2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение12.11.2015, 22:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
692
Вот ещё очень интересное тригонометрическое тождество

$$\[
\sin ^4 \alpha  + \cos ^4 \alpha  + \sin ^4 \alpha \cos ^4 \alpha  = \left( {1 - \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha } \right)^2 
\]$

Опять, заменяя тригонометрические функции на их диофантовые аналоги и освободившись от дробей получим параметрическое решение очень серьёзного диофантового уравнения в целых числах

$\[a^4  + b^4  + c^4  = d^2\]$

$$\[
\left( {2k^3 t + 2kt^3 } \right)^4  + \left( {2k^3 t - 2kt^3 } \right)^4  + \left( {k^4  - t^4 } \right)^4  = \left( {k^8  + 14k^4 t^4  + t^8 } \right)^2 
\]$

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение25.12.2015, 13:50 
Заслуженный участник


17/09/10
1617
Можно продолжить бесконечную цепочку 2-параметрических решений уравнения $a^4+b^4+c^4=d^2$
$a=2(2k^3{t}+2t^3{k})(k^{12}+13{k^8}{t^4}-13{k^4}{t^8}-t^{12})$

$b=2(2k^3{t}-2t^3{k})(k^{12}+13{k^8}{t^4}-13{k^4}{t^8}-t^{12})$

$c=k^{16}-36k^{12}{t^4}-186{k^8}{t^8}-36t^{12}{k^4}+t^{16}$

$d=k^{32}+184k^{28}{t^4}+1436k^{24}{t^8}+8968k^{20}t^{12}+44358k^{16}t^{16}$

$+8968k^{12}t^{20}+1436{k^8}t^{24}+184t^{28}{k^4}+t^{32}$
И так далее.
Все они получаются из рациональных точек эллиптической кривой c ненулевым рангом
$Y^2=X^3-64k^4{t^4}((k^2+t^2)^4+(k^2-t^2)^4)X$
Не очевидно, может ли $d$ быть квадратом при $tk\ne{0}$, что является здесь главным интересом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение26.12.2015, 22:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
692
Да уж. Уравнение ужасное.
Один путь упрощения есть. Преобразуем $\[m = \frac{k}{t}\]$

$$\[
\left( {m^{16}  + m^{ - 16} } \right) + 184\left( {m^{12}  + m^{ - 12} } \right) + 1436\left( {m^8  + m^{ - 8} } \right) + 8968\left( {m^4  + m^{ - 4} }\right) + 44358
\]
$

Расширим область переменной $\[m^4  = n\]$

$$\[
d^2  = \left( {n^4  + n^{ - 4} } \right) + 184\left( {n^3  + n^{ - 3} } \right) + 1436\left( {n^2  + n^{ - 2} } \right) + 8968\left( {n + n^{ - 1} } \right) + 44358
\]
$

Далее обозначим $\[n + n^{ - 1}  = x\]$

Тогда

$\[
n^2  + n^{ - 2}  = x^2  - 2
\]
$

$\[
n^3  + n^{ - 3}  = x^3  - 3x
\]
$

$\[
n^4  + n^{ - 4}  = x^4  - 4x^2  - 14
\]$

Получим эллиптическое уравнение

$\[
{d^2  = x^4  + 184x^3  + 1432x^2  + 8416x + 41472}
\]$

где
$\[x=n + n^{ - 1} \]$

$\[n = m^4\]$

Ранг эл.уравнения по видимому больше нуля ( имеется рациональное не целое решение), так что толку от этого упрощения мало. :cry:

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение28.12.2015, 16:36 
Заслуженный участник


17/09/10
1617
Ранг кривой $y^2-x^4-184x^3-1432x^2-8416x-41472=0$ действительно больше нуля.
Приведу две рациональные точки на ней:
$(x,y)=\dfrac{-161}{34},\dfrac{140135}{1156}$ и

$(x,y)=\dfrac{579330369}{234866260},\dfrac{14979591321706987791}{55162160086387600}$
Поскольку рациональных точек конечного порядка, кроме $\infty$ на этой кривой нет (надо доказывать), то наличие любой рациональной точки, хотя бы и целой, означает наличие бесконечного числа рациональных точек на кривой.
А вот еще одна рациональная точка на нашей кривой
$x=\dfrac{348294194568511489}{98472043950858240}$

