Черная дыра: в ней нет материи, но как быть с зарядом?

[realeugene]

svv в сообщении #1221257 писал(а):

В ОТО наше уравнение имеет вид $\nabla_\nu F^{\mu\nu}=k j^\mu$ (где $k$ — константа, зависящая от). В левой части — ковариантная дивергенция тензора, то есть вектор, то есть тензор ранга 1 и веса 0. Значит, и вес правой части 0. (Собственно, на этом можно закончить.)

В Википедии уравнения выглядят немного иначе: https://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell%2 ... me#Summary

Впрочем, да, в результате это одно то же.

В общем, всё понятно. Ваш четырехток, просто, отличается от определения в Википедии и в ЛЛ2 если я ещё правильно помню. Там-то была неинвариантная объёмная плотность заряда, которая имеет вес 1. И она к 3-форме преобразуется не звездой Ходжа, а похожим выражением, но без хрени.

[svv]

Ага, это как раз «формулировка в терминах тензорных плотностей» (post1221282.html#p1221282). Что сказать, ни Ландау-Лифшиц, ни Мизнер-Торн-Уилер, ни Лайтман-Пресс-Прайс-Тюкольски, ни Синг так не делают. Все они пишут уравнения Максвелла в искривлённом пространстве через обычные тензоры, без тензорных плотностей/емкостей. Вайнберг приводит обе формы уравнений, но определение тока у него всё-таки «нормальное». Нравится такое больше — пожалуйста, используйте.

[Munin]

svv в сообщении #1221318 писал(а):

Вообще, инвариантная формулировка. Берём три пространственноподобных вектора $a, b, c$. Через образованный ими 3-параллелепипед проходит заряд $Q$.

Ну и всё. Незачем ещё что-то городить. У вас уже есть ковариантная 3-форма (именно плотность нужного веса) $\mathsf{J}(a,b,c).$ И даже пространственноподобность векторов не нужна.

[svv]

Нет, у меня красивее (я начал со слов эстетическое замечание).

svv в сообщении #1221318 писал(а):

Берём три пространственноподобных вектора $a, b, c$. Через образованный ими 3-параллелепипед проходит заряд $Q$. Пусть вектор 4-скорости заряда $u$. Строим на векторах $u,a,b,c$ 4-параллелепипед, находим его 4-объём $\Omega$. Инвариантная плотность равна $Q/\Omega$.

Отсюда следует, что $Q=\rho \,\Omega(u, a, b, c)=\Omega(j, a, b, c)$. Здесь $j$ в моём (со перечисленные выше товарищи) смысле.
Введём 3-форму $\mathsf J=\Omega(j,\cdot ,\cdot ,\cdot)$ (согласно этому определению, она дуальна вектору $j$). Тогда $Q=\mathsf J(a,b,c)$. Это значит, что заряд, проходящий через гиперповерхность, равен интегралу от формы $\mathsf J$ по гиперповерхности. И никаких плотностей (в компонентах вес $+1$ у $\sqrt{|g|}$ компенсируется весом $-1$ символа Леви-Чивита).

Пространственноподобность, верно, не нужна.

[Munin]

А, понял, вы слово плотность используете в другом смысле. Для меня $n$-форма есть плотность (пример - плотность заряда в 3-мерной электростатике). Для вас - нет.

Ну в общем, не вижу ничего плохого в том, чтобы именно $\mathsf{J}$ называть плотностью тока. Она естественна и лаконична, однозначна, несёт 3 нижних индекса. А споры начинаются там, где от неё берётся дуальный объект: то ли у него 1 нижний индекс, то ли 1 верхний, и какие множители в него входят... это уже спор о словах.

[schekn]

realeugene в сообщении #1220850 писал(а):

Про "стадию коллапса" пока что ещё не читал.

Erleker в сообщении #1220900 писал(а):

Есть решение Толмена, например.В ЛЛ-2 тоже описывается.Коллапс пылевидной сферы называется, вроде.

В учебниках описывается процесс коллапса (задача Оппенгеймера-Снайдера) для нейтральных пробных частиц в сферически-симметричном облаке. Если частицы имеют спин или заряд, что видимо интересует ТС, то задача усложняется, а они падают не по геодезически и в строго синхронных координатах ее не решить. Здесь могут быть 2 сорта задач: коллапс однородно заряженных частиц и коллапс нейтральных частиц в электростатическом поле ( с точки зрения удаленного наблюдателя), когда в центре есть заряженное ядро. В обоих случаях в правой части уравнений Эйнштейна кроме ТЭИ с плотностью нужно добавить тензор энергии импульса электромагнитного поля. Я не видел решений этих задач, но наверное они существуют. В одной свежей , но непроверенной статье по этой теме, утверждается, что сильной сингулярности в таком случае не образуется. Что будет , когда такое вещество пересекает горизонт, мне самому интересно.

