Магистр Йода

[frankenstein]

Добрый день!
Данную тему я открыл чисто для себя. Сейчас это маленький текст с планом. Надеюсь через месяца 2 данная тема разбухнет
в историю о том как я подготовился к поступлению в Магистратуру. Пишу я очень скучно, поэтому не ждите здесь ничего интересного.
Итак начнем,
План. Прокачаться по всему этому:

Разделы программы:

(A) Алгебра и геометрия
1. Матрицы и действия с ними. Определители, их свойства. Критерий обратимости матрицы. Теорема Крамера.
2. Линейная зависимость и независимость систем векторов. Линейная оболочка системы векторов. Подпространства. Базис и размерность. Замена
базиса. Сумма и пересечение подпространств. Ранг матрицы, теорема о ранге. Элементарные преобразования матриц.
3. Пространство решений однородной системы линейных уравнений. Критерий совместности СЛУ и строение общего решения совместной СЛУ.
4. Линейные отображения. Матрица линейного оператора в базисе. Ядро и образ линейного оператора. Собственные значения и собственные
векторы линейного оператора. Корневое разложение. Жорданов базис. Жорданова форма матрицы линейного оператора.
5. Евклидовы пространства. Процесс ортогонализации. Ортонормированный базис. Самосопряженные (симметрические) операторы и их свойства.
6. Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к главным осям. Преобразование уравнений кривых и поверхностей второго порядка к
каноническому виду.
ЛИТЕРАТУРА
Алгебра
1. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М.: Физматгиз, 1959.
2. Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М.: Наука. 1975.
3. Кострикин А. И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.
4. Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М., 1984.
5. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука. 1976.

(B) Математический анализ
1. Непрерывные функции одной переменной и их свойства. Равномерная непрерывность. Дифференцируемые функции и их свойства. Правила
Лопиталя. Формула Тейлора. Локальный экстремум.
2. Определенный интеграл Римана по отрезку. Интегрируемость непрерывных функций. Первообразная непрерывной функции. Формула
Ньютона – Лейбница.
3. Функции многих переменных. Функции, непрерывные на компакте. Равномерная непрерывность. Дифференцируемые функции нескольких
переменных. Достаточное условие дифференцируемости. Локальный экстремум. Неявные функции; существование, непрерывность и
дифференцируемость неявных функций. Условный локальный экстремум.
4. Числовые ряды. Сходимость рядов. Критерий сходимости Коши. Признаки Даламбера и Коши сходимости ряда. Абсолютная и условная
сходимость.
5. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов (непрерывность суммы,
почленное интегрирование и дифференцирование).
6. Степенные ряды на действительной прямой и в комплексной плоскости. Радиус сходимости. Бесконечная дифференцируемость суммы
степенного ряда; ряд Тейлора. Разложение элементарных функций в степенные ряды.
7. Несобственные интегралы. Собственные и несобственные интегралы, зависящие от параметра. Свойства равномерно сходящихся несобственных
интегралов.
8. Кратные интегралы. Сведение к повторным. Замена переменных в кратных интегралах.
9. Криволинейные и поверхностные интегралы. Формулы Грина, Стокса и Гаусса – Остроградского.
10. Ряды Фурье по тригонометрической системе.
ЛИТЕРАТУРА
Математический анализ
1. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ: Начальный курс. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1985.
2. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ: Продолжение курса. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987.
3. Никольский С. М. Курс математического анализа: В 2-х т. М.: Наука, 1990–1991. Т. 1, 2.
4. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа: В 3-х т. М.: Высшая школа, 1988–1989. Т. 1–3.
5. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3-х т. М.: Наука. 1970. Т. 1–3.

