Открытые и замкнутые множества на прямой (Давидович)

[grizzly]

ewert в сообщении #1238731 писал(а):

Собственно, сам порядок следования задач выбран неразумно -- эта существенно проще, чем 4-я.

В данном случае мне авторский вариант следования задач представляется более разумным. Задача 4 обозначена звёздочкой и дана после изучения минимального количества определений и свойств, необходимых для её решения.

Наоборот, размещать все задачи учебника со звёздочками строго после более простых задач по всей теме (или по всем темам вообще) не выглядит более разумным. (При этом следует, конечно, принять во внимание, что методология курса рассчитана на самых одарённых, но подростков -- начало 9 класса, -- а не студентов.)

-- 06.08.2017, 11:47 --

ewert в сообщении #1238731 писал(а):

Проще не ссылаться на ту задачу, а повторить ключевую часть её доказательства.

ТС не знает пока, как доказывать ту задачу, поэтому пользуется её формулировкой. Это логично.

[ewert]

(Оффтоп)

grizzly в сообщении #1238740 писал(а):

В данном случае мне авторский вариант следования задач представляется более разумным. Задача 4 обозначена звёздочкой и дана после изучения минимального количества определений и свойств, необходимых для её решения.

Допустим; но получилось-то -- из пушки по воробьям, если ссылаться из 14-й на 4-ю. А если не ссылаться, то придётся повторить часть доказательства 4-й, причём в гораздо более мягкой ситуации. Неэстетично; лучше всё-таки двигаться от простого к сложному.

-- Вс авг 06, 2017 13:10:29 --

grizzly в сообщении #1238740 писал(а):

ТС не знает пока, как доказывать ту задачу, поэтому пользуется её формулировкой. Это логично.

Это неправильный юмор, поскольку он вроде как раз знает. Во всяком случае, по кусочкам.

[grizzly]

ewert в сообщении #1238742 писал(а):

Это неправильный юмор, поскольку он вроде как раз знает.

Мы по-разному понимаем слово "знает"

ewert в сообщении #1238742 писал(а):

А если не ссылаться, то придётся повторить часть доказательства 4-й

Я не вижу в этом необходимости. Ну, то есть, никто не запрещает и так решать -- дело вкуса.

[ewert]

grizzly в сообщении #1238750 писал(а):

Я не вижу в этом необходимости.

А как иначе?... Ведь надо же за что-то зацепиться. Если мы доказываем, что открытое множество не может быть замкнутым, то нужно предъявить отсутствующую в нём предельную точку, и простейшая из них -- граница максимального интервала (уж вводить это понятие или нет -- дело вкуса). Доказывать же, что замкнутое не может быть открытым, по моему, гораздо сложнее. Можно, конечно, сослаться на ещё какую-нибудь гробовую теорему.

[grizzly]

ewert в сообщении #1238752 писал(а):

Можно, конечно, сослаться на ещё какую-нибудь гробовую теорему.

Я насчитал 4 достаточно простых предложения со ссылкой на одну теорему, которая настолько часто употреблялась ранее в самых разных задачах, что вряд ли может считаться "гробовой".

[ewert]

grizzly в сообщении #1238755 писал(а):

на одну теорему, которая настолько часто употреблялась ранее в самых разных задачах

Какую именно?

[grizzly]

ewert в сообщении #1238756 писал(а):

Какую именно?

См. ЛС.

[kotenok gav]

grizzly в сообщении #1238757 писал(а):

См. ЛС.

Можно мне тоже в ЛС?

[irod]

grizzly в сообщении #1238654 писал(а):

Задача 14. Неправильно сформулирована задача 4. Не более чем счётное -- сколько это может быть в наименьшем варианте?

В наименьшем - ноль.
Вы имеете в виду, что надо было рассмотреть пустое множество? Давайте рассмотрим. Точек у него нет, значит высказывание "любая его точка является внутренней" истинно. Следовательно, само оно открыто. А еще оно замкнуто вследствие своей конечности. И вот найдено еще одно одновременно открытое и замкнутое множество кроме $\mathbb{R}$. Верно?

grizzly в сообщении #1238740 писал(а):

ТС не знает пока, как доказывать ту задачу, поэтому пользуется её формулировкой.

Почему не знаю, мне ж ewert все объяснил, и мне теперь кажется все понятным (возможно лишь кажется).

ewert в сообщении #1238752 писал(а):

Если мы доказываем, что открытое множество не может быть замкнутым, то нужно предъявить отсутствующую в нём предельную точку, и простейшая из них -- граница максимального интервала (уж вводить это понятие или нет -- дело вкуса).

Дык я ж предъявил:

irod в сообщении #1238586 писал(а):

Интервал не является замкнутым множеством, т.к. не содержит свои концы, являющиеся его предельными точками.

ewert в сообщении #1238752 писал(а):

Доказывать же, что замкнутое не может быть открытым, по моему, гораздо сложнее. Можно, конечно, сослаться на ещё какую-нибудь гробовую теорему.