$y=\dfrac{3027065297975152819839908881374576641}{9696743439859756896500032575897600}$
Рациональных точек на кривой бесконечно много и для каждой точки надо проверить разрешимость в рациональных числах уравнения
$m^4+\dfrac{1}{m^4}=x$. В трех приведенных примерах оно неразрешимо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение27.04.2016, 23:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
692
10. Расширение рассмотренных аналогов до двухпараметрических

10.1. Общая часть.
Выше были рассмотрены диофантовые тригонометрические аналоги основанные на уравнении в рациональных числах
$x^2+y^2=1$

Аналогично, рассмотрим уравнение в рациональных числах
$x^2+y^2+z^2=1$
имеющее общее решение

$$\[
\left( {\frac{{2a}}{{1 + a^2  + b^2 }}} \right)^2  + \left( {\frac{{2b}}{{1 + a^2  + b^2 }}} \right)^2  + \left( {\frac{{1 - a^2  - b^2 }}{{1 + a^2  + b^2 }}} \right)^2  = 1
\]$

Обозначим
$$\[
\alpha  = a + bi,\bar \alpha  = a - bi
\]$

Тогда приведённое тождество можно записать так
$$\[
\left( {\frac{{\alpha  + \bar \alpha }}{{1 + \alpha \bar \alpha }}} \right)^2  + \left( {\frac{{ - \alpha i + \bar \alpha i}}{{1 + \alpha \bar \alpha }}} \right)^2  + \left( {\frac{{1 - \alpha \bar \alpha }}{{1 + \alpha \bar \alpha }}} \right)^2  = 1
\]$

Введём вещественные рациональные функции от комплексных чисел
$$\[
S\left( \alpha  \right) = \frac{{\alpha  + \bar \alpha }}{{1 + \alpha \bar \alpha }},S\left( { - \alpha i} \right) = \frac{{ - \alpha i + \bar \alpha i}}{{1 + \alpha \bar \alpha }},C\left( \alpha  \right) = \frac{{1 - \alpha \bar \alpha }}{{1 + \alpha \bar \alpha }}
\]$

При вещественых аргументах введённые функции совпадают с ранее рассмотреными.
$$\[
S\left( t \right) = \frac{{2t}}{{1 + t^2 }},C\left( t \right) = \frac{{1 - t^2 }}{{1 + t^2 }}
\]$

10.2. Основные соотношения.

$$\[
S^2 \left( \alpha  \right) + S^2 \left( { - \alpha i} \right) + C^2 \left( \alpha  \right) = 1
\]$

Введённые функции рационально эквивалентны
$$\[
C\left( {\frac{{1 - \alpha }}{{1 + \alpha }}} \right) = \frac{{\alpha  + \bar \alpha }}{{1 + \alpha \bar \alpha }} = S\left( \alpha  \right)
\]$

$$\[
S\left( {\frac{{1 - \alpha }}{{1 + \alpha }}} \right) = \frac{{1 - \alpha \bar \alpha }}{{1 + \alpha \bar \alpha }} = C\left( \alpha  \right)
\]$


10.3. Несколько применений введённых функций.
Рациональная эквивалентность. Для начала найдём все рациональные решения простого уравнения
$$\[x^2+y^2=a^2+b^2\]$
Обозначим
$$\[
\alpha  = a + bi,\beta  = x + yi
\]$

Имеем уравнение в рациональных комплексных числах
$$\[
\chi \bar \chi  = \alpha \bar \alpha 
\]$

Пусть для некоторого комплексного рационального $$\[\delta \]$ имеем
$$\[
\chi  = \alpha \delta  \to \bar \chi  = \bar \alpha \bar \delta 
\]$
Отсюда $$\[\delta \bar \delta  = 1\]$

Множество всех рациональных комплексных чисел удовлетворяющих этому условию это введённая ранее функция
$$\[
E\left( t \right) = \frac{{1 - t^2 }}{{1 + t^2 }} + \frac{{2t}}{{1 + t^2 }}i = C_t  + S_t i
\]$

Окончательно получим
$$\[
{\chi  = \alpha E\left( t \right),\bar \chi  = \bar \alpha \bar E\left( t \right) = \bar \alpha E\left( { - t} \right)}
\]$
$$\[
x = a\frac{{1 - t^2 }}{{1 + t^2 }} - b\frac{{2t}}{{1 + t^2 }},y = a\frac{{2t}}{{1 + t^2 }} + b\frac{{1 - t^2 }}{{1 + t^2 }}
\]$