[SergeyGubanov]

Erleker в сообщении #1220122 писал(а):

SergeyGubanov И в чем будет разница?

Разница будет в том случае, если заряженные частицы "насыпали" после коллапса (то есть когда изначального заряда не было).

В случае метрики $ds^2_{+}$ падающие заряженные частицы свободно пересекут сферу $r = r_g$ и упадут внутрь. Заряд будет внутри.

В случае метрики $ds^2_{-}$ падающие заряженные частицы не смогут пересечь сферу $r = r_g$ и попасть внутрь. Заряд будет размазан по сфере $r = r_g$.

Разумеется сам $r_g$ зависит от заряда.

$$ \frac{2 \kappa M}{r_g} - \frac{\kappa Q^2}{r^2_g} + \frac{4}{9} \lambda^2 r^2_g = 1 $$

[wrest]

SergeyGubanov в сообщении #1221498 писал(а):

В случае метрики $ds^2_{-}$ падающие заряженные частицы не смогут пересечь сферу $r = r_g$ и попасть внутрь. Заряд будет размазан по сфере $r = r_g$.

А сколько времени будет занимать его размазывание?
А, или горизонт будет типа поверхности проводника и заряд растечется по горизонту как если бы горизонт был, скажем, металлический?

Про электроны спрашивать даже боюсь -- если дыра не заряжена и падает один электрон -- он тоже "размажется"?

[svv]

Munin в сообщении #1221429 писал(а):

А, понял, вы слово плотность используете в другом смысле.

Да, верно, в смысле — тензор веса +1, у которого в законе преобразования компонент стоит якобиан $\frac{D(x)}{D(\tilde x)}$.

[SergeyGubanov]

wrest, строго говоря "размазывание" асимптотическое, то есть время бесконечное, но практически через время порядка $r_g / c$ отличие полностью размазанного от не полностью размазанного будет незначительным.

Да, должен бы "размазаться" даже один электрон (если учесть, что он описывается полем Дирака $\psi(x^{\mu})$).

[Munin]

wrest в сообщении #1221501 писал(а):

Про электроны спрашивать даже боюсь

Лучше бы вы про всё спрашивать боялись. Тема явно выше вашего уровня знаний.

-- 02.06.2017 14:59:28 --

На самом деле, происходит не "размазывание", а "прилипание". Поперечные размеры тела не увеличиваются: с чего бы им? Если же у волны (дираковской) сильно увеличатся поперечные размеры, то она сможет уйти от чёрной дыры наружу - испариться.

[realeugene]

SergeyGubanov в сообщении #1221498 писал(а):

В случае метрики $ds^2_{+}$ падающие заряженные частицы свободно пересекут сферу $r = r_g$ и упадут внутрь. Заряд будет внутри.

Но если падает в дыру фонарик, внешний наблюдатель будет его видеть бесконечно долго (хоть и экспоненциально гаснущим), или существуют решения, в которых свет от фонарика полностью исчезает за конечное время?

[wrest]

Munin в сообщении #1221514 писал(а):

На самом деле, происходит не "размазывание", а "прилипание". Поперечные размеры тела не увеличиваются: с чего бы им?

Неразмазывание означало бы покрытие горизонта ЧД "волосами", не так ли?
И потом, они же "прилипают" при этом становясь пленкой планковской толщины?

[Munin]

realeugene в сообщении #1221519 писал(а):

Но если падает в дыру фонарик, внешний наблюдатель будет его видеть бесконечно долго (хоть и экспоненциально гаснущим), или существуют решения, в которых свет от фонарика полностью исчезает за конечное время?

Первое. Если фонарик не выключается от удара об горизонт.

-- 02.06.2017 15:55:23 --

wrest в сообщении #1221522 писал(а):

Неразмазывание означало бы покрытие горизонта ЧД "волосами", не так ли?

Нет, не так. "Волосы" - это другое. Я же вам говорю, эта тема не для вас.

[SergeyGubanov]

realeugene, да, снаружи будут видеть "бесконечно долго" в любом случае. То есть внешний наблюдатель (пока сам туда не прыгнет) так и не сможет узнать что же перед ним "на самом деле" чёрная $ds^2_{+}$ или белая $ds^2_{-}$ дыра.