Это неверно. Но это рассуждение -- хороший пример с Вашей стороны, который показывает, почему Вашей интуиции в подобных вопросах доверять рано.
И, кстати, по тем же причинам никто Вам не засчитает в том виде Задачу 14. Там рассуждение ничуть не лучше, просто случайно ответ совпал с правильным.
Ок. С 14й задачей недочет в том что я ничего не сказал про (счетное) объединение интервалов, так?
-- 16.08.2017, 15:13 --Вновь некоторая нелепость -- задача 4 существенно сложнее этой. Доказывайте в лоб: что предельная точка дополнения не может принадлежать исходному открытому множеству, т.к. не является внутренней.
Пусть
-- открытое множество. Если
не имеет предельных точек, то оно замкнуто (см. доказательство задачи 12). Предположим, у множества
есть предельные точки, и пусть
-- одна из них. В каждой окрестности точки
содержится как минимум одна точка
.
. Следовательно, никакая окрестность точки
не принадлежит целиком множеству
. Значит,
не является внутренней точкой множества
, и значит
. Тогда
, что доказывает замкнутость
.
-- 16.08.2017, 15:32 --Вторая часть задачи 15 (дополнение к замкнутому множеству открыто) доказывается похожим образом.
Возьмем произвольное замкнутое множество
и покажем что произвольная точка
-- внутренняя. Предположим обратное: пусть никакая окрестность точки
не лежит целиком в
. Другими словами, в каждой окрестности точки
содержится как минимум одна точка, не принадлежащая множеству
, обозначим эту точку
.
. Значит,
является предельной точкой множества
. Следовательно,
. Но точка не может одновременно принадлежать множеству и дополнению к нему. Полученное противоречие доказывает открытость множества
.