А разве надо это отдельно доказывать? У нас ведь 4я задача четко говорит про любое открытое множество. Вот я и пляшу от открытых множеств. Зачем потом рассматривать замкнутые?

grizzly в сообщении #1238755 писал(а):

Я насчитал 4 достаточно простых предложения со ссылкой на одну теорему, которая настолько часто употреблялась ранее в самых разных задачах, что вряд ли может считаться "гробовой".

Простите, я не понимаю какую теорему Вы имеете в виду.

[grizzly]

irod в сообщении #1239728 писал(а):

И вот найдено еще одно одновременно открытое и замкнутое множество кроме $\mathbb{R}$. Верно?

Да.

irod в сообщении #1239728 писал(а):

Почему не знаю, мне ж ewert все объяснил, и мне теперь кажется все понятным (возможно лишь кажется).

Да, точно. Там ветка обсуждения прошла без меня и я о ней слишком быстро забыл.

irod в сообщении #1239728 писал(а):

Простите, я не понимаю какую теорему Вы имеете в виду.

На этой странице мы с ewert между собой обсуждали различные подходы к задаче. Большей частью эти сообщения не был адресованы Вам.

(Оффтоп)

Впрочем, если это интересно, я поделюсь своей идеей решения задачи с использованием свойств системы вложенных отрезков (СВО) -- о чём говорил выше. Пишу без подробностей, только идею:
Рассмотрим произвольное множество, которое одновременно является открытым и замкнутым. Пусть на прямой есть 2 точки: одна принадлежит множеству, другая -- нет. Это отрезок нулевого шага. Затем делим его пополам -- в какой-то из половинок есть 2 точки: одна принадлежит множеству, другая нет (нужно заметить, что одна граница всегда общая); и т.д. Точка пересечения СВО является предельной и не внутренней. Противоречие с началом.

Это решение не проще и не короче, конечно. Но оно другое.

[irod]

deep down в сообщении #1238691 писал(а):

А по поводу "грани сами не могут входить в пересечение" вопросы остались. Вы привели пример, когда не входят - при совпадении концов интервалов. Теперь давайте посмотрим, что будет со строгой вложенностью.
Раз концы не входят в пересечение, найдётся интервал, где они не содержатся. Возьмите конкретный пример строго вложенных интервалов и для него найдите конкретный индекс.

Рассмотрим такую систему вложенных интервалов: $I_n=(-1/n,1+1/n)$. Для нее $\sup A=0$, $\inf B=1$, и эти грани входят в каждый интервал системы, потому как $-1/n<0$ и $1+1/n>1$ для любого натурального $n$.
Как-то нехорошо получилось. Выходит, все это время я утверждал неправду про невхожение граней.

-- 15.08.2017, 18:42 --

Задача 15.
Дополнение к открытому множеству замкнуто; дополнение к замкнутому множеству открыто.

Доказательство.
Сначала докажем, что дополнение к открытому множеству замкнуто.
Согласно задаче 4, всякое открытое множество есть либо прямая, либо объединение не более чем счетного числа попарно непересекающихся интервалов и открытых лучей. Следовательно, дополнение $\mathbb{R}\setminus M$ к открытому множеству $M$ есть либо пустое множество $\varnothing$ (если $M=\mathbb{R}$), либо $\mathbb{R}$ (если $M=\varnothing$), либо объединение некоторого ненулевого (но не более чем счетного) числа попарно непересекающихся отрезков и лучей.
$\varnothing$ и $\mathbb{R}$ замкнуты (задача 14).
Любой отрезок и луч являются замкнутыми множествами, т.к. множество их предельных точек равно им самим. Следовательно, их объединение в случае отсутствия пересечений также замкнуто (т.к. если нет пересечений, то у объединения не может появиться дополнительных предельных точек, не являющихся предельными точками какого-либо из участвующих в объединении множеств).
Теперь хочется доказать открытость дополнения к замкнутому множеству, но пока не знаю как, думаю. Надо придумать, чем является каждое замкнутое множество, как в задаче 4?

[grizzly]

irod в сообщении #1240887 писал(а):

... если нет пересечений, то у объединения не может появиться дополнительных предельных точек, не являющихся предельными точками какого-либо из участвующих в объединении множеств

Это неверно. Но это рассуждение -- хороший пример с Вашей стороны, который показывает, почему Вашей интуиции в подобных вопросах доверять рано.

И, кстати, по тем же причинам никто Вам не засчитает в том виде Задачу 14. Там рассуждение ничуть не лучше, просто случайно ответ совпал с правильным.

[ewert]

irod в сообщении #1240887 писал(а):

Сначала докажем, что дополнение к открытому множеству замкнуто.
Согласно задаче 4,

Вновь некоторая нелепость -- задача 4 существенно сложнее этой. Доказывайте в лоб: что предельная точка дополнения не может принадлежать исходному открытому множеству, т.к. не является внутренней.

