Геометрия Шварцшильда

[pashan]

Просмотрел несколько авторитетных учебников, но не смог найти ответа на заинтересовавший меня вопрос. В книге Мизнер, Торн, Уилер, "Гравитация", т.3 на рисунке 31.1 (с.21) изображены мировые линии различных событий:

Вопрос состоит в следующем: как вывести уравнения этих мировых линий? Готовые конечные уравнения просьба не предлагать.
Прошу сообщить ссылку на доступный источник, в котором этот вопрос раскрыт, или хотя бы его название, автора.

[photon]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[photon]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: возвращено.

[Erleker]

Вы хотели сказать, мировые линии пробных частиц, движущихся по радиальным геодезическим?
Ну, можно, например, не выписывая Кристоффелей, через сохранение $u_{0}$ получить выражение для $dr/dt$ и, соответственно, получить уравнение для нужного "старта".
Можете посмотреть: Новиков И.Д., Фролов В.П. Физика черных дыр § 2.3. Радиальное движение пробных частиц в поле Шварцшильда.

[pashan]

Erleker в сообщении #1282465 писал(а):

Вы хотели сказать, мировые линии пробных частиц, движущихся по радиальным геодезическим?

Да, по радиальным. Причем, пробными, как я вижу, являются фотоны, частицы и даже тахионы (пространственноподобные).

Erleker в сообщении #1282465 писал(а):

Ну, можно, например, не выписывая Кристоффелей, через сохранение $u_{0}$ получить выражение для $dr/dt$ и, соответственно, получить уравнение для нужного "старта".

Что у вас обозначено через $u_{0}$? Я попытался построить уравнение нулевой геодезической. Но с Мизнером не совпало.

Erleker в сообщении #1282465 писал(а):

Можете посмотреть: Новиков И.Д., Фролов В.П. Физика черных дыр § 2.3. Радиальное движение пробных частиц в поле Шварцшильда.

Решения Новикова отличаются от более полных решений Мизнера. Как Мизнер (с соавторами) получил свои уравнения, например, для частицы по координатным часам (удаленный наблюдатель)?

[Erleker]

Для массивных частиц:
Тут сохраняется интеграл движения $u_{0}$ - 0-я компонента ков. 4-скорости (лагранжиан не зависит от $t$), удельная "энергия" , равная:
$E/mc^2=\frac{\sqrt{1-r_{g}/r}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$, где
$v=(1-\frac{r_{g}}{r})^{-1} \frac{dr}{dt}$ - в $R$ - области есть скорость по линейкам и часам локального наблюдателя на $r=\operatorname{const}$
Зная начальные условия старта частицы, отсюда можно получить $r(t)$.
Для фотонов:
$ds=0$, откуда:
$dr/cdt=\pm(1-\frac{r_{g}}{r})$
У Новикова, собственно, это все расписано.
Для тахионов:
Параллельный перенос вектора касательной так же переводит его сам в себя, только он тут пространственноподобный. Нужно взять какую-нибудь параметризацию и расписать.
Хотя что это я, все тоже и будет (можно брать хоть $is$). Там, как я вижу, изображается $t=\operatorname{const}$.

pashan в сообщении #1282474 писал(а):

Решения Новикова отличаются от более полных решений Мизнера. Как Мизнер (с соавторами) получил свои уравнения, например, для частицы по координатным часам (удаленный наблюдатель)?

Можно конкретнее?

[pashan]

Erleker в сообщении #1282506 писал(а):

Для массивных частиц:
...
$v=(1-\frac{r_{g}}{r})^{-1} \frac{dr}{dt}$ - в $R$ - области есть скорость по линейкам и часам локального наблюдателя на $r=\operatorname{const}$

Как из первого уравнения следует второе, для скорости? Кроме того, это второе уравнение опять-таки содержит три переменные - r, t и скорость. Другими словами, чтобы найти r(t), нужно знать значение скорости. Но она, как можно догадаться, тоже является функцией от r. Каким образом из этого уравнения можно получить $r(t)$?

Erleker в сообщении #1282506 писал(а):

Для фотонов:

Здесь выкладки у вас, у Новикова, да и у меня, совпадают. Но после интегрирования уравнения движения выглядят иначе, чем у Мизнера.

Erleker в сообщении #1282506 писал(а):

У Новикова, собственно, это все расписано.

Для фотона - да. Но для частиц и тахионов - только схематично. До четких интегралов дело не дошло. Есть лишь вывод о вечном падении.

Erleker в сообщении #1282506 писал(а):

Для тахионов:
Параллельный перенос вектора касательной так же переводит его сам в себя, только он тут пространственноподобный. Нужно взять какую-нибудь параметризацию и расписать.

Не буду лукавить, мало что понял из сказанного вами. Видимо, расписать нужно, но меня интересует уже расписанное, в частности, Мизнером.

