Геометрия Шварцшильда

[pashan]

Erleker в сообщении #1282898 писал(а):

От этого угла тоже не зависит, что соответствует закону сохранения "момента импульса".

Метрика Шварцшильда статичная, то есть, от времени не зависит. Можно ли принять, что $dt^2=0$?

[Someone]

pashan в сообщении #1282911 писал(а):

Метрика Шварцшильда статичная, то есть, от времени не зависит.

Внешняя метрика. А внутренняя не является статической.

pashan в сообщении #1282911 писал(а):

Можно ли принять, что $dt^2=0$?

Э-э-э… Нельзя ли уточнить вопрос? Что Вы хотите получить?

[pashan]

Someone в сообщении #1283037 писал(а):

pashan в сообщении #1282911 писал(а):

Метрика Шварцшильда статичная, то есть, от времени не зависит.

Внешняя метрика. А внутренняя не является статической.

Рассматривается свободное падение частиц на горизонт событий.

Someone в сообщении #1283037 писал(а):

pashan в сообщении #1282911 писал(а):

Можно ли принять, что $dt^2=0$?

Э-э-э… Нельзя ли уточнить вопрос? Что Вы хотите получить?

Рассматривая статичную внешнюю метрику Шварцшильда, можем ли мы принять как следствие, что значение $dt^2=0$?
А получить я пока хочу ответ: можно ли сделать такое допущение? Если нет, то почему. Если да, то посмотреть, что получится. Хорошо бы со ссылкой на авторитетные источники.

[Someone]

pashan в сообщении #1283043 писал(а):

Рассматривая статичную внешнюю метрику Шварцшильда, можем ли мы принять как следствие, что значение $dt^2=0$?
А получить я пока хочу ответ: можно ли сделать такое допущение? Если нет, то почему. Если да, то посмотреть, что получится.

Я всё равно не понимаю вопроса. Мы можем делать любые допущения. Что Вы хотите получить?

Кто-то сказал, что математика — это мельница. Засыплешь в неё хорошее зерно — получишь хорошую муку. А насыплешь мусора — получишь мусор.

[pashan]

Someone в сообщении #1283046 писал(а):

pashan в сообщении #1283043 писал(а):

Рассматривая статичную внешнюю метрику Шварцшильда, можем ли мы принять как следствие, что значение $dt^2=0$?
А получить я пока хочу ответ: можно ли сделать такое допущение? Если нет, то почему. Если да, то посмотреть, что получится.

Я всё равно не понимаю вопроса. Мы можем делать любые допущения. Что Вы хотите получить?

Можно ли в метрику Шварцшильда подставить $dt^2=0$. Будет ли такая исправленная метрика по-прежнему верно описывать внешнее пространство? Это однозначный ответ на вопрос "что я хочу получить". Если метрика станет некорректной, то почему? Ведь течение времени на неё не оказывает никакого влияния - статичность именно это и означает. Хоть сейчас, хоть через год пространство неизменно.
По поводу мусора - вопрос не однозначный. Все зависит от того, кто мусорщик. В истории немало примеров, когда из мусора возникали дворцы, а некоторые из дворцов топили творцами.

[Geen]

pashan в сообщении #1283052 писал(а):

Будет ли такая исправленная метрика по-прежнему верно описывать внешнее пространство?

Она вообще не будет описывать "внешнее пространство", ни верно, ни неверно - никак.
Она будет описывать свойства некоторой пространственноподобной поверхности (сечения). И свойства мировых линий (пространственноподобных), целиком лежащих в этой поверхности.

[pashan]

Someone в сообщении #1283046 писал(а):

Вы согласны с ответом Geen? Может быть, у вас свой вариант?

[Cos(x-pi/2)]

pashan

(Оффтоп №1: элементарные пояснения про евклидову метрику)

Бан здесь получают "агрессивные невежды" - те, кто не знают наук и не хотят в науках разобраться, а сразу начинают спорить и настаивают на своих выдумках. А вопросы задавать можно и нужно. Но только старайтесь их формулировать как можно яснее и достаточно подробно; так, чтобы отвечающим людям стал понятен уровень вашей подготовки. Тогда и ответы будут соответствующие.

