Квантовый мир и гильбертовы пространства

[Cos(x-pi/2)]

VASILISK11

VASILISK11 в сообщении #1258211 писал(а):

Заменим "кота" на "однофотонное состояние", "мёртвый" на "вертикальная поляризация", "живой" на "горизонтальная поляризация".

Хорошо, но так заменим, чтобы пространство состояний осталось 2-мерным, - это условие было основным в задачке. Тогда под "однофотонным состоянием" необходимо понимать не положение волнового пакета или импульс фотона (с учётом таких параметров пространство состояний фотона становится бесконечномерным), а только лишь "состояние поляризации фотона".

Тогда аналогией понятию "внутри дома" будет, например, состояние фотона с линейной поляризацией под углом $30^{\circ}$ к горизонтали; а аналогией для "вне дома" - ортогональное к нему состояние поляризации фотона под углом $120^{\circ}$ к горизонтальной оси.

И тогда вопрос в задачке аналогичен вопросу "с какой вероятностью фотон, поляризованный вертикально, может быть обнаружен с поляризацией под углом $120^{\circ}$ к горизонтальной оси?".

Т.е. в задачке обсуждалось только 2-мерное пространство состояний. В полной мере реальной аналогией такому "квантовому коту" с 2-мерным пространством состояний является пространство спиновых состояний покоящегося электрона (и вообще ситуация, когда спин важен, а орбитальные степени свободы электрона оказываются вне игры: "заморожены" или спин-орбитальное взаимодействие не играет существенной роли). Другой пример - атом в двухуровневой модели с невырожденными уровнями. Бывают и другие ситуации, когда к квантовой системе применимо приближённое представление как о системе с двумерным пространством состояний; в подобных случаях оказывается полезным представление о "псевдоспине".

[VASILISK11]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1258328 писал(а):

Хорошо, но так заменим, чтобы пространство состояний осталось 2-мерным, - это условие было основным в задачке. Тогда под "однофотонным состоянием" необходимо понимать не положение волнового пакета или импульс фотона (с учётом таких параметров пространство состояний фотона становится бесконечномерным), а только лишь "состояние поляризации фотона".

Тогда аналогией понятию "внутри дома" будет, например, состояние фотона с линейной поляризацией под углом $30^{\circ}$ к горизонтали; а аналогией для "вне дома" - ортогональное к нему состояние поляризации фотона под углом $120^{\circ}$ к горизонтальной оси.

И тогда вопрос в задачке аналогичен вопросу "с какой вероятностью фотон, поляризованный вертикально, может быть обнаружен с поляризацией под углом $120^{\circ}$ к горизонтальной оси?".

Т.е. в задачке обсуждалось только 2-мерное пространство состояний.

Тогда от кота даже улыбки не останется. :)
Кроме того, у Вас получается, что измерительный прибор "вне дома" ориентирован не так как "внутри дома". В задаче же мы измеряем кота только в координатах "жив" и "мёртв", которые одинаковы как внутри, так и снаружи дома. То есть, получается, что постановка задачи про кота только в 2-мерном пространстве, не корректно.

[Cos(x-pi/2)]

VASILISK11 в сообщении #1258383 писал(а):

В задаче же мы измеряем кота только в координатах "жив" и "мёртв", которые одинаковы как внутри, так и снаружи дома

:-)

[realeugene]

VASILISK11 в сообщении #1258383 писал(а):

Кроме того, у Вас получается, что измерительный прибор "вне дома" ориентирован не так как "внутри дома".

Есть всего два прибора. Один измеряет альтернативу "внутри" или "снаружи" дома, а второй - "жив" кот или "мёртв". Их измерения не коммутируют, но можно сначала измерить положение кота внутри или снаружи дома, а потом - жив он или мёртв. Спрашивается про вероятности результатов второго измерения при условии, что первое измерение выдало результат "снаружи". При этом, распределение вероятностей для результатов второго измерения при условии, что первое измерение выдало "внутри", известны.

[upgrade]

realeugene в сообщении #1258457 писал(а):

Спрашивается про вероятности результатов второго измерения при условии, что первое измерение выдало результат "снаружи". При этом, распределение вероятностей для результатов второго измерения при условии, что первое измерение выдало "внутри", известны.

Так жив И снаружи это просто операция И с двумя множествами: $P_{\text{жив и снаружи}}=P_{\text{жив}}\cdot P_{\text{снаружи}}$
Если условная вероятность "снаружи" известна и равна $1$, то вероятность что он жив такая же, что и для кота внутри.
А если вероятность "жив" при условии что он оказался снаружи отличается от вероятности "жив" при условии что он оказался внутри, т.е. это на самом деле два разных подмножества "жив" из жизни кота (например, снаружи может оказаться только живой кот, поскольку только живой кот может выбраться наружу), то неужели можно какой-то хитростью определить эту вероятность из исходных данных?

