Единственность дифференцирования

[knizhnik]

Дано множество всех элементарных функций, которые определены на всей области $\mathbb{R}$, с естественными операциями сложения и умножения:
$u \cdot v \ (x)=u(x) \cdot v(x)$
$u + v \ (x)=u(x) + v(x)$
На нем задан дифференциальный оператор $\partial$ по следующим правилам:
$\partial (uv)=u\,\partial v+v\,\partial u$
$\partial (u+v)=\partial u+\partial v$
Можно ли доказать его единственность? Если нет, то как можно доказать неединственность на каких-нибудь тривиальных примерах? Существует ли аксиоматическое определение дифференцирования?

-- 12.12.2016, 15:19 --

Ладно, я придумал, можно взять функцию $\varphi$ такую, что $\forall x \ \varphi (x)=0$ и оператор $\partial$, что $\forall w \ \partial (w)=\varphi$. Определение несовершенно. Что нужно дописать к аксиомам, чтобы получить все-таки единственность?

[bot]

Элементарные функции возникают из базисных с помощью четырёх арифметических действий и суперпозиции.
Без правила дифференцирования суперпозиции уж точно не обойтись и без задания на базисных - тоже.

[Metford]

А можно уточнение? В книге у Мищенко и Фоменко "Краткий курс дифференциальной геометрии" вводится операция дифференцирования именно свойством линейности и правилом Лейбница. Правда, не на элементарных, а на бесконечно дифференцируемых функциях. Потом доказывается теорема, что эта операция совпадает с дифференцированием вдоль некоторого единственного касательного вектора на многообразии, на котором эти функции заданы. Не об этом ли ТС спрашивает?
А ещё есть книги по дифференциальной алгебре. Именно там ведь подобные вопросы рассматриваются?

[Nemiroff]

Ну если оператор замкнут и линеен, то достаточно его определить на функции $f(x)=x$ нужным способом, а остальное приложится.

[knizhnik]

Добавим бесконечную дифференцируемость и второе свойство линейности $\partial (\alpha u)=\alpha \partial (u)$. Это не помогает. По-прежнему можно взять нулевую функцию $\varphi$ в качестве единственной производной для всех функций. Тогда $ \partial (\alpha u)=\varphi$ и $\alpha \partial (u) = \alpha \varphi = \varphi $.
Я не читал Мищенко и книг по дифференциальной алгебре. Но если можете указать источник с точностью до страницы, где разбирается именно этот вопрос, то я постараюсь вникнуть.

Metford в сообщении #1176542 писал(а):

Не об этом ли ТС спрашивает?

О том, как по возможности просто и кратко аксиоматизировать дифференцирование, а затем доказать его единственность.

Nemiroff в сообщении #1176564 писал(а):

достаточно

Это нужно как-то доказать.

[Brukvalub]

Капланский Введение в дифференциальную алгебру. Читать с первой цифры.

[Nemiroff]

knizhnik в сообщении #1176662 писал(а):

Это нужно как-то доказать.

Для полиномов по индукции навроде $L[x^2]=xL[x]+L[x]x=2xL[x]$ и так далее. Тогда для полинома $L[P]=P'L[x]$. Для остальных замыканием из теоремы Вейерштрасса.

[g______d]

Если оператор задан на бесконечно гладких функциях, линеен, и удовлетворяет правилу Лейбница, то замкнутость не нужна

https://ncatlab.org/nlab/show/derivatio ... tor+fields

Общий вид такого оператора $g(x)\frac{\partial}{\partial x}$, где $g$ — произвольная гладкая функция (возможно, нулевая).

-- Вт, 13 дек 2016 09:59:01 --

Ну и очевидно, что в таком случае он однозначно определяется своим действием на функцию $x$.

[sergei1961]

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0 ... 1%80%D0%B0

[g______d]

sergei1961 в сообщении #1176699 писал(а):

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0 ... 1%80%D0%B0

И в каком месте там соответствующая теорема?

[Metford]

knizhnik в сообщении #1176662 писал(а):

Я не читал Мищенко и книг по дифференциальной алгебре. Но если можете указать источник с точностью до страницы

Мищенко А.С., Фоменко А.Т. - Краткий курс дифференциальной геометрии, ФМЛ 2004, стр. 91, 16 строка снизу
А Капланского я поскромничал назвать сразу.

[sergei1961]

g______d - я не говорил, что там теорема. Просто ссылка да ресурс, с информацией обо всём, что удовлетворяет тождеству Лейбница с литературой. В основном тут уже всё оттуда процитировано.

[knizhnik]

Brukvalub в сообщении #1176666 писал(а):

Капланский Введение в дифференциальную алгебру. Читать с первой цифры.

Да? И где там? Укажите пожалуйста точно номер теоремы.

[Brukvalub]

knizhnik в сообщении #1180619 писал(а):

Да? И где там?

Что "где там"?

[knizhnik]

Brukvalub, теоремы в книге пронумерованы. Укажите пожалуйста точно номер теоремы, где разбирается поставленный в теме вопрос.