По последнему вашему вопросу (насчёт, можно ли полагать $dt=0$) стало видно, что Вы, наверное, не вполне понимаете вообще, что такое метрика, и зачем она нужна. Вот простейший поясняющий пример - на обычной плоскости с евклидовой геометрией и с декартовыми координатами $x,y$ имеем: $dl^2=dx^2+dy^2.$ Это обычная формула Пифагора для квадрата длины маленького отрезка прямой. Если сравнить эту формулу с общей формулой

$dl^2=g_{xx}dx^2+ g_{xy}dxdy+g_{yx}dydx+g_{yy}dy^2,$

то видим, что в этом примере $g_{xx}=g_{yy} =1,$ остальные компоненты метрического тензора равны нулю. Все компоненты метрического тензора здесь - постоянные, т.е. не зависят от координат $x,y.$ Но Вы же не будете из этого факта делать вывод, будто "как следствие, $dx=0$ и $dy=0. Хотя в любом случае Вы имеете право положить, например, $dx=0;$ тогда получите: $dl^2=dy^2$ - это формула для квадрата длины на отрезках координатных линий, вдоль которых координата $y$ изменяется от точки к точке, а координата $x$ постоянна (именно это постоянство означает условие $dx=0).$ Или можете положить $dy=0,$ тогда: $dl^2=dx^2,$ это квадрат длины на отрезках координатных линий, вдоль которых меняется только $x.$ И можете положить $dx=0, \, dy=0;$ тогда $dl^2=0$ - в евклидовой геометрии это означает, что длина точки равна нулю. В псевдоевклидовой геометрии тоже можете аналогично разобрать частные случаи (там дело обстоит немножко интереснее: условие $ds^2=0$ в общем случае, при ненулевом $dt,$ не описывает точку.) Всё такое желательно сначала самому как следует продумать, прежде чем сразу вопросы задавать.

pashan в сообщении #1283066 писал(а):

но где ещё можно получить интересующую меня информацию...

Главным образом в книгах, и обязательно с упражнениями для самого себя, включая разбор и самых простых вопросов, какие можете себе задать. А иначе, с нуля-то, Вам никто ничего и не пояснит; книги-то пересказывать и упражнения здесь решать за Вас вряд ли кто возьмётся.

[pashan]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1283092 писал(а):

pashan Бан здесь получают "агрессивные невежды" - те, кто не знают наук и не хотят в науках разобраться, а сразу начинают спорить и настаивают на своих выдумках. А вопросы задавать можно и нужно. Но только старайтесь их формулировать как можно яснее и достаточно подробно; так, чтобы отвечающим людям стал понятен уровень вашей подготовки. Тогда и ответы будут соответствующие.

Ну, вы меня прямо успокоили ;)
Тему я создавал с конкретной целью: мне интересно увидеть выкладки МТУ, которые привели к их решению. Каюсь, вопрос в исходном сообщении я сформулировал не совсем точно, хотя и старался: надо было сказать "как были выведены авторами". Но в дальнейшем я вопрос все-таки конкретизировал: нужны выкладки именно МТУ.
Есть решение МТУ, но не видно, как оно получено. Это не моё решение, это решение МТУ, поэтому никакие ваши, мои или чьи ещё рассуждения и выкладки не являются и в принципе не могут быть выкладками МТУ.
Таких вопросов зачастую возникает немало. Например, как-то я пытался найти статью Алана Гута (?Гуса) - первичную, ту, что явилась основой инфляционной гипотезы расширения Вселенной. Статья имеет примерно такое название "За $10^{-45}$ секунд до чего-то". Все поиски завершились неудачно, за статью нужно платить, кажется, пару десятков долларов. Этот кот в мешке мне не по карману. В последнее время меня заинтересовала статья Фламма: Flamm, L. "Beitrage zur Einsteinschen Gravitationstheorie". Phys. Z., 17: 448-454, 1916, но ситуация та же, покупная. Пишу об этом: а вдруг у кого-то найдутся эти статьи?
Меня в общем-то сильно и не удивляет отсутствие или недоступность тех или иных источников и мой интерес к данной теме практически сошел на нет: наудачу не вышло, требуемую информацию предоставить никто не сможет. Поэтому тему можно перевести в режим ожидания: может, вдруг кто-то когда-то сможет найти и предложить требуемый материал.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1283092 писал(а):

По последнему вашему вопросу (насчёт, можно ли полагать $dt=0$) стало видно, что Вы, наверное, не вполне понимаете вообще, что такое метрика, и зачем она нужна.

