Открытые и замкнутые множества на прямой (Давидович)

[ewert]

grizzly в сообщении #1249440 писал(а):

*Нужные примеры -- примеры, подтверждающие утверждение теоремы / задачи, а также, если возможно, примеры, показывающие, что при более слабых условиях утверждение перестаёт быть верным.

*Первые не особо нужны, а вот вторые (называемые контрпримерами) более-менее необходимы. данный случай относится именно к контрпримерам.

[irod]

ewert в сообщении #1249434 писал(а):

irod в сообщении #1249432 писал(а):

Пусть $M_k=[1/k,1/k+\varepsilon_k]$, где $\varepsilon_k$ меньше расстояния между соседними членами прогрессии: $0<\varepsilon_k<\frac{1}{k(k-1)}$.

Это правда, но почему бы не явно? Например, взять слипающиеся по этим точкам отрезки и выкинуть каждый второй, т.е. оставить только нечётные.

Да, так еще проще.

По поводу нужности контрпримеров - ок.

-- 21.09.2017, 15:23 --

Разберусь с еще одним долгом.

irod в сообщении #1238586 писал(а):

Задача 14.
Какие множества являются открытыми и замкнутыми одновременно?

grizzly в сообщении #1241078 писал(а):

у Вас в той задаче нет целостного рассуждения -- от условия задачи, через определения и теоремы / другие задачи, к выводу. У Вас там интуитивное рассуждение, которое не выглядит убедительным.

Пути, как это исправить, Вам предложили -- и ewert и я (лучше всё же идти по пути ewert -- он короче и естественней).

ewert в сообщении #1238731 писал(а):

Проще не ссылаться на ту задачу, а повторить ключевую часть её доказательства. Берём любую точку открытого множества и строим для неё максимальный интервал. Что можно сказать про его концы?...

Из отсутствия точек у пустого множества следуют его открытость и замкнутость.
Открытое множество $\mathbb{R}$ является замкнутым.
Пусть теперь $M\ne\mathbb{R}$ -- непустое открытое множество. Возьмем произвольную точку $x\in M$ и построим для нее максимальный интервал, входящий в $M$. Концы этого интервала есть предельные точки $M$, и следовательно должны принадлежать $M$, чтобы оно было замкнутым. В то же время концы интервала не являются его внутренними точками, следовательно их принадлежность $M$ противоречит открытости $M$. Следовательно, любое непустое открытое множество, не равное $\mathbb{R}$, не является замкнутым.
Ничего не забыл?

[irod]

ewert в сообщении #1241094 писал(а):

Поскольку в 14-й важна полнота $\mathbb R$ (попытайтесь угадать, почему), а в 15-й -- нет.

Про 15-ю пока ничего не скажу, а по поводу важности полноты в 14-й мысли такие.
Представим, что $\sqrt{2}$ не существует (в $\mathbb{R}$, да и вообще нигде не существует). Тогда луч $(-\infty,\sqrt{2})$ будет одновременно открытым и замкнутым, потому что точка $\sqrt{2}$ не будет предельной. И идея моего доказательства выше была бы неверной.

[irod]

Задача 22.
Указать, являются ли следующие множества открытыми, замкнутыми, плотными в себе, совершенными или всюду плотными:

а) $\varnothing$
-- открыто и замкнуто (задача 14); совершенно; из замкнутости и совершенства следует (задача 21) плотность в себе; не является всюду плотным.

б) конечное множество
-- (предполагаем, что непустое) не открыто, т.к. любая окрестность любой его точки содержит бесконечно много точек, и следовательно не может принадлежать самому множеству; замкнуто (задача 12); из $M\neq M'=\varnothing$ следует, что не является ни плотным в себе, ни совершенным и ни всюду плотным.

в) $\mathbb{Z}$
-- не открыто; не имеет предельных точек и, следовательно, замкнуто, не совершенно, не является плотным в себе и не является всюду плотным.

г) $]a,b[$
-- открыто; не замкнуто (т.к. не содержит свои предельные точки $a,b$) и, следовательно, не совершенно; плотно в себе; не является всюду плотным.

д) $[a,b]$
-- не открыто (точки $a,b$ не являются внутренними); совершенно и, следовательно, замкнуто и плотно в себе; не является всюду плотным.

е) $\mathbb{R}$
-- открыто и замкнуто (задача 14); всюду плотно, совершенно и плотно в себе.

ж) $\left\{\frac{1}{n}\mid n\in\mathbb{N}\right\}$
-- не открыто (ни одна из точек не является внутренней); не замкнуто (не содержит свою единственную предельную точку $0$) и, следовательно, не совершенно; не является плотным в себе; не является всюду плотным.

з) $\left\{\frac{1}{n}\mid n\in\mathbb{N}\right\}\cup\{0\}$
-- в отличие от множества из п. ж), замкнуто; в остальном не отличается.

