Примеры механических систем

[thper]

Приведите, пожалуйста, примеры мех. систем, в которых помимо основных трех интегралов движения, кот. связаны со свойствами пространства - однородностью и изотропией - имеют еще какие-то сохраняющиеся в этом смысле величины.

[Metford]

thper в сообщении #1200128 писал(а):

Приведите, пожалуйста, примеры мех. систем, в которых помимо основных трех интегралов движения, кот. связаны со свойствами пространства - однородностью и изотропией - имеют еще какие-то сохраняющиеся в этом смысле величины.

Строго говоря, их не три... Подойдёт движение частицы в кулоновском поле? Там ещё есть вектор Лапласа. У Ландау он упомянут в связи с задачей Кеплера.

[profrotter]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
Причина переноса: Отсутствуют собственные попытки решения задачи.

(Подробно)

Forum Administration в сообщении #27356 писал(а):

I. Нарушения и санкции
1) Нарушением считается:
г) Поиск халявы в отношении учебных задач и вопросов; публикация полных готовых решений учебных задач (см. п. III-2); вынесение на обсуждение задач еще не прошедших он-лайн и заочных олимпиад.

Приведите собственные содержательные попытки решения задачи и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума

[thper]

Вопрос к тому 1:
"Число независимых интегралов движения для замкнутой механической системы с s степенями свободы равно 2s-1...Среди них есть несколько, постоянство которых имеет весьма глубокое происхождение, связанное с основными свойствами пространства и времени - их однородностью и изотропией".
Прошу привести примеры задач или мех. систем, в которых можно продемонстрировать наличие, помимо трех наиболее важных интегралов движения, еще несколько, которые имеют место быть и которые не связаны с основными свойствами пространства и времени.
Благодарю за ответы.

[Munin]

Классика: кеплеровское движение и его интеграл - "вектор Лапласа".

[Metford]

Самое смешное, что этот вопрос уже был задан раньше - и на него был дан ровно такой же ответ. Интересно, что будет дальше...

[fred1996]

Мне кажется, пусть меня поправят знатоки, что интегралы движения и степени свобод системы, это в известном смысле синонимы.
Просло очень часто их удобно логически разделить.
В некоторых системах связи достаточно прозрачны и мы их можем сразу отметить и таким образом уменьшить степени свободы.
Интегралы движения, это ведь некие константы. Это может быть энергия системы, или всевозможные обобщеные импульсы. Которые мы вполне могли назвать связями в системе. Но например жесткие связи в системе, фиксирующие какие-то расстояния, это тоже константы движения, хоть и очевидные, и мы их традиционно называем связями. Хотя это очевидно интегралы движеия типа $\left\lvert\vec{r_1}-\vec{r_2}\right\rvert=C$

Есть ведь и менее очевидные связи. Например в задачах на несколько вращающихся блоков с подвешенными грузами интегралом движения оказывается длина нити, связывающая все блоки.
Короче, если у нас есть система из $n$ дифференциальных уравнений второго порядка. Его решение в общем виде будет содержать $2n$ констант, которые мы смело можем обозвать константами движения. Потому что любые другие константы движения могут быть выражены через них какими-то функциональными соотношениями.
А в конечном итоге эти константы могут быть выражены например через начальные координаты и импульсы (скорости) системы.
И тогда эти начальные параметры мы можем обозвать интегралами движения.
Просто пока мы в явном виде не получили решение, мы не знаем какая конкретная функциональная связь этого решения с начальными параметрами.
Но, выражаясь математическим языком, начальные параметры плюс система дифуров в принципе уже задают нам однозначное решение. Поэтому логически и сами являются решениями. Просто по разным причинам нас это решение может не удовлетворить.
Я имею ввиду нас - преподавателей. :).
Потому что с физической точки зрения мы задачу решили. В физике правильная постановка задачи - это и есть решение. Математика лишь может это решение тождественно преобразовать, не потеряв, а иногда и потеряв по пути часть информации.

Ну а задача Кеплера это хороший пример того, как в конкретной задаче можно отыскать дополнительный интеграл движения ( дополнительный к каноническим).
Повторюсь. Каждая конкретная задача имеет свои дополнительные интегралы движения.

[profrotter]

thper, замечание за дублирование темы из карантина.