(C) Дифференциальные уравнения
1. Задача Коши для уравнений n-го порядка и систем. Теорема существования и единственности решения задачи Коши (Доказательство для
уравнений первого порядка).
2. Решение уравнений первого порядка: с разделяющимися переменными, линейных, Бернулли, в полных дифференциалах.
3. Решение линейных уравнений n-го порядка. Теорема об общем решении линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами
(случай простых корней с доказательством, случай кратных корней без доказательства). Метод вариации произвольных постоянных. Решение
неоднородных уравнений с квазимногочленом в правой части.
4. Системы линейных дифференциальных уравнений. Фундаментальная система решений. Формула Лиувилля. Метод вариации произвольных
постоянных. Общее решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (случай простых корней с
доказательством, случай кратных корней без доказательства).
5. Точки покоя: узел, седло, фокус, центр. Бифуркация Андронова-Хопфа.
ЛИТЕРАТУРА
Дифференциальные уравнения
1. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Физ.-мат. лит., 1961.
2. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука.
3. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Физ.-мат. лит., 1958.
4. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1965.

(D) Теория вероятностей
1. Вероятностные пространства: аксиоматика Колмогорова. Условная вероятность. Независимые события. Формулы полной вероятности и Байеса.
Схемы независимых испытаний Бернулли, предельные теоремы в схеме Бернулли.
2. Случайные величины. Распределения случайных величин; дискретное распределение, абсолютно непрерывное распределение. Функция
распределения и ее свойства. Плотность распределения. Числовые характеристики случайной величины: математическое ожидание, дисперсия,
ковариация, коэффициент корреляции и их свойства. Классические распределения: Бернулли, биномиальное, Пуассона, равномерное, нормальное
и показательное.
3. Закон больших чисел; теоремы Чебышева и Бернулли. Центральная предельная теорема.
ЛИТЕРАТУРА
Теория вероятностей
1. Севастьянов В.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. М.: Наука, 1982.
2. Боровков А.А. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1986.
3. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1988.
4. Тутубалин В.Н. Теория вероятностей и случайных процессов. М.Изд-во МГУ,1992,400с.
5. Ширяев, А.Н. Вероятность. М.: Наука. М.: 1989.

(E) Дискретная математика, математическая логика и теория автоматов
1. Отношения эквивалентности и разбиения множества. Отношения порядка, ЧУМы и диаграммы Хассе.
2. Комбинаторные правила суммы и произведения. Принцип Дирихле. Перестановки. Биномиальные коэффициенты. Принцип включения-
исключения.
3. Графы. Маршруты, связность, подграфы. Эйлеровы и гамильтоновы циклы. Изоморфизм графов.
4. Планарные графы. Теорема Эйлера о многогранниках и ее следствия. Миноры. Теорема Понтрягина-Куратовского.
5. Задача о раскраске графа. Оценки хроматического числа. Теоремы Брукса и Хивуда.
6. Булевы функции. ДНФ и КНФ. Полиномы Жегалкина. Полные системы функций. Замкнутые классы. Теорема Поста.
7. Предикаты. Формулы логики предикатов. Модели и интерпретации. Равносильность и логическое следствие. Законы логики предикатов.
Сколемовская нормальная форма.
8. Метод резолюций в логике высказываний и логике предикатов.
9. Конечные автоматы. Регулярные языки. Теорема Рабина-Скотта. Теорема Клини. Построение минимального автомата. Построение автомата по
языку и языка по автомату.
ЛИТЕРАТУРА
Дискретная математика, математическая логика и теория автоматов
1. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. СПб.: Питер, 2008. 384с.
2. Дистель Р. Теория графов. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2002. 336 с.
3. Оре О. Теория графов. М.: Наука, 1980. 336 с.
4. Чень Ч., Ли Р. Математическая логика и автоматическое доказательство теорем. М.: Наука, 1983. 360 с.