и) $\mathbb{Q}$
-- не открыто (т.к. каждая окрестность любой рациональной точки содержит иррациональные точки); всюду плотно и, следовательно, не совершенно, не замкнуто и плотно в себе.

-- 22.09.2017, 14:23 --

deep down в сообщении #1248734 писал(а):

Ещё найдите плотное $A\subset\mathbb{Q}$ такое, что $\mathbb{Q}\setminus A$ тоже плотно.

Множество $\mathbb{Q}$ счетно. Пронумеруем все его элементы, и пусть $A$ -- элементы с четными номерами в нашей нумерации. Тогда и $A$ и $\mathbb{Q}\setminus A$ всюду плотные.

-- 22.09.2017, 14:34 --

Mikhail_K в сообщении #1248633 писал(а):

irod, а сможете придумать не открытое всюду плотное множество, отличное от $\mathbb{Q}$?

irod в сообщении #1248652 писал(а):

Mikhail_K
Множество иррациональных чисел $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$?

Mikhail_K в сообщении #1248659 писал(а):

Ага, подходит. А ещё какие-нибудь?

deep down в сообщении #1248734 писал(а):

Примеры всюду плотных Вы привели правильные. Не знаю, куда Вас подталкивает Mikhail_K, но пару направлений предложу.
Если $A$ - всюду плотное, то любое $B\supset A$ - тоже. Другая формулировка - $A\cup C$ плотно для любого $C\subset\mathbb{R}$. Убедитесь, что это так и постройте пример, непохожий на предыдущие.

Я чувствую, есть какое-то особое важное (и неизвестное мне) всюду плотное множество, к изобретению которого Вы с Mikhail_K меня подталкиваете
Но пока только вот такое придумал: пусть $A\subset\mathbb{Q}$ -- множество из моего предыдущего сообщения. $A\cup\{\sqrt{2}\}$ -- всюду плотное.

[deep down]

irod в сообщении #1249725 писал(а):

Множество $\mathbb{Q}$ счетно. Пронумеруем все его элементы, и пусть $A$ -- элементы с четными номерами в нашей нумерации. Тогда и $A$ и $\mathbb{Q}\setminus A$ всюду плотные.

При нумерации получилось так, что у все положительных чисел чётные индексы, у всех отрицательных - нечётные. В результате имеем два множества, не являющихся всюду плотными.
В случае $\mathbb{Q}$ конкретный пример строится явно, и не один.

irod в сообщении #1249725 писал(а):

Я чувствую, есть какое-то особое важное (и неизвестное мне) всюду плотное множество

Скорее, наоборот. Мы хотим, чтобы у Вас не было впечатления, будто все множества устроены одинаково, как в немногочисленных примерах из листка. Потому и предлагаем использовать фантазию на всю катушку.
Остальные допвопросы даются с той же целью - показать, что простое определение не обязательно означает "простой" объект, также выявить возможные пробелы, с этим связанные.

[grizzly]

irod в сообщении #1249725 писал(а):

Я чувствую, есть какое-то особое важное (и неизвестное мне) всюду плотное множество, к изобретению которого Вы с Mikhail_K меня подталкиваете

Вот примеры другого рода (таких можно плодить любое количество, соревнуясь в интересности и необычности):
1) Конечные десятичные дроби.
2) Вообще, дроби, в знаменателях которых используются только множители из конечного набора простых чисел (пример 1 -- частный случай для набора $\{2,5\}$).
3) Все числа вида $a+q$, где $q\in \mathbb Q$, а $a\in \mathbb R$ -- фиксированное.
Вы должны хорошо представлять себе путь доказательства всюду плотности таких множеств.

Вот эти вещи в одном ответе плохо сочетаются:

irod в сообщении #1249725 писал(а):

$\mathbb{R}$
-- открыто и замкнуто (задача 14); всюду плотно, совершенно и плотно в себе.
...
всюду плотно и, следовательно, не совершенно

[irod]

grizzly
по поводу Вашего последнего замечания по 22-й задаче - согласен, плохо написал. Пусть в случае с $\mathbb{Q}$ будет так: $\mathbb{Q}\subsetneq\mathbb{Q}'=\mathbb{R}$, т.е. $\mathbb{Q}$ не замкнуто, не совершенно, плотно в себе и всюду плотно.

[irod]

Задача 23*.
Может ли совершенное множество быть счетным?

Не один день думал надо этой задачкой. Сначала была идея найти в совершенном множестве хоть одну внутреннюю точку, тогда принадлежащая множеству окрестность этой точки была бы несчетным интервалом, делая несчетным само множество. Но показать существование внутренней точки у меня не получилось. Зато идея рассматривать интервалы оказалось хорошей (или нет).

Итак, ответ: нет, совершенное множество либо конечно (пусто), либо несчетно.