Вопрос этот возник здесь, можно сказать, стихийно, случайно, поскольку один из участников привел весьма схожую ссылку. Мой вопрос, можно сказать, стал переходным между этой темой и новой - о координатах Крускала. В данный момент хочу, как продолжение этого вопроса, обратиться к уважаемым участникам форума:

Какие ещё есть мнения других участников по поводу этого вопроса? Два я уже вижу: ваш и Geen. Прошу простить меня - скептика, но пока они меня не убедили. В частности, ваш пример, хотя и понравился мне, но я считаю его неточным:

Cos(x-pi/2) в сообщении #1283092 писал(а):

Вот простейший поясняющий пример - на обычной плоскости с евклидовой геометрией ...
Все компоненты метрического тензора здесь - постоянные, т.е. не зависят от координат $x,y.$ Но Вы же не будете из этого факта делать вывод, будто "как следствие, $dx=0$ и $dy=0.

Обратим внимание: в вашем примере от координат не зависят компоненты, а не длина итогового интервала. Другими словами, если считать, что длина интервала $dl^2$ не зависит от какой-либо координаты, то выходит, что вклад координаты равен нулю. То есть, формально, вроде бы, нет запрета, чтобы принять значение её прироста в метрике равным нулю $dx=0$: итог не зависит от величины, следовательно, он не должен зависеть и от прироста этой величины.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1283092 писал(а):

Всё такое желательно сначала самому как следует продумать, прежде чем сразу вопросы задавать.

Я не только продумывал эти вопросы, но и пролистал немало статей и книг. Мои вопросы здесь – наудачу. Принцип простой: если я не задам вопроса, то ответа не получу со 100-процентной вероятностью. Если же задам – то вероятность ответа уже ненулевая. Судя по просмотренной литературе, ненулевая вероятность практически близка к нулю.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1283092 писал(а):

pashan в сообщении #1283066 писал(а):

но где ещё можно получить интересующую меня информацию...

Главным образом в книгах, и обязательно с упражнениями для самого себя, включая разбор и самых простых вопросов, какие можете себе задать. А иначе, с нуля-то, Вам никто ничего и не пояснит; книги-то пересказывать и упражнения здесь решать за Вас вряд ли кто возьмётся.

Ответ неправильный. Никакими упражнениями мой ответ не станет ответом МТУ. По поводу "никто ничего" у меня и не было иллюзий. Но ненулевая вероятность все-таки есть. Чьи-то решения мне тоже не особо нужны, хотя я от них и не отказываюсь. Просто для справки: посмотрите решение Новикова и МТУ для фотона. Могу уверенно заявить: это два разных решения для одной и той же ситуации. Решение Новикова мне кажется вполне корректным, оно легко проверяется и выводится (с точностью до константы). Но оно радикально отличается от решения МТУ. Два уравнения различаются непереводимыми друг в друга членами: логарифмами. В одном случае это логарифм некоторой величины плюс константа $\ln(a+1)$, в другом – логарифм корня этой же величины плюс константа $\ln(a^{1/2}+1)$. Знак тождества между ними, видимо, невозможен. Два разных ответа, видимо, означают, что один из них ошибочен. У кого? У МТУ? Но правильнее все-таки посмотреть их выкладки. Их выкладки, а не собственные или советуемые.

[Cos(x-pi/2)]

(Оффтоп №2: ещё простейшие пояснения про метрику)

pashan в сообщении #1283414 писал(а):

это решение МТУ, поэтому никакие ваши, мои или чьи ещё рассуждения и выкладки не являются и в принципе не могут быть выкладками МТУ.

Тогда пишите письмо Торну с просьбой выслать Вам их выкладки. На этом форуме Торна нет.

pashan в сообщении #1283414 писал(а):

Обратим внимание: в вашем примере от координат не зависят компоненты, а не длина итогового интервала. Другими словами, если считать, что длина интервала $dl^2$ не зависит от какой-либо координаты, то выходит, что вклад координаты равен нулю.

pashan в сообщении #1283414 писал(а):

итог не зависит от величины, следовательно, он не должен зависеть и от прироста этой величины.

Извините за прямоту, но у Вас полная беда с пониманием метрики. Советы по делу (не для "прикола" или "облома"): почитайте учебники по дифференциальной геометрии, или ещё более простые учебники по математике, если не получится понять. Далее, прежде, чем пытаться разбирать сюжеты из ОТО в МТУ, надо освоить математику из 1-го тома того же трёхтомника МТУ.