[irod]

grizzly в сообщении #1240920 писал(а):

Это неверно. Но это рассуждение -- хороший пример с Вашей стороны, который показывает, почему Вашей интуиции в подобных вопросах доверять рано.

И, кстати, по тем же причинам никто Вам не засчитает в том виде Задачу 14. Там рассуждение ничуть не лучше, просто случайно ответ совпал с правильным.

Ок. С 14й задачей недочет в том что я ничего не сказал про (счетное) объединение интервалов, так?

-- 16.08.2017, 15:13 --

ewert в сообщении #1241008 писал(а):

Вновь некоторая нелепость -- задача 4 существенно сложнее этой. Доказывайте в лоб: что предельная точка дополнения не может принадлежать исходному открытому множеству, т.к. не является внутренней.

Пусть $M$ -- открытое множество. Если $\mathbb{R}\setminus M$ не имеет предельных точек, то оно замкнуто (см. доказательство задачи 12). Предположим, у множества $\mathbb{R}\setminus M$ есть предельные точки, и пусть $x$ -- одна из них. В каждой окрестности точки $x$ содержится как минимум одна точка $y\in\mathbb{R}\setminus M$. $y\not\in M$. Следовательно, никакая окрестность точки $x$ не принадлежит целиком множеству $M$. Значит, $x$ не является внутренней точкой множества $M$, и значит $x\not\in M$. Тогда $x\in \mathbb{R}\setminus M$, что доказывает замкнутость $\mathbb{R}\setminus M$.

-- 16.08.2017, 15:32 --

Вторая часть задачи 15 (дополнение к замкнутому множеству открыто) доказывается похожим образом.

Возьмем произвольное замкнутое множество $M$ и покажем что произвольная точка $x\in\mathbb{R}\setminus M$ -- внутренняя. Предположим обратное: пусть никакая окрестность точки $x$ не лежит целиком в $\mathbb{R}\setminus M$. Другими словами, в каждой окрестности точки $x$ содержится как минимум одна точка, не принадлежащая множеству $\mathbb{R}\setminus M$, обозначим эту точку $y$. $y\in M$. Значит, $x$ является предельной точкой множества $M$. Следовательно, $x\in M$. Но точка не может одновременно принадлежать множеству и дополнению к нему. Полученное противоречие доказывает открытость множества $\mathbb{R}\setminus M$.

[grizzly]

irod в сообщении #1241075 писал(а):

С 14й задачей недочет в том что я ничего не сказал про (счетное) объединение интервалов, так?

Можно и так сказать. Но я бы сказал иначе: у Вас в той задаче нет целостного рассуждения -- от условия задачи, через определения и теоремы / другие задачи, к выводу. У Вас там интуитивное рассуждение, которое не выглядит убедительным.

Пути, как это исправить, Вам предложили -- и ewert и я (лучше всё же идти по пути ewert -- он короче и естественней).

Текущая ситуация с этим листком действительно показывает, что Ваша интуиция сбоит. Это нормально, поскольку в ход пошли совершенно новые понятия и незнакомые концепции. Предлагаю на время вернуться к более строгим рассуждениям, сократив до минимума использование нашего кодового слова "очевидно". А когда ситуация наладиться, мы вновь начнём просить сокращать какие-то выкладки. Се ля ви :)

-- 16.08.2017, 15:52 --

И, пожалуйста, поищите простой контрпример к Вашему утверждению: счётное объединение непересекающихся отрезков замкнуто.

-- 16.08.2017, 16:01 --

irod в сообщении #1241075 писал(а):

Пусть $M$ -- открытое множество. Если $\mathbb{R}\setminus M$ не имеет предельных точек, то оно замкнуто (см. доказательство задачи 12). Предположим, у множества $\mathbb{R}\setminus M$ есть предельные точки, и пусть $x$ -- одна из них. В каждой окрестности точки $x$ содержится как минимум одна точка $y\in\mathbb{R}\setminus M$. $y\not\in M$. Следовательно, никакая окрестность точки $x$ не принадлежит целиком множеству $M$. Значит, $x$ не является внутренней точкой множества $M$, и значит $x\not\in M$. Тогда $x\in \mathbb{R}\setminus M$, что доказывает замкнутость $\mathbb{R}\setminus M$.

Вот это годное рассуждение!

-- 16.08.2017, 16:04 --

Вторая часть тоже ок, но вот здесь:

irod в сообщении #1241075 писал(а):

Возьмем произвольное замкнутое множество $M$ и покажем что произвольная точка $x\in\mathbb{R}\setminus M$ -- внутренняя.

нужно было вспомнить вырожденный случай, когда нет никакой точки $x\in\mathbb{R}\setminus M$.