Доказательство.
Пустое множество является совершенным и не является счетным.
Пусть теперь $M$ -- непустое совершенное множество. Возьмем произвольную точку $x\in M$ и некоторую ее окрестность. Так как точка $x$ является предельной, то эта окрестность содержит бесконечно много точек из $M$. Предположим, что число этих точек счетно, и значит существует их нумерация: $x_1,x_2,\ldots$. Построим систему вложенных интервалов следующим образом. Пусть $U_{\varepsilon_1}(x_1)$ -- окрестность точки $x_1$, целиком лежащая внутри взятой ранее окрестности точки $x$. Из предельности $x_1$ следует, что $U_{\varepsilon_1}(x_1)$ содержит бесконечное число точек из нашей нумерации за вычетом самой $x_1$ и еще каких-то точек. Выбросим из нашей нумерации $x_1$ и все отсутствующие в $U_{\varepsilon_1}(x_1)$ точки. Далее на каждом шаге берем точку с наименьшим номером из оставшихся в нашей нумерации точек, берем окрестность этой точки так, чтобы она целиком содержалась во взятой на предыдущем шаге окрестности и была как минимум вдвое меньше ее, и выбрасываем из нашей нумерации центр взятой окрестности и все точки, отсутствующие в этой окрестности. Получим систему вложенных интервалов, пересечением которой будет точка из $M$, отсутствующая в нашей исходной нумерации. Полученное противоречие доказывает что $M$ несчетно.

[grizzly]

irod в сообщении #1251251 писал(а):

Получим систему вложенных интервалов, пересечением которой будет точка из $M$

Почему пересечением этой системы что-то будет?

[deep down]

irod, если Вы придумали эту идею основываясь только на задачах из листка, то мои поздравления.
По поводу технической части Вам верно grizzly заметил - найдите и исправьте ошибку.

irod в сообщении #1251251 писал(а):

Но показать существование внутренней точки у меня не получилось.

И не получится - она существовать не обязана. Но эти вопросы лучше пока отложить.

[irod]

grizzly в сообщении #1251305 писал(а):

irod в сообщении #1251251 писал(а):

Получим систему вложенных интервалов, пересечением которой будет точка из $M$

Почему пересечением этой системы что-то будет?

Кажется понял свою ошибку: надо брать на каждом шаге окрестность так чтобы она еще не содержала центр предыдущей окрестности, а не выкидывать этот центр из окрестности "вручную"; а иначе какой-то из выкинутых центров окрестностей как раз и может быть пересечением системы, верно?

[grizzly]

irod в сообщении #1251470 писал(а):

верно?

Нет. Наводящий вопрос: чему равно пересечение интервалов $(0;1/n)?$

[irod]

grizzly
пустому множеству. Надо было брать отрезки вместо интервалов?

[grizzly]

irod в сообщении #1251484 писал(а):

Надо было брать отрезки вместо интервалов?

Конечно. Мой вопрос был в этом. Но то, что Вы сказали, тоже нужно проследить. Сможете полностью повторить доказательство заново и аккуратно. Задача важная и сложная. В целом же идея у Вас хорошая и наверняка рабочая.

-- 28.09.2017, 14:34 --

С этими интервалами иногда бывает путанница. Особенно в переводной литературе. Так что на будущее: не удивляйтесь, если Вам попадётся что-то странное -- нужно следить внимательно за определениями в конкретной книге или статье.

[irod]

grizzly в сообщении #1251485 писал(а):

Сможете полностью повторить доказательство заново и аккуратно.

irod в сообщении #1251251 писал(а):

Задача 23*.
Может ли совершенное множество быть счетным?
...
ответ: нет, совершенное множество либо конечно (пусто), либо несчетно.

Доказательство.
Пустое множество является совершенным и не является счетным.

Пусть теперь $M$ -- непустое совершенное множество, и пусть $U_\varepsilon(x)$ -- некоторая окрестность произвольной точки $x\in M$. Предположим, что существует $x_n=x_1,x_2,\ldots$ -- (счетная) последовательность всех точек множества $M\cap U_\varepsilon(x)$.
Построим внутри $U_\varepsilon(x)$ систему вложенных отрезков $I_1\supset I_2\supset\ldots$, обладающую следующими свойствами:
а) центр отрезка $I_k$ есть точка $x_{n_k}$, где $n_1=1$, а каждый следующий $n_{k+1}$ -- это наименьший номер такой, что $x_{n_{k+1}}\in I_k$;
б) каждый следующий отрезок не содержит центр предыдущего (т.е. $x_{n_{k-1}}\not\in I_k$);
в) длина отрезков стремится к нулю.
Пересечением этой системы будет точка из $M$, отсутствующая в нашей исходной нумерации $(x_n)$. Полученное противоречие доказывает что $M$ несчетно.