(F) Графы и комбинаторные алгоритмы
1. Остовы связных графов. Задача о минимальном остове. Алгоритмы Борувки-Краскла и Ярника-Прима-Дейкстры.
2. Кратчайшие пути в сетях. Алгоритм Форда-Беллмана. Алгоритм Дейкстры.
3. Потоки в сетях. Задача о максимальном потоке. Теорема о максимальном потоке и минимальном разрезе. Алгоритм Форда-Фалкерсона.
4. Паросочетания. Задача о полном паросочетании. Алгоритм Куна. Задача о назначениях. Венгерский алгоритм.
5. Задача коммивояжера.
ЛИТЕРАТУРА
Графы и комбинаторные алгоритмы
1. Асанов, М. О. Дискретная математика: графы, матроиды, алгоритмы: Учеб. пособие для вузов / М. О. Асанов, В. А. Баранский, В. В. Расин. — М. ; Ижевск : РХД, 2001. — 288 с.

(G) Основы баз данных
1. Основы управления базами данных.
2. Языки запросов.
3. Транзакции.
ЛИТЕРАТУРА
Основы баз данных
1. Microsoft SQL Server. Эффективная работа. Вишневский А. В. 1-е издание, 2009 год, 544 стр.
2. Хомоненко А.Д. Базы данных: Учебник для вузов, СПб., Корона принт, 2006
3. Советов Б.Я., Цехановский В.В., Чертовский В.Д. Базы данных. Теория и практика. Учебник для вузов. М.: Высшая школа., 2005, 463с.
4. SQL в примерах и задачах И. Ф. Астахова, А. П. Толстобров, В. М. Мельников. 176 стр. 2002. Издательство: Новое знание.

(H) Основы подготовки к лету
1. Накачать себе 8 кубиков пресса
Это я добавил для большей длины списка, но тоже постараюсь выполнить.

С ума сойти можно. Большинства этих вещей я боюсь. И прежде чем начинаю по ним что-то понимать, у меня вскипает мозг.
Поэтому начну, с самого ненавидимого предмета - с Дифференциальных уравнений, но с ними, говорят, не справиться
не зная Матан, а его трудно выучить не зная Алгебру, поэтому начну с Алгебры. Вообще, думаю будет удобней
поставить приоритеты к разделам, и вот что мы получаем:

[1] (A) Алгебра и геометрия
[2] (B) Математический анализ
[3] (C) Дифференциальные уравнения
[4] (D) Теория вероятностей
[5] (E) Дискретная математика, математическая логика и теория автоматов
[6] (F) Графы и комбинаторные алгоритмы
[7] (G) Основы баз данных
[8] (H) Подготовка к лету

мда, не очень так и все поменялось...

Теперь надо посчитать, сколько времени я убью пока вобью все это себе в мозг (конечно вбивать я ничего не буду, а попытаюсь
творчески подойти и все понять)
На каждый пункт я планирую потратить по одному дню, получается
$6 + 10 + 5 + 3 + 9 + 5 + 3 =$ эммм...

41 день
Получается, через 6 недель я должен стать, стройным математиком.

Ну, чтож...
Погнали!

Алгебра и Геометрия.
4 Февраля 2017 года (Где космолеты?!)
Сегодня надо прокачаться по следующим темам:
1. Матрицы и действия с ними.
2. Определители, их свойства.
3. Критерий обратимости матрицы.
4. Теорема Крамера.
Алгоритм действий очень прост:

1. Беру тему
2. Пишу теорию по теме
3. Решаю 10 задач по данной теме

Итак, что такое матрица:

Цитата:

матрицей размеров m x k над множеством R называется
прямоугольная таблица из чисел, имеющая m строк и k столбцов. Числа,
из которых состоит матрица, называются ее элементами.

[Munin]

frankenstein в сообщении #1189716 писал(а):

(A) Алгебра и геометрия
(B) Математический анализ
(C) Дифференциальные уравнения
(D) Теория вероятностей

Это всё к моменту поступления в аспирантуру должно от зубов отлетать, а не "прокачаться по всему этому".
Кстати, к ТВ добавьте распределения "хи-квадрат" и Стьюдента, они очень часто встречаются в жизни.

