+f'(x)(dx)')dx =(f''(x)dx+f'(x)\cdot 0)dx = (f''(x)dx+0)dx = f''(x)dx\cdot dx$
И тут главный вопрос: почему $(dx)' = 0$? Не потому ли, что $dx$ не зависит от $x$, т.е. $dx=\operatorname{const}$?

[Mikhail_K]

Solaris86 в сообщении #1287835 писал(а):

Не потому ли, что $dx$ не зависит от $x$, т.е. $dx=\operatorname{const}$?

Посмотрите определение дифференциала, что ли.
Ещё посмотрите наше Избранное, Разделы математики / Математический анализ. Там есть две темы про дифференциалы.

[Solaris86]

Mikhail_K в сообщении #1287836 писал(а):

Посмотрите определение дифференциала, что ли.

Я смотрел неоднократно и кроме бесконечно малого приращения переменной величины больше ничего не встречал.

Solaris86 в сообщении #1287835 писал(а):

И тут главный вопрос: почему $(dx)' = 0$? Не потому ли, что $dx$ не зависит от $x$, т.е. $dx=\operatorname{const}$?

Так я прав тут или нет?
Я заходил в наше Избранное, но там не нашёл ответа.

[Mikhail_K]

Solaris86 в сообщении #1287841 писал(а):

Я смотрел неоднократно и кроме бесконечно малого приращения переменной величины больше ничего не встречал.

Формулировка, как минимум, наводит на нехорошие мысли.
Где именно Вы смотрели?
Что значит "бесконечно малое"?

[Solaris86]

Есть 3 определения:
1. Дифференциал функции - определения повсюду типа главная (линейная) часть приращения функции.
2. Дифференциал аргумента - определения нигде толком нет, максимум написано, что дифференциал аргумента не зависит от аргумента (т.е. $dx$ не зависит от $x$) и дифференциал аргумента равен приращению аргумента (т.е. $dx = \Delta x$)
3. Дифференциал (просто) - в математике: произвольное бесконечно малое приращение переменной величины (из интернета, т.к. больше нигде не видел).

[Mikhail_K]

"Определение" номер 3 забудьте, равно как и привычку что-либо изучать по интернету.
Такое понимание дифференциала, во-первых, было в математике XVII-XVIII вв. (а потом от него отказались), во-вторых, есть сейчас в т.н. нестандартном анализе (но это отдельный раздел математики, который нужно отдельно изучать; в любом случае, без него можно обойтись и многие обходятся), в-третьих, может попадаться в каких-то современных нестрогих изложениях (может быть в каких-то книжках по физике) - там, где математическая строгость не так уж нужна.

Определение 2 является частным случаем определения 1. Если мы знаем, что такое $df(x)$ для любой дифференцируемой функции $f(x)$ (согласно определению 1), то под $dx$ резонно понимать дифференциал функции $f(x)=x$. Проверьте, что тогда определение 1 переходит в определение 2.
Конечно, если Вы знаете, что такое "главная (линейная) часть приращения функции", если это для Вас не просто слова, которые Вы откуда-то переписали.

[Solaris86]

Mikhail_K в сообщении #1287846 писал(а):

Определение 2 является частным случаем определения 1. Если мы знаем, что такое $df(x)$ для любой дифференцируемой функции $f(x)$ (согласно определению 1), то под $dx$ резонно понимать дифференциал функции $f(x)=x$. Проверьте, что тогда определение 1 переходит в определение 2.
Конечно, если Вы знаете, что такое "главная (линейная) часть приращения функции", если это для Вас не просто слова, которые Вы откуда-то переписали.

$f(x)=x$
$\Delta f(x) = (x + \Delta x) - x = \Delta x$
$f'(x) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta f(x)}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{\Delta x}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0}1=1$
$df(x) = f'(x)\Delta x = 1\cdot \Delta x = \Delta x$
$\Delta x = dx$
$df(x) = dx$
Но я при всём этом всё равно могу понять, являются ли верными мои предположения $(dx)'=0$ и $d^2(x) = d(dx) = 0$. Можете просто сказать хотя бы да или нет, если не хотите объяснять подробно.

[Mikhail_K]

Да, что-то такое. Но было бы проще (и концептуальнее) не находить производную, а воспользоваться определением дифференциала (через главную линейную часть). Попробуйте.

Solaris86 в сообщении #1287854 писал(а):

Но я при всём это всё равно могу понять, являются ли верными мои предположения $(dx)'=0$ и $d^2(x) = d(dx) = 0$.

Дифференциал $df(x)=f^\prime(x)\Delta x$ любой функции $f(x)$ - это функция от $x$ и $\Delta x$.
Когда мы говорим о производной от дифференциала, или о дифференциале от дифференциала, мы берём их только по $x$, а $\Delta x$ считаем фиксированным. Например, если $f(x)=x^2$, то $df(x)=2x\Delta x$, и если мы захотим это ещё раз продифференцировать, то будем дифференцировать по $x$, а $\Delta x$ считать константой.
То же самое происходит, когда $f(x)=x$.
Так что да, Ваши предположения верны.
Уточнение: они верны, только если $x$ - независимая переменная.