Перейдём к рациональной эквивалентности. Нужно решить в рациональных числах уравнение
$$\[
\frac{{2a}}{{1 + a^2  + b^2 }} = \frac{{1 - x^2  - y^2 }}{{1 + x^2  + y^2 }}
\]$

Или
$$\[
S\left( \alpha  \right) = C\left( \chi  \right) \to \alpha  = a + bi,\chi  = x + yi
\]$

$$\[
\frac{{\alpha  + \bar \alpha }}{{1 + \alpha \bar \alpha }} = \frac{{1 - \chi \bar \chi }}{{1 + \chi \bar \chi }}
\]$

$$\[
\chi \bar \chi  = \frac{{\left( {1 + \alpha \bar \alpha } \right) - \left( {\alpha  + \bar \alpha } \right)}}{{\left( {1 + \alpha \bar \alpha } \right) + \left( {\alpha  + \bar \alpha } \right)}} = \frac{{\left( {1 - \alpha } \right)\left( {1 - \bar \alpha } \right)}}{{\left( {1 + \alpha } \right)\left( {1 + \bar \alpha } \right)}}
\]$

Отсюда
$$\[
{\chi  = \frac{{1 - \alpha }}{{1 + \alpha }}E\left( t \right)}
\]$
$$\[t\]$ - любое рациональное число. При $$\[t=0\]$ получим
$$\[
x = \frac{{1 - a^2  - b^2 }}{{\left( {1 + a} \right)^2  + b^2 }},y = \frac{{ - 2b}}{{\left( {1 + a} \right)^2  + b^2 }}
\]$

Аналогично и обратное преобразование.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение29.04.2016, 00:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
692
Продолжим.
Есть интересное соотношение
$$\[
C^2 \left( \alpha  \right) = C\left( \beta  \right)
\]$
для некоторого $$\[\beta\]$

$$\[
C^2 \left( \alpha  \right) = \left( {\frac{{1 - \alpha \bar \alpha }}{{1 + \alpha \bar \alpha }}} \right)^2  = \frac{{1 - \frac{{2\alpha \bar \alpha }}{{1 + \alpha ^2 \bar \alpha ^2 }}}}{{1 + \frac{{2\alpha \bar \alpha }}{{1 + \alpha ^2 \bar \alpha ^2 }}}}
\]$

$$\[
\frac{{2\alpha \bar \alpha }}{{1 + \alpha ^2 \bar \alpha ^2 }} = \left( {\frac{{\left( {1 + i} \right)\alpha }}{{1 + \alpha \bar \alpha i}}} \right)\left( {\frac{{\left( {1 - i} \right)\bar \alpha }}{{1 - \alpha \bar \alpha i}}} \right)
\]$

$$\[
\beta  = \frac{{\left( {1 + i} \right)\alpha }}{{1 + \alpha \bar \alpha i}}E\left( t \right)
\]$
где $$t$ - любое рациональное число.
Отсюда следует

$$\[
C^{2^k } \left( {\alpha _0 } \right) = C\left( {\alpha _k } \right) \to \alpha _{k + 1}  = \frac{{\left( {1 + i} \right)\alpha _k }}{{1 + \alpha _k \bar \alpha _k i}}
\]$

А это означает, что уравнение

$$\[
x^2  + y^2  + z^{2^k }  = 1
\]$
имеет двухпараметрическое рациональное решение для любого натурального $$k$

$$\[
C^2 \left( {\alpha _0 } \right) = C\left( {\frac{{\left( {1 + i} \right)\alpha _0 }}{{1 + \alpha _0 \bar \alpha _0 i}}} \right) = C\left( {\alpha _1 } \right)
\]$

$$\[
C^{2^k } \left( {\alpha _0 } \right) = C\left( {\alpha _k } \right) \to \alpha _{k + 1}  = \frac{{\left( {1 + i} \right)\alpha _k }}{{1 + \alpha _k \bar \alpha _k i}}
\]$

Так как

$$\[
S^2 \left( {\alpha _{k - 1} } \right) + S^2 \left( { - \alpha _{k - 1} i} \right) + C^2 \left( {\alpha _{k - 1} } \right) = 1
\]$

то

$$\[
S^2 \left( {\alpha _{k - 1} } \right) + S^2 \left( { - \alpha _{k - 1} i} \right) + C^{2^k } \left( {\alpha _0 } \right) = 1
\]$

где

$$\[
\alpha _{k - 1}  = \frac{{\left( {1 + i} \right)\alpha _{k - 2} }}{{1 + \alpha _{k - 2} \bar \alpha _{k - 2} i}}
\]$

а $$\[{\alpha _0 }\]$ - любое рациональное комплексное число.

p.s.
Я нигде не отметил, что под рациональным комплексным числом я имею ввиду комплексное число с рациональными вещественными и мнимыми частями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение29.04.2016, 21:44 
Заслуженный участник


10/01/16
1348
scwec в сообщении #728382 писал(а):
Вы точно, не издеваетесть? А очень похоже.