[--mS--]

(Оффтоп)

frankenstein в сообщении #1189716 писал(а):

Надеюсь через месяца 2 данная тема разбухнет в историю о том как я подготовился к поступлению в Магистратуру.

Дико извиняюсь: не могли бы Вы (для разогрева интереса читателей) сообщить также, магистратуру по какой специальности (а можно и в каком вузе) Вы решили избрать?

[frankenstein]

Munin в сообщении #1189722 писал(а):

frankenstein в сообщении #1189716 писал(а):

(A) Алгебра и геометрия
(B) Математический анализ
(C) Дифференциальные уравнения
(D) Теория вероятностей

Это всё к моменту поступления в аспирантуру должно от зубов отлетать, а не "прокачаться по всему этому".
Кстати, к ТВ добавьте распределения "хи-квадрат" и Стьюдента, они очень часто встречаются в жизни.

Попробую добавить если останется время

-- 04.02.2017, 20:55 --

--mS-- в сообщении #1189728 писал(а):

(Оффтоп)

frankenstein в сообщении #1189716 писал(а):

Надеюсь через месяца 2 данная тема разбухнет в историю о том как я подготовился к поступлению в Магистратуру.

Дико извиняюсь: не могли бы Вы (для разогрева интереса читателей) сообщить также, магистратуру по какой специальности (а можно и в каком вузе) Вы решили избрать?

Зачем нужно?

[Pphantom]

frankenstein в сообщении #1189749 писал(а):

Зачем нужно?

Ну, например, упомянутые выше Munin элементы матстатистики в некоторых случаях будут абсолютно необходимыми базовыми вещами, которые нужно изучать обязательно, а не "если останется время" (магистратура по прикладной математике, математическим методам экономики, определенным разделам CS и т.п.), а в некоторых - мелкими частными вопросами, которые не имеют прямого отношения к делу (магистратура по "чистой" математике, теоретической информатике, матфизике и т.п.). Из Вашего списка можно понять разве что то, что магистратура имеет некоторое отношение к программированию или анализу данных, но в зависимости от конкретики матстатистика может оказаться и несущественной деталью, и базовой вещью, ради которой можно выкинуть половину имеющегося матанализа и диффуров.

[frankenstein]

Pphantom
Список тем для изучения я не сам составлял, а взял из программы для поступления.
Да, уклон в сторону программирования и анализа данных есть.

[Pphantom]

frankenstein в сообщении #1189754 писал(а):

Список тем для изучения я не сам составлял, а взял из программы для поступления.

Ок, но, наверное, это стоило сразу же написать. Впрочем, тогда и ответ на вопрос --mS-- довольно легко найти.

[frankenstein]

Pphantom
Это Уральский федеральный университет. Хочу поступить на матмех

-- 04.02.2017, 21:38 --

Хотел спросить, а есть русский аналог https://brilliant.org/ ?

[miflin]

(Оффтоп)

frankenstein в сообщении #1189716 писал(а):

Получается, через 6 недель я должен стать, стройным математиком.

6 недель маловато.
Можно выкроить немного времени, если расстаться с мечтой:

frankenstein в сообщении #1189716 писал(а):

Надеюсь через месяца 2 данная тема разбухнет...

[Dragon27]

(Оффтоп)

frankenstein в сообщении #1189716 писал(а):

Получается, через 6 недель я должен стать, стройным математиком.

Вспомнилось

Munin в сообщении писал(а):

мне ситуация видится такой: в данного индивидуума знания впихивали быстрее, чем он их успевал прожёвывать и переваривать, и в результате у него всё слиплось.

[Munin]

frankenstein в сообщении #1189716 писал(а):

Итак, что такое матрица:

Цитата:

матрицей размеров m x k над множеством R называется
прямоугольная таблица из чисел, имеющая m строк и k столбцов. Числа,
из которых состоит матрица, называются ее элементами.

