Как понимать диффренциальное уравнение?

[andrey1782]

Mikhail_K в сообщении #1208001 писал(а):

andrey1782 в сообщении #1207922 писал(а):

но это определение включает определение производной... Которое, опять же, определяется через предел разности.

Ну да, производная определяется через предел разностей, решение диф.уравнения определяется через производную. Однако отсюда НЕ следует, что решение диф.уравнения надо определять через разности. Может, решение диф.уравнения и определяется в конечном итоге через разности, но не напрямую, а через понятие производной.

Другим словами операции перехода к пределу для разностной схемы и нахождения её решения(интегрирования) не коммутируют в общем случае разностной схемы !?

Требование коммутации выделяет набор разностных схем которые мы и называем сходящимеся к решением ОДУ.

в случае уравнения

$\dot{x}=f(t)$

Любая разностная схема удовлетсворяет этому требованию. То есть я могу понимать под решением данного ДУ такую функцию, которая просле подстановки в это уравнение обращает его в тождество, а могу понимать решение как

$x=\int{f(t)}$.

Где интеграл строго понимается в смысле предела разностных схем, естествено независящим от способа разбиения.
В случае уравнений вида

$\dot{\vec{x}}=f(\vec{x},t)$

Это не так.

[Munin]

andrey1782 в сообщении #1208104 писал(а):

Другим словами операции перехода к пределу для разностной схемы и нахождения её решения(интегрирования) не коммутируют в общем случае разностной схемы !?

Да.

Разностные схемы - это численный метод. У него есть погрешность. Вот в пределах этой погрешности и добиваются коммутирования. А точного коммутирования желать напрасно.