[arseniiv]

upgrade в сообщении #1258545 писал(а):

Так жив И снаружи это просто операция И с двумя множествами: $P_{\text{жив и снаружи}}=P_{\text{жив}}\cdot P_{\text{снаружи}}$

Какими множествами? Если вам кажется, что можно определить вероятностное пространство для состояний этого кота, покажите.

[upgrade]

arseniiv в сообщении #1258562 писал(а):

Какими множествами? Если вам кажется, что можно определить вероятностное пространство для состояний этого кота, покажите.

Множество событий "жив" пересекается с множеством событий "снаружи", что соответствует операции "и", эти множества являются подмножествами множества "жизней или смертей кота снаружи или внутри дома с т.з. наблюдателя или с какой-либо другой т.з." ... "события с котами" и так далее.
Если же множество событий "жив" не единственное, а существует два множества - одно внутри дома, а другое снаружи дома, то конечно, множество событий внутри дома не пересекается с множеством событий снаружи дома, да и вообще не очень представляю каким образом второе множество можно измерить если только не опытным путем.

-- 24.10.2017, 13:55 --

Если считать, то определяем сколько раз в $n$ опытах (событиях, как мы их определим в качестве событий) кот оказался "жив и снаружи", делим на общее количество событий $n$ и получаем вероятность.

[realeugene]

upgrade в сообщении #1258545 писал(а):

$P_{\text{жив и снаружи}}=P_{\text{жив}}\cdot P_{\text{снаружи}}$

Это было бы верно, если бы события "жив" и "снаружи" были независимы. Это не так.

Кроме того, эти эксперименты вообще не коммутируют.

[upgrade]

realeugene в сообщении #1258580 писал(а):

Это было бы верно, если бы события "жив" и "снаружи" были независимы. Это не так.

Так неизвестно зависимы или нет, да и если зависимы, то как эту зависимость определить не опытным путем, а только расчетами?
Кстати, кот тоже может подсчитывать вероятность открывания двери наблюдателем в целях убегания из дома пока атом не распался, у нас же "наблюдение" насколько я правильно понял задачку - это тоже событие и у него тоже имеется вероятность - наблюдатель может понаблюдать кота, а может и не понаблюдать (в эксперименте с коробкой такой акт - открытие коробки, которое с т.з. кота - вероятностное событие, может произойти до распада атома, может произойти после, а может вообще не произойти)
До учета коммутации измерений (имхо) еще добраться надо.

[realeugene]

upgrade в сообщении #1258590 писал(а):

Так неизвестно зависимы или нет

Если "неизвестно", этого уже достаточно, чтобы не писать формулу, которую вы написали.

[upgrade]

realeugene в сообщении #1258593 писал(а):

Если "неизвестно", этого уже достаточно, чтобы не писать формулу, которую вы написали.

Так внешний вид такой же, просто будет не одно слагаемое, а несколько - по числу несовместных событий, без которых не обнаружится живой кот вне дома.

-- 24.10.2017, 14:56 --

Более верно, конечно, так:
$P_{\text{жив и снаружи}}=P_{\text{жив при условии что оказался снаружи}}\cdot P_{\text{оказался снаружи}}$

[realeugene]

upgrade в сообщении #1258595 писал(а):

Так внешний вид такой же, просто будет не одно слагаемое, а несколько - по числу несовместных событий, без которых не обнаружится живой кот вне дома.

Простите, но ваша терминология несколько отличается от стандартной, излагаемой в учебниках по теорверу. Я вас не понимаю.

[upgrade]

realeugene в сообщении #1258597 писал(а):

Простите, но ваша терминология несколько отличается от стандартной, излагаемой в учебниках по теорверу.

Тут читаю (полная вероятность)

[warlock66613]

upgrade в сообщении #1258590 писал(а):

Так неизвестно зависимы или нет

Зато известно, что пространство состояний системы двумерно.

[realeugene]

upgrade в сообщении #1258595 писал(а):

$P_{\text{жив и снаружи}}=P_{\text{жив при условии что оказался снаружи}}\cdot P_{\text{оказался снаружи}}$

Это более корректно. Но нам неизвестна вероятность кота оказаться снаружи. Она и не нужна для решения этой задачи, если только кот - это квантовая система с двумерным пространством состояний. Дело в том, что первый эксперимент, определяющий, кот находится внутри или снаружи дома, приводит состояние этой системы к определённому чистому состоянию этой системы, одному из двух ортогональных состояний (с точностью до фазового множителя). И дальше, чтобы получить требуемое решение задачи, нужно пользоваться квантовой механикой, а не просто теорвером.