Вариационный принцип в квантовой теории и т. п.

[bpn]

Просьба не пинать, сразу, а попытаться объяснить. Я не физик, а разобраться надо. Начну с пары вопросов.

Правильно ли я понимаю:
1. принцип Гамильтона в классической механике предполагает что из множества путей из одного состояния в другое выбирается только один для которого действие стационарно, а
в квантовой теории в "интегралах по траекториям" рассматриваются те же самые пути из одного состояния в другое что и в классической физике, но при этом учитываются все возможные пути и ранжируются по своему весу (вероятности)?

2. В КТП представление принципа Гамильтона в виде интеграла по траекториям и представление его в "классическом" виде (то есть в виде вариации действия - интеграла от плотности лагранжиана по полю) являются эквивалентными формулировками?

[amon]

bpn в сообщении #1276576 писал(а):

1. принцип Гамильтона в классической механике предполагает что из множества путей из одного состояния в другое выбирается только один для которого действие стационарно

В квантовой и классической механике состояния определяются по разному. В классической механике это точка в фазовом пространстве, а в квантовой это - функция (точка) в Гильбертовом пространстве. Поэтому наблюдаемые тоже разные. В классике наблюдаемая - траектория в фазовом пространстве, в квантовой теории наблюдаемая - вероятность перехода между двумя состояниями. Фейнмановский интеграл выражает такую амплитуду вероятности через функциональный интеграл. Последний в некоторых случаях можно трактовать как сумму амплитуд вероятности, взятую про разным траекториям с весом, равным классическому действию на этой траектории. В этом смысле поля от частиц не отличаются. Разница только в том, что поле это механическая система с бесконечным числом степеней свободы. Если хоть что-то понятно - можно продолжить беседу.

[bpn]

amon в сообщении #1276581 писал(а):

Последний в некоторых случаях можно трактовать как сумму амплитуд вероятности, взятую про разным траекториям с весом, равным классическому действию на этой траектории.

1. То есть фактически это сумма всех классических траекторий в фазовом пространстве от состояния к состоянию?

2. Почему в некоторых случаях? Это не всегда возможно?

[amon]

bpn в сообщении #1276590 писал(а):

1. То есть фактически это сумма всех классических траекторий в фазовом пространстве от состояния к состоянию?

Нет. Это - сумма $e^{iS},$ где $S$ это действие, рассчитанное на фазовой кривой. При этом, эта кривая не обязана соответствовать какой-нибудь классической траектории (например, иметь разрывы, быть не дифференцируемой и т.п.)

bpn в сообщении #1276590 писал(а):

2. Почему в некоторых случаях? Это не всегда возможно?

Функциональный интеграл можно написать в переменных, не имеющих классического аналога, да и т.наз. "физического смысла".

[Gickle]

(Оффтоп)

Позволю себе тоже дать комментарий, хотя при прочих равных лучше отдавайте предпочтение ответам amon.

bpn в сообщении #1276590 писал(а):

1. То есть фактически это сумма всех классических траекторий в фазовом пространстве от состояния к состоянию?

Классическая траектория (как правило) одна, она определяется из принципа наименьшего действия. Интеграл Фейнмана же учитывает все траектории, но каждая из них идёт с весом $e^{i S}$, где значение действия берётся для этой траектории. Отсюда, вообще говоря, сходу, пожалуй, не видно, почему главный вклад даёт именно классическая траектория (казалось бы, $|e^{i S}| = 1$ для всех). Впрочем, можно представить себе, что для остальных траекторий найдутся такие же, но с противоположной фазой (интерференция). Обычно же для того, чтобы определение интеграла по траекториям было лучше математически определено, делают так называемый поворот Вика (аналитическое продолжение) $t = - i \tau$, так что теперь вес имеет вид $e^{- S_E}$, откуда уже хорошо видно, что чем "дальше" траектория от классической, тем меньший вклад она даёт.

bpn в сообщении #1276590 писал(а):

2. Почему в некоторых случаях? Это не всегда возможно?

Этот формализм настолько широко применяется, что в огромном числе случаев ни о каких "траекториях" уже думать особо не приходится.

[bpn]

amon в сообщении #1276596 писал(а):

Это - сумма $e^{iS},$ где $S$ это действие, рассчитанное на фазовой кривой. При этом, эта кривая не обязана соответствовать какой-нибудь классической траектории (например, иметь разрывы, быть не дифференцируемой и т.п.)

то есть в каждом множителе $e^{iS},$ каждое действие, с указанными оговорками, берётся по классической траектории?

Gickle в сообщении #1276602 писал(а):

Классическая траектория (как правило) одна, она определяется из принципа наименьшего действия. Интеграл Фейнмана же учитывает все траектории, но каждая из них идёт с весом $e^{i S}$, где значение действия берётся для этой траектории.

исходя из этого и был вопрос. Классическая траектория выбирается из множества по признаку стационарности для неё действия. Вопрос был можно ли рассматривать учитываемые в представлении "интегралов по траекториям" траектории как практически тоже самое множество, которое рассматривается в классическом случае?

[amon]

bpn в сообщении #1276613 писал(а):

то есть в каждом множителе $e^{iS},$ каждое действие, с указанными оговорками, берётся по классической траектории?

Что бы разговор стал предметным, давайте переходить на язык формул. Есть уравнение гармонического осциллятора $\ddot{x}+\omega^2 x=0.$ Как выглядит для этого уравнения функционал действия?

[bpn]

amon в сообщении #1276629 писал(а):

Что бы разговор стал предметным, давайте переходить на язык формул. Есть уравнение гармонического осциллятора $\ddot{x}+\omega^2 x=0.$ Как выглядит для этого уравнения функционал действия?

Интеграл от этой функции Лагранжа

[photon]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.