Erleker в сообщении #1282506 писал(а):

pashan в сообщении #1282474 писал(а):

Решения Новикова отличаются от более полных решений Мизнера. Как Мизнер (с соавторами) получил свои уравнения, например, для частицы по координатным часам (удаленный наблюдатель)?

Можно конкретнее?

Собственно, с этого тема и начиналась. У Мизнера (с соавторами) в книге приведены уравнения движения, по которым любой желающий может построить те самые графики - геодезические, изображенные на рисунке (первое сообщение). Ни у Новикова, ни у многих других авторов таких уравнений, как у Мизнера, я не встретил. Сами уравнения как таковые меня не интересуют - интересует и очень сильно их история, как они получены. Приведенное вами уравнение для скорости частицы, проинтегрировать я не могу - неизвестна функция скорости. Кроме того, что-то сильно я сомневаюсь, что интеграл совпадет с решением Мизнера. Вопрос по-прежнему открыт: нужны выкладки Мизнера. Ну, или, на худой конец - что-то подобное, выведение уравнений движения для массивной частицы и тахиона.

[Erleker]

Про параметризацию я зря упомянул, c ней проблема только у изотропных. Для пространственноподобных геодезических в Шварцшильде будет тоже (можно взять $s$) $dx_{0}/ids=\operatorname{const}$. Нарисованный случай $t=\operatorname{const}$ легко прослеживается, как предельный.

pashan в сообщении #1282515 писал(а):

Как из первого уравнения следует второе, для скорости?

Второе - определение переменной $v$. Как это все получилось? Ну, это, вообще говоря, просто честно расписанное выражение $dx_{0}/ds$. Почему оно тут сохраняется, можете посмотреть в ЛЛ-2, например.

pashan в сообщении #1282515 писал(а):

Кроме того, это второе уравнение опять-таки содержит три переменные - r, t и скорость. Другими словами, чтобы найти r(t), нужно знать значение скорости. Но она, как можно догадаться, тоже является функцией от r. Каким образом из этого уравнения можно получить $r(t)$

Дифференциальное уравнение составляется и решается.

Я так понимаю, именно в этом и все проблемы?

[pashan]

Erleker в сообщении #1282517 писал(а):

pashan в сообщении #1282515 писал(а):

Как из первого уравнения следует второе, для скорости?

Второе - определение переменной $v$. Как это все получилось? Ну, это, вообще говоря, просто честно расписанное выражение $dx_{0}/ds$. Почему оно тут сохраняется, можете посмотреть в ЛЛ-2, например.

В ЛЛ я не нашел практически ничего из того, что искал. Возможно, смотрел невнимательно. Посмотрю еще раз, но просьба указать точнее упоминаемое вами место (страницу). Я не вижу способа вывести из приведенных вами уравнений (и определения переменной) нужные уравнения геодезических (для массивной частицы). И уж тем более совпадающие с решениями Мизнера.

Erleker в сообщении #1282517 писал(а):

pashan в сообщении #1282515 писал(а):

Кроме того, это второе уравнение опять-таки содержит три переменные - r, t и скорость. Другими словами, чтобы найти r(t), нужно знать значение скорости. Но она, как можно догадаться, тоже является функцией от r. Каким образом из этого уравнения можно получить $r(t)$

Дифференциальное уравнение составляется и решается.
Я так понимаю, именно в этом и все проблемы?

Ровно наполовину. Во-первых, такие дополнительные решения для меня, конечно же, представляют интерес сами по себе. Во-вторых, не "уравнениЕ", а "уравнениЯ", поскольку их несколько. Да, хотелось бы увидеть последовательные выкладки, которые из уравнения интервала ds2 приводят к диф. уравнениям (новым), а затем к их решениям. Наконец, в-третьих, все эти (или некоторые их варианты) составленные с нуля дифференциальные уравнения должны дать решения, приведенные в книге "Гравитация" Мизнера с соавторами. Это "в-третьих", вообще-то, и является основной проблемой (проблемами), которым и посвящена эта тема.

[Erleker]

pashan в сообщении #1282590 писал(а):

Посмотрю еще раз, но просьба указать точнее упоминаемое вами место (страницу).

§ 88. Постоянное гравитационное поле

Там про интеграл движения $u_{0}$ ($\widetilde{E}$).

pashan в сообщении #1282590 писал(а):

Во-вторых, не "уравнениЕ", а "уравнениЯ", поскольку их несколько.

Для движения радиальных частиц имеем уравнение (просто выражая скорость через интеграл движения):

$$\frac{dr}{cdt}=\frac{ (1-r_{g}/r)\sqrt{\widetilde{E}^2-1+r_{g}/r }}{\widetilde{E}}$$

Решение для параболического падения $\widetilde{E}=1$ выписано в МТУ (31.2), и еще написано решение с максимальным радиусом отдаления $\widetilde{E}=\sqrt{1-r_{g}/r_{\max} }$ (31.10 а-в).

pashan в сообщении #1282515 писал(а):

Сами уравнения как таковые меня не интересуют - интересует и очень сильно их история, как они получены.

