Момент импульса мяча на привязи.

[wrest]

amon в сообщении #1172471 писал(а):

Так было бы, если бы радиус оставался постоянным. А у Вас?

Если мы перережем нить в любой момент, то мяч в тот же момент станет двигаться по какой-то прямой со скоростью $v_0$, не так ли?

wide в сообщении #1173303 писал(а):

Может еще кто-нибудь предложит решение, а то следствие заходит в тупик.

Мне кажется ваше рабоче-крестьянское решение с косинусом верным.

[amon]

wide в сообщении #1173303 писал(а):

координаты мяча вы выражаете через угол $\varphi$, записываете лагранжиан, и в него подставляете радиус, вычисленный через тот же самый угол $\varphi$. Но посмотрите на мой рисунок, из него видно, что намотанная часть веревки не выражается через тот же самый угол. Углы разные.

Я ввел две системы координат. Через $R$ и $\varphi$ выражаются не только координаты мяча, но и координаты любой точки на плоскости. Формула $E=m\frac{\dot{R}^2+R^2\dot{\varphi}^2}{2}$ верна для кинетической энергии любого движения на плоскости. Дальше я говорю, что для конкретной задачи полярный угол, отсчитанный от начального положения мяча и радиус вектор мяча всегда связаны соотношением $R=\sqrt{a^2+(l_0-a\varphi)^2}$. До этого места все - чистая геометрия, и ничего более. Дальше дифференцируем, подставляем и ву-аля. Что Вы понимаете под некорректностью перехода в полярные координаты - для меня загадка. Что, соотношение $\begin{align} x&=R\cos(\varphi)\\ y&=R\sin(\varphi) \end{align}$ выполняется не для всех точек плоскости? Или формула для перехода не такая?

[wide]

amon в сообщении #1173455 писал(а):

До этого места все - чистая геометрия, и ничего более. Дальше дифференцируем, подставляем и ву-аля. Что Вы понимаете под некорректностью перехода в полярные координаты - для меня загадка.

Чтобы изъясниться с помощью геометрии, я нарисовал два рисунка. Они скрыты под тегами (Оффтоп), вы их смотрели?
Ведь на них отчетливо видно, что углы используются разные. Посмотрите пожалуйста рисунки, и скажите, можно ли через один и тот-же угол выразить и координату радиус вектора и длину оставшейся части веревки?

amon в сообщении #1173455 писал(а):

Дальше я говорю, что для конкретной задачи полярный угол, отсчитанный от начального положения мяча и радиус вектор мяча всегда связаны соотношением $R=\sqrt{a^2+(l_0-a\varphi)^2}$

Вот именно с этим я не согласен, именно тут угол $\varphi$ не совпадает с углом из:

$$ \begin{align} x&=R\cos(\varphi)\\ y&=R\sin(\varphi)\end{align}$$

[amon]

wide в сообщении #1173459 писал(а):

Вот именно с этим я не согласен, именно тут углы не совпадают.

Даже не знаю, что и сказать. Вы знаете, что такое полярные координаты? Сколько там, по-вашему, углов? Эта формула получается так. Веревка, радиус шеста и $R$, проведенный в центр мяча, составляют прямоугольный треугольник, причем $R$ - его гипотенуза. Тогда $R^2=a^2+l^2$, где $l$ - текущая длина веревки. Текущая длина веревки, в свою очередь, равна начальной длине минус то, что на шест намоталось. В этом месте я написал, что намоталось $a\varphi$, считая, что угол не заключен в интервале $[0,2\pi]$. С тем же успехом можно написать, что намоталось $2\pi a n+a\varphi$, $n$ - число полных оборотов, а $\in\varphi\in[0,2\pi]$, ответ от этого не изменится. Угол здесь точно полярный, и других у меня нет.

[wide]

amon в сообщении #1173469 писал(а):

Даже не знаю, что и сказать. Вы знаете, что такое полярные координаты?

Да, знаю.
Я внес дополнение в конец предыдущего поста в тот момент когда вы писали свой.
Посмотрите картинку:

Вы видите, что угол в формулах

$$ \begin{align} x&=R\cos(\varphi)\\ y&=R\sin(\varphi)\end{align}$$

совсем не тот, который сидит в $R=\sqrt{a^2+(l_0-a\varphi)^2}$ ?
Для голубой веревки на данном рисунке разность углов $81$ градус.

[amon]

Я, видимо, понял о чем речь. Только смотреть надо не на то, что угол между $R$ и точкой касания не нулевой, а на то, что этот угол меняется (на рисунке - 80 и 77 градусов). Так что, действительно, то что я назвал точным решением - неправда, оно неточное, но решение ТС с точностью до членов $\frac{a}{l}$ правильное, и с этой точностью совпадает с решением Киттеля-Рудермана. Подробности довольно занудны, но если кому интересно, могу написать при случае. Вообще, забавная задачка.

[wide]

Да, именно изменение разности углов я и заметил (и об этом написал в каком-то посте), когда нарисовал второй рисунок. Мне стало интересно, как эту задачу решить через лагранжиан, но пока не нашел, как можно взаимоувязать углы.
amon, я думаю, если бы "разность фаз" оставалась постоянной, то ваше решение было бы точным.

[and27name7]

amon, рад, что вам задача понравилась. Спасибо всем за обсуждение.