Момент импульса мяча на привязи.

[and27name7]

Здравствуйте! Помогите пожалуйста подогнать решение к ответу.
Задача.
Цель игры в мяч на привязи состоит в том, чтобы достаточно сильными и точными ударами по мячу заставить веревку, к которой привязан мяч, а другой конец привязан к вертикальному шесту, намотаться на этот шест в одном направлении; второй игрок может таким же способом намотать веревку в другом направлении. Эта игра очень оживленная, и динамика движения мяча достаточно сложна. Будем рассматривать более простой случай движения, при котором мяч движется в горизонтальной плоскости по спирали уменьшающегося радиуса и веревка наматывается на шест после одного удара, придающего мячу начальную скорость $v_0$. Длина веревки $l $ и радиус шеста $a<<l$.
а) Вычислить скорость как функцию времени, допуская, что кинетическая энергия сохраняется постоянной.
б) Чему равна угловая скорость после того, как мяч совершит пять полных оборотов?
Решение я вижу такое.
При уловии постоянства кинетической энергии, определяем, что $v_0 = v$, где $v$ - скорость в конце пятого оборота. Запишем $v =wr$. Где $r$ - радиус вектор от оси, проходящей через центр шеста, перпендикулярно плоскости вращения, до мяча. $r= \sqrt{a^2+(l-10 \pi a)^2}$. Таким образом получаем, что $w =\frac {v_0}{\sqrt{a^2+(l-10 \pi a)^2}}$.
Но ответ почему-то выглядит так: $w =\frac {(l-10 \pi a)v_0}{\sqrt{a^2+(l-10 \pi a)^2}}$.
Где в моих рассуждениях ошибка? Что я упустил?

[photon]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[GAA]

Даже одиночные символы оформляйте, пожалуйста, как формулы.
Исправлена часть формул и тема возвращена.

[amon]

and27name7 в сообщении #1172405 писал(а):

При условии постоянства кинетической энергии, определяем, что $v_0 = v$

Так было бы, если бы радиус оставался постоянным. А у Вас?

[wide]

and27name7 в сообщении #1172405 писал(а):

...Где в моих рассуждениях ошибка? Что я упустил?

Ошибка везде, кроме вычисления радиус вектора.

Во первых, ошибка в "правильном" ответе из решебника, в знаменателе не должно быть корня.

Для решения воспользуйтесь сохранением кинетической энергии при вращении. Составьте уравнение, где слева будет кин. энергия в начальный, а справа в произвольный момент времени. Из него выразите угловую скорость в произвольный момент в зависимости от начальных условий.

Теперь, для "подгонки", полученное выражение необходимо умножить на косинус некого малого угла. (Тут необходимо сделать рисунок).

Для чего нужен косинус - придумайте сами.

[amon]

and27name7 в сообщении #1172405 писал(а):

Где в моих рассуждениях ошибка?

Я вот наконец посмотрел, что у меня получится. Получился Ваш ответ.
IMHO, ответ в задачнике неправильный, а Ваш - правильный.

[wide]

IMHO, ответ ТС будет верный, если вращение будет вокруг оси шеста, а в задаче некий радиус присутствует. Тут как то "замешаны" мгновенные центры вращения.
На мой взгляд косинус должен присутствовать.

[amon]

wide в сообщении #1172797 писал(а):

На мой взгляд косинус должен присутствовать.

Давайте подождем некоторое время реакции уважаемого and27name7, а потом сравним решения. Мне тоже интересно, поскольку соврать вроде негде.

-- 29.11.2016, 18:18 --

Если не пользоваться тем, что $a<<l$, то у меня получается

$$ \omega^2=\frac{v_0^2\left(a^2+(l-10\pi a)^2\right)}{a^2(l-10\pi a)^2+\left(a^2+(l-10\pi a)^2\right)^2} $$

К стати, в ответе из задачника с размерностью беда.