Вот, собственно, из приведенного выше уравнения.
Ну и еще написано в параметрическом виде/ через собственное время. Или это вызывает вопросы?

pashan в сообщении #1282515 писал(а):

Ни у Новикова, ни у многих других авторов таких уравнений, как у Мизнера, я не встретил.

Вообще, в том же МТУ они ссылаются же на §25.2, где это расписано.
У Новикова, например, в Теория тяготения и эволюция звезд тоже где-то выписаны траектории для частиц, разлетающихся до конечного радиуса.

А с изотропными радиальными геодезическими какие вопросы? Там ведь все предельно прозрачно и уравнение $\widetilde{V}=\operatorname{const}$ (когда уже выписывают Эддингтона-Финкельштейна в А) (1) совпадает с тем, что в том параграфе у Новикова (при принятии за эту переменную соответствующей постоянной части).

[Erleker]

Вообще, лучше еще напишу тут другой вывод (в учебниках не видел, а мне он кажется наиболее наглядным) сохранения $mcu^i$ в соответствующих случаях.
Имеем геодезическую массивной частицы. Ее вариацию рассматриваем, параметризуя "отклоняющиеся" кривые собственным временем на исходной траектории $T$.

$$\delta S=\delta -mc \int ds =-mc \int\delta \sqrt{ g_{ik}\frac{dx^idx^k}{dTdT}}dT= -mc \int\frac{\delta (g_{ik}\frac{dx^idx^k}{dTdT})}{2\sqrt{g_{ik}\frac{dx^idx^k}{dTdT}}}dT$$

Что есть, соответственно, просто (в силу выбора $T$ выражение под корнем единица):

$$\delta S=\delta \frac{-mc}{2}\int g_{ik}\frac{dx^idx^k}{dTdT}dT$$

Для $\delta S=0$ теперь очень удобно писать уравнения Эйлера-Лагранжа:

$$\frac{d}{dT}\frac{\partial L}{\partial \frac{dx^i}{dT}} =\frac{\partial L}{\partial x^i}$$

$$L=-\frac{mcg_{ik}}{2}\frac{dx^i}{dT}\frac{dx^k}{dT}$$

И имеем, соответственно, в случае независимости $g_{ik}$ от $x^{i=0,1,2,3}$ соответствующие интегралы движения (0 - "энергию", 1,2,3 - "импульс"):
(для самой геодезической $cT$, конечно же, совпадает с $s$):

$$\frac{d}{ds}\frac{mcdx_{i=0,1,2,3}}{ds}=0$$

Метрика Шварцшильда не зависит от $x^0=ct$, а значит у нас:

$$E=mc^2u_0=\operatorname{const}$$

$$u_0=(1-\frac{r_{g}}{r})\frac{cdt}{ds}$$

Для радиального движения:

$$ds=\sqrt{ (1-\frac{r_{g}}{r})-(1-\frac{r_{g}}{r})^{-1}\frac{dr^2}{dt^2}}dt$$

Откуда, собственно, выражаем:

$$\frac{dr}{cdt}=\pm\frac{ (1-\frac{r_{g}}{r})\sqrt{(E/mc^2)^2-1+\frac{r_{g}}{r} }}{E/mc^2}$$

[pashan]

Erleker в сообщении #1282701 писал(а):

Метрика Шварцшильда не зависит от $x^0=ct$

Ваши ответы мне нужно обдумать. Но эта фраза меня особенно заинтересовала! Просьба дать её развернутое объяснение и, было бы очень, ну, просто оооочень хорошо, если вашему объяснению сопутствовала ссылка на авторитетные источники и авторов.

[Erleker]

Ну, тут достаточно посмотреть на метрику Шварцшильда и заметить, что в $g_{ik}$ не входит $t$:
$ds^2=(1-r_{g}/r)c^2dt^2-dr^2/(1-r_{g}/r)-r^2(d\theta^2+\sin^2(\theta)d\varphi^2)$

[pashan]

Erleker в сообщении #1282873 писал(а):

Ну, тут достаточно посмотреть на метрику Шварцшильда и заметить, что в $g_{ik}$ не входит $t$:
$ds^2=(1-r_{g}/r)c^2dt^2-dr^2/(1-r_{g}/r)-r^2(d\theta^2+\sin^2(\theta)d\varphi^2)$

Но в уравнение не входит и угол \varphi, но мы же не говорим, что метрика не зависит от него?

[Erleker]

$g_{ik} = \begin{bmatrix} \left(1-\displaystyle\frac{r_g}{r} \right) & 0 & 0 & 0\\ 0 & -\left(1-\displaystyle\frac{r_g}{r}\right)^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -r^2 \sin^2 \theta \end{bmatrix}.$
От этого угла тоже не зависит, что соответствует закону сохранения "момента импульса".