регрессия y=a x

[AndreyL]

Дамы и Господа!

Такая задача: есть вектор независимых переменных $X$, и вектор зависимых переменных $Y$. По ним построена регрессия вида $y=a x$. Как теперь доказать, что такая зависимость действительно есть?

[Евгений Машеров]

А F-отношение не спасёт?

[AndreyL]

Евгений Машеров в сообщении #1170026 писал(а):

А F-отношение не спасёт?

Может и спасет, но как его в этом случае записать?

[Brukvalub]

А как обычно записывается это соотношение, и какие трудности вызывает именно ваш случай?

[AndreyL]

Если бы в уравнении регрессии кроме углового параметра был бы еще свободный, я бы записал так:
$f=\frac{SS_t-SS_r}{SS_r/ \left (n-2 \rigth) }$; $SS_r=\sum_{i=1}^n{ \left( y_i-a x_i \right) ^2}$; $SS_t=\sum_{i=1}^n{ \left( y_i-\bar y \right) ^2}$; $\bar y=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i$
Если истинное значение углового коэффициента равно 0, т.е. линейной зависимости нет, то статистика $f$ подчиняется распределению Фишера с 1 и $n-2$ степенями свободы.
На как быть, когда свободного параметра нет?

[AndreyL]

Ошибочка в предыдущем посте
$SS_r=\sum_{i=1}^n{ \left( y_i-a x_i-b \right) ^2}$
Если в уравнении регрессии кроме углового параметра есть еще свободный

[Brukvalub]

Укажите, где в $f$-тесте используется тот "факт", что $b\neq 0$.

[AndreyL]

Brukvalub в сообщении #1170058 писал(а):

Укажите, где в $f$-тесте используется тот "факт", что $b\neq 0$.

Вот здесь: $\sum_{i=1}^n{ \left( y_i-a x_i -b\right) ^2}\leq \sum_{i=1}^n{ \left( y_i-\bar y \right) ^2}$, и тогда $f\geq 0$. Если свободного параметра нет, то это условие не обязано выполняться, и ни о каком распределении Фишера речи быть не может.

[Евгений Машеров]

Скажу по секрету - это отношение всегда больше нуля.

[AndreyL]

Конечно! Это отношение всегда НЕ МЕНЬШЕ нуля. Хотите ровно ноль - их есть:
X Y
-1 -1
-1 1
1 -1
1 1
А вот без свободного параметра может быть и меньше
X Y
2 5
3 4
4 3
5 2
$a=\frac{22}{27}$, $SS_r=\frac{490}{27}$, $SS_t=5$, $SS_t-SS_r=-\frac{355}{27}$

[Евгений Машеров]

У Вас где-то ошибка. F-отношение это отношение сумм квадратов, делённых на число степеней свободы. Частное двух неотрицательных отрицательным быть не может.

[AndreyL]

Дело в том, что в регрессионном анализе F-отношение это отношение регрессионной дисперсии к остаточной, остаточная дисперсия считается как $\frac{SS_r}{n-m}=\frac{1}{n-m}\sum_{i=1}^n{ \left( y_i-a x_i-b \right) ^2}$, полная как $\frac{SS_t}{n-1}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n{ \left( y_i-\bar y \right) ^2}$, регрессионная как $\frac{SS_t-SS_r}{m-1}$, но это если есть свободный параметр.
Вот я и спрашиваю, а как будет выглядеть F-отношение если свободного параметра нет?

[AndreyL]

Забавно, что F-отношение в таком варианте:
$f=\frac{SS_{reg}}{SS_r/ \left (n-1 \rigth) }$, $SS_{reg}=\sum_{i=1}^n{ \left( f_i-\bar f \right) ^2}$, $f_i=a x_i$, $\bar f=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f_i$
не подчиняется распределению Фишера. Точнее, подчиняется только в одном случае - если выборка перед проведением регрессии сцентрирована на начало координат (этот случай не интересен). Если же среднее по выборке отличается от начала координат, то распределение этой статистики явно не Фишеровское.

Вы так уверенно предложили F-отношение - так как же оно выглядит в случае, если в регрессии нет свободного параметра?

[Brukvalub]

AndreyL в сообщении #1170388 писал(а):

как же оно выглядит в случае, если в регрессии нет свободного параметра?

А по какой причине его нет?

[AndreyL]

Забавный ответ! Я больше чем уверен, что такой причины не существует. Вот увидеть бы его в явном виде - было бы здорово! Вы можете показать, как выглядит F-отношение, если в регрессии нет свободного параметра?