[wide]

Т.к. ТС на время пропал, чиркану свои мысли.
Если посмотреть Берклиевский курс физики, том1, то ответ выглядит так:
$w =\frac {(l-10 \pi a)v_0}{a^2+(l-10 \pi a)^2}$
Я предлагаю такое решение.
При данном движении кинетическая энергия сохраняется, т.е. в любой момент времени $v=v_0$. При этом вектор скорости всегда ортогонален натянутой веревке.

По определению $\vec{w}=\frac{\vec{r} \times \vec{v}}{(\vec{r}, \vec{r})}$ (1)

Если теперь спросить, чему равна угловая скорость тела при таком движении, то необходимо выбрать ось, относительно которой мы будем находить угловую скорость.

Если за такую ось мы примем точку соприкосновения веревки с шестом в произвольный момент времени, то согласно векторному произведению радиус вектора, проведенного из мгновенного центра поворота, на вектор скорости мы получим:
$w =\frac {v_0}{l- \varphi a}$
где $ \varphi$ - угол поворота в радианах, при этом такая ось постоянно смещается в пространстве.

Но если мы будем находить угловую скорость относительно оси шеста, которая с течением времени никуда не смещается, то в этом случае вектор скорости уже будет не ортогонален радиус вектору, проведенному из центра шеста. Т.е. в векторном произведении у нас всплывает некий $\sin( \pi/2 - \alpha)$, который равен $\cos( \alpha)$.
Косинус выражаем как отношение оставшейся части веревки к радиус вектору:
$\cos( \alpha)=\frac {(l- \varphi a)}{\sqrt{a^2+(l- \varphi a)^2}}$
Подставляя все эти выражения в (1) находим:
$w=\frac {(l- \varphi a)}{\sqrt{a^2+(l-\varphi a)^2}} \frac {v_0}{\sqrt{a^2+(l- \varphi a)^2}}=\frac {(l- \varphi a)v_0}{a^2+(l- \varphi a)^2}$

[amon]

Данная штука - типичная система с голономной связью. Если пренебречь тем, что нить с радиусом не совсем совпадает, то $R=l-a\varphi$. Тогда в полярных координатах

$$E=\frac{mv_0^2}{2}=\frac{m(\dot{x}^2+\dot{y}^2)}{2}=m\frac{\dot{R}^2+R^2\dot{\varphi}^2}{2}=m\frac{a^2\dot{\varphi}^2+(l-a\varphi)^2\dot{\varphi}^2}{2},$$

откуда получаем формулу ТС.
Если не пренебрегать различием радиуса и нити, то $R^2=a^2+(l-a\varphi)^2$, и получится вторая формула.

[amon]

По просьбе трудящихся, привожу подробное решение.
Угловая скорость по определению (см. формулу (31.1) ЛЛ т. 1 Механика) есть $\omega=\frac{d\varphi}{dt}$, где $\varphi$ - полярный угол в какой-нибудь системе координат. Известно (формула (31.3) там же), что от выбора начала координат угловая скорость не зависит. По этой причине удобно перейти в полярные координаты с началом в центре стержня.

Вложение:

rope.png

Введем также декартовы координаты с началом в той же точке. Тогда

$$ \begin{align} x&=R\cos(\varphi)\\ y&=R\sin(\varphi) \end{align} $$

Отсюда

$$ \begin{align} \dot{x}&=\dot{R}\cos(\varphi)-R\dot{\varphi}\sin(\varphi)\\ \dot{y}&=\dot{R}\sin(\varphi)+R\dot{\varphi}\cos(\varphi)\quad (*) \end{align} $$

Поскольку веревка наматывается на стержень, имеется связь между $R$ и $\varphi$. Точное соотношение выглядит как $R^2=a^2+l^2$, где $l$ - текущая длина веревки, равная $l=l_0-a\varphi$. Энергия (она же - функция Лагранжа для этой задачи) будет

$$ E=m\frac{v_x^2+v_y^2}{2}=m\frac{\dot{x}^2+\dot{y}^2}{2}=m\frac{\dot{R}^2+R^2\dot{\varphi}^2}{2}$$