Да вроде нет. Может, шутит...
Просто ТС использовал универсальную тригонометрическую подстановку, назвал синус СИНУСом, и т.д., и стало хорошо...
И всё захорошело...
Но приложения в ТЧ - интересно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение21.05.2017, 02:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
692
О решении одной системы двух эллиптических кривых.

Она встречается в задаче о рациональной точке в квадрате, расстояния которой до вершин квадрата рациональны.
Рассмотрим систему двух эллиптических кривых.

$\[
\left\{ \begin{array}{l}
 t^2  = \left( {x + a} \right)^2  + \left( {y + b} \right)^2  \\ 
 z^2  = \left( {x + c} \right)^2  + \left( {y + d} \right)^2  \\ 
 \end{array} \right.
\]$

где $a,b,c,d$ заданные рациональные числа.

Если вычесть из первого уравнения второе, а из полученного уравнения найти $x$ и вставить его в первое уравнение, то придётся решать очень "тяжёлое" диофантовое уравнение от трёх переменных.

$$\[
\left( {\frac{{t^2  - z^2  - 2\left( {b - d} \right)y - \left( {a^2  + b^2  - c^2  - d^2 } \right)}}{{2\left( {a - c} \right)}} + a} \right)^2  + \left( {y + b} \right)^2  = t^2 
\]$

Здесь я покажу очень простой метод решения этой системы.

Для начала приведу необходимое для решения утверждение.

Если для рациональных чисел выполняется $\[a^2  + b^2  = c^2\]$, то существует единственное $h$, что

$$\[
a = c\frac{{1 - h^2 }}{{1 + h^2 }},b = c\frac{{2h}}{{1 + h^2 }}
\]$

и

$$\[
a + bi = c\left( {\frac{{1 - h^2 }}{{1 + h^2 }} + \frac{{2h}}{{1 + h^2 }}i} \right)
\]$

где $i$ мнимая единица.

Напомню обозначения

$$\[
C_h  = \frac{{1 - h^2 }}{{1 + h^2 }},S_h  = \frac{{2h}}{{1 + h^2 }}
\]$

Из начальных уравнений получим систему двух уравнений в комплексных числах

$$\[
\left\{ \begin{array}{l}
 \left( {x + a} \right) + \left( {y + b} \right)i = t\left( {C_m  + S_m i} \right) \\ 
 \left( {x + c} \right) + \left( {y + d} \right)i = z\left( {C_n  + S_n i} \right) \\ 
 \end{array} \right.
\]$

где $m,n$ любые рациональные числа
Вычтем из первого уравнения второе

$$\[
\left( {a - c} \right) + \left( {b - d} \right)i = \left( {tC_m  - zC_n } \right) + \left( {tS_m  - zS_n } \right)i
\]$

Приравняем мнимые и вещественные части

$$\[
\left\{ \begin{array}{l}
 tC_m  - zC_n  = a - c \\ 
 tS_m  - zS_n  = b - d \\ 
 \end{array} \right.
\]$

Отсюда находим

$$\[
{t = \frac{{\left( {b - d} \right)C_n  - \left( {a - c} \right)S_n }}{{S_m C_n  - C_m S_n }},z = \frac{{\left( {b - d} \right)C_m  - \left( {a - c} \right)S_m }}{{S_m C_n  - C_m S_n }}}
\]$

Подставив $t$ в первое уравнение, и опять приравняв мнимые и вещественные, части находим $x,y$

$$\[
x = tC_m  - a = \frac{{cC_m S_n  - aS_m C_n  + \left( {b - d} \right)C_m C_n }}{{S_m C_n  - C_m S_n }}
\]$

$$\[
y = tS_m  - b = \frac{{bC_m S_n  - dS_m C_n  - \left( {a - c} \right)S_m S_n }}{{S_m C_n  - C_m S_n }}
\]$