Цитата:

Определение. Пусть $I$ и $J$ суть два множества (называемые в дальнейшем множеством строчных индексов и множеством столбцовых индексов, соответственно), а $X$ произвольное множество. Тогда матрицей типа $I\times J$ с компонентами из $X$ называется произвольное семейство $x\colon I\times J\to X.$ Значение $x$ на паре $(i,j)\in I\times J$ называется компонентой (или коэффициентом или матричным элементом) матрицы $x$ в позиции $(i,j)$ (иногда на месте $(i,j)$).

В большинстве элементарных учебников линейной алгебры произносятся бессмысленные заклинания, наподобие следующего: "матрицей называется прямоугольная таблица чисел". Как отмечают Семенов и Шмидт, в этом определении верно все, кроме трех слов: "прямоугольная", "таблица", "чисел". Прямоугольные таблицы являются одним из способов изображения матриц, но отнюдь не самими матрицами. Дело в том, что обычно рассматриваются конечные матрицы, строки и столбцы которых индексированы последовательными натуральными числами. Это вводит в заблуждение.

Пусть $I=J=\{\mathrm{Euro, DM, FF, Lit}\}.$ Решение EMU зафиксировало матрицу обменных курсов для всех стран еврозоны. Тем не менее в 1999-2001 годах в банках Германии, Италии и Франции эта (одна и та же!) матрица изображалась по разному.

Нет никакого естественного способа линейно упорядочить бесконечное множество. Что такое верхние треугольные матрицы в $M(X,R),$ где $X$ — счетное множество? Биекции $X\leftrightarrow\mathbb{N},X\leftrightarrow\mathbb{Z},X\leftrightarrow\mathbb{Q},$ где множества $\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q}$ рассматриваются с естественными порядками, определяют совершенно различные множества верхних треугольных матриц. Множества $B(\mathbb{N},K)$ и $B(\mathbb{Z},K)$ образуют различные (не изоморфные!) кольца, а множество $B(\mathbb{Q},K)$ вообще не является кольцом (потому что произведение двух матриц не определено!)


(Вавилов. Конкретная теория колец.)

[Anton_Peplov]

Munin в сообщении #1189792 писал(а):

(Вавилов. Конкретная теория колец.)

Не думаю, что юному падавану сейчас стоит обращать внимание на эту книгу и то, что в ней написано. Сначала нужно освоиться до состояния "отскакивает от зубов" с прямоугольными табличками чисел, а потом тянуться за более общими и строгими формулировками. Так же как с понятием функции надо вначале свыкнуться как с "правилом, по которому одному числу ставится в соответствие другое", а уж потом можно произносить слова про подмножество декартова произведения. Да и знакомство с декартовым произведением не нужно начинать с выделения предикатом из булеана булеана булеана объединения множеств. Понятно, что к магистратуре математического факультета это уже можно и желательно знать, но коль скоро ТС взялся за учебники, значит, у него есть прорехи по этим вопросам. И если есть прорехи на уровне понимания элементарных учебников, их на этом же уровне и надо латать. Попытка, не обеспечив фундамент, возвестись в горние выси общности и строгости, приведет к каше в голове и ни к чему больше. Именно поэтому Вавилов, конечно, математически прав, но в данном случае педагогически лев.

[Munin]

Anton_Peplov в сообщении #1189821 писал(а):

Не думаю, что юному падавану сейчас стоит обращать внимание на эту книгу

Да нет, ссылка только ради аккуратности. Я хотел только процитировать определение. Чтобы не было "таблицы чисел"...

[knizhnik]

Anton_Peplov в сообщении #1189821 писал(а):

Сначала нужно освоиться до состояния "отскакивает от зубов" с прямоугольными табличками чисел

Нет, не нужно. Просто потому, что это неверно.

[SomePupil]

knizhnik в сообщении #1189852 писал(а):

Нет, не нужно. Просто потому, что это неверно.

Создайте альтернативу "Дарт Вейдер", с бицухой и крыльями :)
Вот тогда Ваши возражения можно будет принять всерьез.