Последнее выражение получается подстановкой (*) и собиранием синусов. Дальнейшее зависит от того, пренебрегаем ли мы в уравнении связи величиной $a^2$ ($R=l$) или нет. Если пренебрегаем, то $R=l_0-a\varphi$ и $\dot{R}=-a\dot{\varphi}$. Подставляя все это хозяйство в выражение для энергии и замечая, что она сохраняется, получим уравнение

$$\frac{mv_0^2}{2}=m\frac{a^2\omega^2+(l_0-a\varphi)^2\omega^2}{2},$$

где $\dot{\varphi}=\omega$. Откуда

$$\omega^2=\frac{v_0^2}{a^2+(l_0-a\varphi)^2}.$$

Этот ответ верен в линейном по $a$ приближении.

Если воспользоваться точной формулой $R=\sqrt{a^2+(l_0-a\varphi)^2}$ то

$$ \dot{R}=\frac{-a\dot{\varphi}}{\sqrt{a^2+(l_0-a\varphi)^2}} $$

и

$$ v_0^2=\omega^2\left(\frac{a^2(l_0-a\varphi)^2}{a^2+(l_0-a\varphi)^2}+a^2+(l_0-a\varphi)^2\right), $$

откуда и получается точный ответ.

Я согласен, что решение это не школьное-первокурсное, но, как показывает практика, другими способами провраться легче. В решениях уважаемого wide и Киттеля с Рудерманом не разбирался. Возможно, это некий промежуточный случай между первым и вторым представленным здесь решением.

[wide]

Вот рисунок:

(Оффтоп)

С его помощью, по рабоче-крестьянски, находим угловую скорость как отношение линейной скорости к радиус вектору. Какую скорость с каким радиус вектором относить - выделено цветом.

-- 01.12.2016, 08:19 --

amon в сообщении #1173143 писал(а):

По просьбе трудящихся, привожу подробное решение.
Угловая скорость по определению (см. формулу (31.1) ЛЛ т. 1 Механика) есть $\omega=\frac{d\varphi}{dt}$, где $\varphi$ - полярный угол в какой-нибудь системе координат.

С такое-же легкостью можно "определить" угловую скорость как отношение векторных и скалярных произведений векторов линейной скорости и радиус вектора.

И у меня остается подозрение, что переход в полярные координаты неточен, т.к. угол $\varphi$ при наматывании на шест будет не одинаковым для конца радиус вектора и точки соприкосновения веревки с шестом.

[amon]

wide в сообщении #1173203 писал(а):

С его помощью, по рабоче-крестьянски, находим угловую скорость как отношение линейной скорости к радиус вектору.

amon в сообщении #1172471 писал(а):

Так было бы, если бы радиус оставался постоянным.

[wide]

Как я понимаю, в данной задаче линейная скорость остается постоянной, кинетическая энергия тоже постоянна, радиус меняется, угловая скорость увеличивается, момент импульса не сохраняется. Чем не нравится ответ из учебника, не понимаю. Чем не нравится определение угловой скорости через линейную скорость и радиус - тоже не понятно.

Может еще кто-нибудь предложит решение, а то следствие заходит в тупик.

-- 01.12.2016, 14:01 --

wide в сообщении #1173203 писал(а):

И у меня остается подозрение, что переход в полярные координаты неточен, т.к. угол $\varphi$ при наматывании на шест будет не одинаковым для конца радиус вектора и точки соприкосновения веревки с шестом.

amon, я не понимаю в вашем решении вот что:
координаты мяча вы выражаете через угол $\varphi$, записываете лагранжиан, и в него подставляете радиус, вычисленный через тот же самый угол $\varphi$. Но посмотрите на мой рисунок, из него видно, что намотанная часть веревки не выражается через тот же самый угол. Углы разные.

[wide]

Из данного рисунка видно, что со временем разность углов не остается постоянной. Т.о. я считаю, что переход в полярные координаты некорректен.

(Оффтоп)