Как понимать диффренциальное уравнение?

[andrey1782]

Здравствуйте,

Вопрос следующий.

Из теории разностных схем известно, что в зависимости от того, как я буду аппроксимировать правую часть систему дифференциальных уравнений (явным , неявным или симметричны образом) , то я буду получать разные ответы, причём если схемы несимметрична, то соотношение для дисбалансов интегралов движения (к примеру энергии системы \Теория разностных схем. Самарский А.А. ) будут пропорциональны на каждом шаге ($\tau=T/N$ ) величине $O(\tau)$, соответственно после прохождения $N$ шагов я вообще говоря получаю неустранимую (измельчением шага) ошибку. То есть решение систему оду, будет в пределе измельчения разбиения зависеть от того, как я аппроксимирую значение функций в узлах разбиения.

Следовательно, когда я записываю оду я должен дополнительно его доопределять неким правилом вычисления. Причём только симметричная схема обеспечивает выполнения законов сохранения полностью, а вот явная схема полностью соответствующая принципу причинности не удовлетворят законам сохранения.
Это конечно не относится к одному дифф-уравнению первого порядка.

Вообще говоря, наличие этого дополнительно правила (симметричности) меня несколько смущает, так как предел, казалось бы, не должно зависеть от способа разбиения база и аппроксимации функций на нём. И как всё это соотносится с принципом причинности?
Хотелось бы прояснить этот вопрос с отсылкой к классике.

[Red_Herring]

andrey1782 в сообщении #1207580 писал(а):

Следовательно, когда я записываю оду я должен дополнительно его доопределять неким правилом вычисления.

Нет. Разностные схемы всего лишь один из способов численного решения ОДУ и не имеют никакого значения для понимания ОДУ (или УЧП).

[Lia]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[andrey1782]

Red_Herring в сообщении #1207641 писал(а):

andrey1782 в сообщении #1207580 писал(а):

Следовательно, когда я записываю оду я должен дополнительно его доопределять неким правилом вычисления.

Нет. Разностные схемы всего лишь один из способов численного решения ОДУ и не имеют никакого значения для понимания ОДУ (или УЧП).

Мне казалось, что ОДУ (или УЧП) нужно как раз понимать как предел некой разностно-конечных аппроксимаций,так как понимают и производные через которые записываются ОДУ (или УЧП).
Для примера можно взять уравнения одномерного гармонического осциллятора и апроксимировать его по явной схеме и по симметричной и увидеть, что в пределе $\tau=0$ для явной схемы энергия уже не константа, а в симметричной всё нормально.

[Red_Herring]

andrey1782 в сообщении #1207884 писал(а):

нужно как раз понимать

Можно, но не нужно.

[andrey1782]

Red_Herring в сообщении #1207896 писал(а):

andrey1782 в сообщении #1207884 писал(а):

нужно как раз понимать

Можно, но не нужно.

1) Если можно поподробнее. Про какую альтернативу Вы говорите?

2) Даже если только "можно", то вопрос о "независимости результата от способа перехода к пределу" не снимается.

[Red_Herring]

andrey1782 в сообщении #1207900 писал(а):

1) Если можно поподробнее. Про какую альтернативу Вы говорите?

2) Даже если только "можно", то вопрос о "независимости результата от способа перехода к пределу" не снимается.

1) Ду это ДУ, а не "предел гадостных схем". Возьмите любой учебник по ОДУ и УЧП, хотя бы того же Тихонова и Самарского (который написал Тихонов, исключая главу про разностные схемы, которую писал Самарский, и которая производит впечатление полного бреда), и нигде уравнения так не трактуются. Учите сначала ДУ, а потом разностные схемы.

2) ТАкой вопрос не снимается потому что он не ставится. Иначе бы ставилось ещё много вопросов: например, зависимость от сетки. Предел, если он есть, не зависит от способа перехода к нему. А если зависит, то его нет.

[andrey1782]

Red_Herring в сообщении #1207913 писал(а):

andrey1782 в сообщении #1207900 писал(а):

1) Если можно поподробнее. Про какую альтернативу Вы говорите?

2) Даже если только "можно", то вопрос о "независимости результата от способа перехода к пределу" не снимается.

1) Ду это ДУ, а не "предел гадостных схем". Возьмите любой учебник по ОДУ и УЧП, хотя бы того же Тихонова и Самарского (который написал Тихонов, исключая главу про разностные схемы, которую писал Самарский, и которая производит впечатление полного бреда), и нигде уравнения так не трактуются. Учите сначала ДУ, а потом разностные схемы.

2) ТАкой вопрос не снимается потому что он не ставится. Иначе бы ставилось ещё много вопросов: например, зависимость от сетки. Предел, если он есть, не зависит от способа перехода к нему. А если зависит, то его нет.

1) В учебнике нет как такового определение как ДУ из первооснов. А вообще всё сводится к такому определению:
http://mathemlib.ru/mathenc/item/f00/s0 ... ndex.shtml

но это определение включает определение производной:

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1 ... 0%B8%D0%B8.

Которое, опять же, определяется через предел разности.

2)" Предел, если он есть, не зависит от способа перехода к нему. А если зависит, то его нет". Вот в этом мой вопрос и есть! Как понимать ДУ? Как предел какой разности? Дело в том, что в одном уравнение первого порядка такой проблемы нет, независимо от способа выбора построения интегральных сумм я получаю в пределе один и тот же результат (можно посмотреть любой учебник). В уравнение второго порядка уже не так, и следовательно дифференциальные уравнения не определённое понятие, такое же как континуальный интеграл, требующий доопределения.

Меня самого это крайне смущает. Но в чём дело я понять пока не могу.

[Red_Herring]

andrey1782 в сообщении #1207922 писал(а):

В учебнике нет как такового определение как ДУ из первооснов.

1) О каком учебнике идет речь? Если об учебнике по разностным схемам, то его надо читать только после того, как выучите соответствующую теорию без разностных схем.

2) Производные можно понимать как предел отношений. Но это только вначале. Дело в том, что в конечных разностях нет сколь-нибудь разумной замены переменных. Т.е. подходя к уравнениям производные следует понимать как данность.

А уж интегральные суммы взялись совсем от фонаря. Дело в том, что аппроксимируя основной объект - ДУ объектом вторичным - разностной схемой, и потом решая её, мы если схема неустойчива, получим отнюдь не аппроксимацию решения.

[Mikhail_K]

andrey1782 в сообщении #1207922 писал(а):

но это определение включает определение производной... Которое, опять же, определяется через предел разности.

Ну да, производная определяется через предел разностей, решение диф.уравнения определяется через производную. Однако отсюда НЕ следует, что решение диф.уравнения надо определять через разности. Может, решение диф.уравнения и определяется в конечном итоге через разности, но не напрямую, а через понятие производной.

[Red_Herring]

Mikhail_K в сообщении #1208001 писал(а):

Ну да, производная определяется через предел разностей,

Но только для регулярных функций

[Brukvalub]

Производная получается как результат предельного перехода. Интересно, а какая разностная схема в точности моделирует этот предельный переход?

[warlock66613]

Brukvalub в сообщении #1208044 писал(а):

Интересно, а какая разностная схема в точности моделирует этот предельный переход?

Для начала надо определить хотя бы просто производную второго порядка как результат предельного перехода.

[Red_Herring]

warlock66613 в сообщении #1208069 писал(а):

Для начала надо определить хотя бы просто производную второго порядка как результат предельного перехода.

ТС это знает, скорее всего.