Заменив введённые функции их значениями получим решение системы от двух переменных $m,n$
Приводить значения переменных $x,y,t,z$ не буду из-за их громоздкости. Приведу код для PARI.
Код:
{
C_m=(1-m^2)/(1+m^2);
S_m=2*m/(1+m^2);
C_n=(1-n^2)/(1+n^2);
S_n=2*n/(1+n^2);
h=(S_m*C_n-C_m*S_n);
t=((b-d)*C_n-(a-c)*S_n)/h;
z=((b-d)*C_m-(a-c)*S_m)/h;
x=t*C_m-a;
y=t*S_m-b;
}

(x+a)^2+(y+b)^2-t^2
(x+c)^2+(y+d)^2-z^2

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение21.07.2017, 16:49 
Аватара пользователя


23/07/07
95
Коровьев в сообщении #1043278 писал(а):
Наряду с диофантовыми аналогами тригонометрических функций можно рассмотреть и их обратные функции.
Правда, куда их приткнуть практически, я не нашёл.

Не знаю насколько будет востребовано, но обратные функции можно представить непрерывными дробями:

$
S\left(x\right)=a;\quad x=AS\left(a\right)\\
\left|a\right|<1,\quad x=\cfrac{1}{\cfrac{2}{a}-\cfrac{1}{\cfrac{2}{a}-\cfrac{1}{\cfrac{2}{a}-\ldots}}};\quad
\left|a\right|>1,\quad x=\cfrac{2}{a}-\cfrac{1}{\cfrac{2}{a}-\cfrac{1}{\cfrac{2}{a}-\cfrac{1}{\cfrac{2}{a}-\ldots}}}
$

$
T\left(x\right)=a;\quad x=AT\left(a\right)\\
\left|a\right|<1,\quad x=-\cfrac{1}{\cfrac{2}{a}+\cfrac{1}{\cfrac{2}{a}+\cfrac{1}{\cfrac{2}{a}+\ldots}}};\quad
\left|a\right|>1,\quad x=\cfrac{2}{a}+\cfrac{1}{\cfrac{2}{a}+\cfrac{1}{\cfrac{2}{a}+\cfrac{1}{\cfrac{2}{a}+\ldots}}}
$

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение23.07.2017, 14:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
692
Singular
Мне видится, что востребованность может появится, когда найдутся некие свойства такого представления, позволяющие решить отдельные частные задачи на непрерывные дроби. Но мне на ум ничего не приходит. Слишком мало свойств у обратных функций.
Вот тождество для двух аналогов обратных функций от одного аргумента

$$\[
\frac{{AS\left( x \right) + AC\left( x \right)}}{{1 - AS\left( x \right) \cdot AC\left( x \right)}} \equiv 1 \
\]$$

Что из него можно вывести? Пожалуй только то, что если известна одна функция, то можно найти и другую.
Но если функции заданы в непрерывных дробях, то можно, к примеру, поставить такую задачу - "Доказать тождество...". Не думаю, что её можно будет просто решить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовые уравнения и тригонометрия.
Сообщение24.08.2017, 19:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
692
Господа, предыдущую мою задачу - найти рациональные решения системы

$$\[
\left\{ \begin{array}{l}

 t^2  = \left( {x + a} \right)^2  + \left( {y + b} \right)^2  \\ 
 z^2  = \left( {x + c} \right)^2  + \left( {y + d} \right)^2  \\ 
 \end{array} \right.
\]
$

можно решить совсем просто, не выходя в комплексную область, воспользовавшись лишь следующим утверждением:
Если в рациональных числах выполняется

$\[
1 + a^2  = r^2 
\]$

то существует единственное $h$ такое, что

$$\[
a = \frac{{2h}}{{1 - h^2 }} = T_h 
\]
$

Из исходной системы следует

$$\[
\frac{{x + a}}{{y + b}} = T_k ,\frac{{x + c}}{{y + d}} = T_t 
\]
$

отсюда получаем систему

$\[
\left\{ \begin{array}{l}
 x - yT_k  = bT_k  - a \\ 
 x - yT_t  = dT_t  - c \\ 
 \end{array} \right.
\]
$

Решая её окончательно получим двухпараметрическое решение

$$\[
x = \frac{{\left( {d-b} \right)T_k T_t  - cT_k  + aT_t }}{{T_k  - T_t }},y = \frac{{\left( {a - c} \right) + dT_t  - bT_k }}{{T_k  - T_t }}
\]
$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 41 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group