И делаю здесь ещё одну попытку простейшим образом пояснить Вам предыдущий элементарный пример. Рассмотрите теперь 3-мерный пример евклидовой геометрии, с декартовыми координатами x, y, z:

$dl^2=dx^2+dy^2+dz^2$

это квадрат длины маленького отрезка в 3-мерном пространстве.

То же самое другими словами: представьте себе произвольный маленький векторок $\overrightarrow{PP'}$, соединяющий две близкие точки $P$ и $P'.$ Числа $dx,$ $dy$ и $dz$ это его проекции на координатные оси. Тогда число $dl^2=dx^2+dy^2+dz^2$ это квадрат длины векторочка $\overrightarrow{PP'}$.

Это верно для векторочка с любым направлением и любой малюсенькой длины. Если Вы выберете, например, $dz=0,$ то, значит, речь идёт о векторочке, у которого проекция на ось $z$ равна нулю, то есть такой векторочек направлен параллельно плоскости, проходящей через координатные оси $x,y.$ При этом формула для квадрата длины принимает вид формулы в 2-мерной геометрии: $dl^2=dx^2+dy^2.$ Оно и понятно, ведь, другими словами, любой такой векторок (у которого $dz=0)$ лежит в 2-мерной плоскости, содержащей координатные линии $x,y$ и не содержащей линии, вдоль которых изменяется координата $z.$

Прежде, чем браться за ОТО, рассмотрите аналогичным образом квадрат интервала $ds^2$ в пространстве Минковского (в нём нет кривизны, и поэтому всё просто). В 4-мерном случае имеем:

$ds^2=dt^2-dl^2,$

где:

$dl^2=dx^2+dy^2+dz^2.$

$ds^2$ это квадрат интервала для маленького 4-мерного векторочка, у которого проекции на координатные оси $t,x,y,z$ равны соответственно $dt,$ $dx,$ $dy,$ $dz.$

Если Вы выберете $dt=0,$ то это будет означать, что рассматривается векторок с нулевой проекцией на ось $t$, т.е. он лежит в 3-мерном пространстве с координатными линиями $x,y,z.$

Принято называть такое подпространство 4-мерного пространства Минковского "пространственно-подобной гиперплоскостью". При этом квадрат интервала такого векторочка, как видим, есть $ds^2=-dl^2.$ Т.е. это есть взятый с минусом квадрат длины векторочка в указанной 3-мерной гипреплоскости. Т.е. положив $dt=0,$ Вы больше не имеете дела с геометрией Минковского, а переходите к описанию метрики в евклидовом подпространстве - в сечении пространства Минковского пространственно-подобной гиперплоскостью (и это есть аналогия тому, что ответил Вам Geen для более сложного сюжета):

$dl^2=-ds^2=dx^2+dy^2+dz^2$ при $dt=0.$

Если продолжать так упражняться, т.е. положить ещё и $dz=0,$ то получится евклидова метрика уже в 2-мерной плоскости $x,y.$ Всё это примитивные азы. Без знания подобных азов браться за ОТО, где главный герой - кривизна 4-мерного пространства-времени (довольно сложное понятие!), полный бесполезняк.

[pashan]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1283556 писал(а):

pashan в сообщении #1283414 писал(а):

никакие ваши, мои или чьи ещё рассуждения и выкладки не являются и в принципе не могут быть выкладками МТУ.

Тогда пишите письмо Торну с просьбой выслать Вам их выкладки. На этом форуме Торна нет.

Только и остается – к Торну. Кстати, вы ничего не сказали по поводу расхождения решения Новикова и МТУ. Могут ли быть тождественными два решения, если одно содержит логарифм величины, а другое – её корень? Каждое из этих двух решиний содержит следующие логарифмические члены $\ln(r-r_g)$ – у Новикова и $\ln((r/r_g)^{1/2}+1)$ – у МТУ. Интересно узнать ваше мнение по этому поводу.

pashan в сообщении #1283414 писал(а):

Если Вы выберете $dt=0,$ то это будет означать, что рассматривается векторок с нулевой проекцией на ось $t$, т.е. он лежит в 3-мерном пространстве с координатными линиями $x,y,z.$

И вновь вы отбрасываете время: у вас проекция на ось времени – единственная точка. Но $t=0$ не тождественно $dt=0$. В таком четырехмерном пространстве этот векторок имеет бесконечное число нулевых проекций на ось времени. Другими словами, это не один-единственный векторок, под эти условия подпадает бесконечное число векторков. Для каждого момента времени $t=\operatorname{const}$ есть свой собственный векторок с $dt=0$. Что в моих рассуждениях неверно?

pashan в сообщении #1283414 писал(а):

Принято называть такое подпространство 4-мерного пространства Минковского "пространственно-подобной гиперплоскостью".