[vpb]

Solaris86 в сообщении #1287841 писал(а):

Я смотрел неоднократно и кроме бесконечно малого приращения переменной величины больше ничего не встречал.

Ну и правильно!!! Я, конечно, знаю, что ревнители математической строгости меня осудят. Однако, Вам следует знать: понятие о дифференциале как о бесконечно малом приращении --- правильное. Точно так же, как правильно понятие, что дифференциал --- это линейная форма от приращения независимой переменной. А еще говорят, в определенной ситуации, что это линейная форма на касательном пространстве, или же элемент кокасательного расслоения.

Ситуация с тем, как понимать дифференциал, в педагогическом отношении очень скользкая. Тут, знаете ли, надо как бы сидеть на двух стульях. В романе Оруэлла "1984" (рекомендую, кстати) есть такое понятие --- "двоемыслие". Ну вот с дифференциалом тоже приходится двоемыслие проявлять.

Я в юности читал разные книжки. В самых простейших говорилось о дифференциале как о приращении. Это нестрого, но понятно. А в университетских учебниках говорилось, что дифференциал --- это линейная форма. Это строго (якобы), но как-то малопонятно. В практике же с дифференциалом обходятся, как с приращением.

Думал я над этим когда-то, думал, чуть мозги себе не свернул. Слава богу, что зацикливаться на этом не стал и думал не долго. Как говорят нынче, забил.

Кроме того, то, что в учебниках (многих) про дифференциал "строго" написано --- это одна видимость. На самом деле, то, что там написано --- отнюдь не строго. Если пытаться корректно, аккуратно и последовательно этакую "теорию дифференциала" сформулировать, то там и формализм-то должен совсем другой быть, такой, какой студент заведомо не переварит (полилинейные формы и т.д.).

Подытожим: если Вам не удается у себя в голове дифференциал уложить --- ничего страшного.

[arseniiv]

(В кучу.) Дифференциал $df$ — функция двух переменных: того же аргумента, который был у дифференцируемой функции, и приращения — это не какая-то магическая штука, это просто аргумент. Так что правильнее писать $df(x, dx) = f'(x)\,dx$, но обычно пишут $df(x) = f'(x)\,dx$, подразумевая, что обозначение $dx$ поможет понять, чей это аргумент. Вообще же приращение мы можем обозначить как угодно: верно $df(x, h) = f'(x)h$. Теперь вот вы дифференцируете дифференциал по аргументу ещё раз и получаете резонно

$$(df(x, h))'_x = (f'(x)h)'_x = f''(x)h$$

самым обычным образом, как получилось бы, скажем, $(cf(x))'_x = cf'(x)$.

vpb
А нужны ли они, эти бесконечно малые? Зачем отождествлять элементы касательного пространства (их ведь тоже) с чем-то бесконечно малым? Чем хуже другая аналогия — «выпрямление», притом не требующая играть с масштабами? В любом случае, просто сказать «$df, dx$ — бесконечно малые» и надеяться, что от этого станет сразу всё понятно, эмпирически неоправданно: всё равно придётся определить, что с ними можно делать, а что нельзя, так не проще ли не называть их таинственными словами вообще? Поле 1-форм, это и определить, и пощупать можно, и вяжется с чем-то, что известно или будет известно.

Впрочем, о разговор о нужности или ненужности бесконечно малой аналогии много копий ещё издревле сломано.

[Mikhail_K]

vpb в сообщении #1287859 писал(а):

Я, конечно, знаю, что ревнители математической строгости меня осудят.

Да нет, я и сам написал выше, что если математическая строгость не важна, то так понимать дифференциал можно. Но мне показалось, что ТС она как раз важна - во всяком случае, он пытается разобраться.

Моё резкое высказывание относилось скорее не к самому этому пониманию дифференциала, а к тому, что не стоит называть его определением и ставить наряду с определениями, и не стоит доверять интернету, когда ищешь строгие определения.

vpb в сообщении #1287859 писал(а):

Кроме того, то, что в учебниках (многих) про дифференциал "строго" написано --- это одна видимость. На самом деле, то, что там написано --- отнюдь не строго. Если пытаться корректно, аккуратно и последовательно этакую "теорию дифференциала" сформулировать, то там и формализм-то должен совсем другой быть, такой, какой студент заведомо не переварит (полилинейные формы и т.д.).

Здесь Вы ошибаетесь: в учебниках мат.анализа всё строго и без полилинейных форм. Хотя теория получается действительно чуть менее красивая (чем с формами), и запись $dx$ под знаком интеграла приходится не связывать с дифференциалом, а считать просто символом.

vpb в сообщении #1287859 писал(а):

какой студент заведомо не переварит

Ну, смотря какой студент. Вообще-то, внешние формы вполне входят в многие университетские курсы математики.
Хотя согласен, что переварить это на порядок сложнее, чем бесконечно малые или чем дифференциалы в обычном фихтенгольцевском понимании.