Тогда уж гиперплоскостЯМИ, которые сливаются друг с другом непрерывно. А это, как я понимаю, уже не плоскость, а "объемное" гиперпространство. Имеем право сказать так?
Кстати, нашел интересную цитату из МТУ (с.278):

Цитата:

$ds^2=[1-2m(r)/r]^{-1}dr^2+r^2d\varphi^2$ (23.30)
Теперь можно погрузить эту двумерную геометрию искривленного пространства в плоскую геометрию трехмерного евклидова многообразия.

Как видим, это точно соответствует рассматриваемой нами конструкции с $dt=0$. Подобную математическую конструкцию встретил и ещё в нескольких источниках, в частности, в ЛЛ2.7 (с.460), у Фуллера (c.921), в википедии, где из неё следует решенние - параболоид Фламма. Получается, что при подстановке $dt=0$ в интервал с ним не происходит ничего экстраординарного: возникает двумерная геометрия искривленного пространства.

[Cos(x-pi/2)]

(pashan)

Извините; раз Вы уже убеждены в правильности своих суждений, то я не могу Вам чем-либо помочь. Впредь не буду отнимать у Вас и у себя время.

(P.S. Технический момент: обратите внимание на правильность указания автора в ваших цитатах форумных сообщений).

[pashan]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1283603 писал(а):

pashan" Извините; раз Вы уже убеждены в правильности своих суждений, то я не могу Вам чем-либо помочь. Впредь не буду отнимать у Вас и у себя время.
(P.S. Технический момент: обратите внимание на правильность указания автора в ваших цитатах форумных сообщений).

Ссылки - для справки, то есть, просто они есть. Для экономии времени привёл в таком усеченном виде. Главное - ЛЛ2 (7-е издание) недоумений не должно вызывать. Конечно, можно привести в развернутом виде, но время, время, время. А что с авторами цитат не так?
И вновь по поводу времени. Спасибо за развернутую аргументацию. Конечно же, я принимаю ваши доводы к сведению. Честно говоря, разочарован лишь одним: очень ожидал вашего мнения по поводу несовпадения решений Новиков-МТУ. Придётся утешать себя традиционным: отсутствие ответа - тоже ответ. Видимо, этим несовпадением я задел болевую точку. Все избегают отвечать на этот вопрос.
Кстати, я ни в чем не убежден. Собираю возражения против моих аргументов. Анализ их впереди.

В заключение.
Практически тема исчерпала себя, получить что-то ещё сверх полученного вряд ли удастся. Поэтому просьба к администраторам: оставить эту ветку в силе хотя бы до нового года - 01.01.2019, может, все-таки кто-то что-то и предложит.

[Someone]

pashan в сообщении #1282911 писал(а):

Erleker в сообщении #1282898 писал(а):

От этого угла тоже не зависит, что соответствует закону сохранения "момента импульса".

Метрика Шварцшильда статичная, то есть, от времени не зависит. Можно ли принять, что $dt^2=0$?

После длительного обсуждения я, кажется, понял, что Вы спрашиваете. Ответ: нельзя.

pashan в сообщении #1283609 писал(а):

Ссылки - для справки, то есть, просто они есть. Для экономии времени привёл в таком усеченном виде.

Очень плохо. Если Вы хотите получить быстрый и точный ответ, Вы должны привести точные ссылки (в том числе указать главу, параграф, пункт, номера теорем и формул) и написать сами решения, расхождением которых Вы интересуетесь. Для экономии времени.

[Erleker]

pashan в сообщении #1283609 писал(а):

очень ожидал вашего мнения по поводу несовпадения решений Новиков-МТУ. Придётся утешать себя традиционным: отсутствие ответа - тоже ответ. Видимо, этим несовпадением я задел болевую точку. Все избегают отвечать на этот вопрос

Те выражения, что вы имеете ввиду, у Новикова - для фотона, в МТУ - для параболического падения частицы. Поэтому они и отличаются.