2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Длинные линии
Сообщение03.09.2016, 17:34 


16/07/14
201
У меня небольшой вопрос по методике решения некоторых задач с длинными линиями из ТОЭ. Меня интересует расчет переходных процессов в однородных длинных линиях с потерями, но в случаях когда с обоих концов линии есть сложная цепь. Допустим вот такая рандомная цепь:
Изображение
В учебниках по ТОЭ обычно, переходные процессы, решаются для линий либо без активных потерь, либо для линий без "искажений". И в общих чертах задачи можно представить так: с одной стороны есть источник энергии, с другой нагрузка, и нужно найти скажем отраженные волны или найти токи и напряжения в определенный момент времени и длинны на линии. Все типы рассматриваемых задачек крутятся вокруг телеграфного уравнения:
$ \frac{\partial^2 u(x,t) }{\partial x^2}-LC\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2}-(RC+GL)\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}-GRu(x,t) = 0$ или
$ \frac{\partial^2 i(x,t) }{\partial x^2}-LC\frac{\partial^2 i(x,t)}{\partial t^2}-(RC+GL)\frac{\partial i(x,t)}{\partial t}-GRi(x,t) = 0$ которые
приводятся к неоднородному одномерному гиперболическому уравнению второго порядка в частных производных с помощью введения неизвестной функции:
$u(x,t)= \exp^{-\mu t}w(x,t)$ где $\mu=\frac{LG+RC}{2LC}$, что приводит к уравнению:
$ \frac{\partial^2 w(x,t) }{\partial t^2}-\frac{1}{LC}\frac{\partial^2 w(x,t)}{\partial x^2}-\frac{LG-RC}{2LC}w(x,t) = 0$
а в свою очередь это уравнение имеет точные решения, при краевой задаче, скажем точное решение можно взять из матфизики Тихонового Самарского (система 69-71).
Проблема вот в чем: для решения необходимо знать краевые и начальные условия, ну собственно и подставить их уже в решение, а хитрость тут в том, что напряжения и токи с обоих сторон в задаче на картинке, зависят друг от друга через длинную линию. Стандартные задачки я решу, а тут не представляю как подступиться....
Так как товарищ Мунин задаст вопрос в какие книжки я смотрел, сразу их перечислю:
1. Уравнения математической физики А.Н. Тихонов, А.А. Самарский (1 параграф 8 пункт выр. 69-71, также стр 74, 76, 78, 62)
2. Уравнения в частных производных Математической физики Н.С. Кошляков (стр 88 глава 7 прим. метода хар. к изуч. кол. в эл. лин.)
3. Уравнения математической физики И.Г. Арамович, В.И. Левин (стр 55 п.3 метод фурье, п.5, п.7 Эл. кол. в длинных однородных линиях)
4. Курс высшей математики Том II В.И. Смирнов (194 пункт Телеграфные уравнения)
5. Практический курс по уравнениям математической физики В.П. Пикулин, С.И. Поохожаев (глава 2 Гиперболические задачи)
6. Теоретические основы электротехники Л.Р. Нейман, К.С. Демирчян (глава 17 эл. цепи с распр. парам. при перех. проц.)
7. Теоретические основы электротехники Часть 3 Г.М. Торбенков (глава 16 эл. цепи с распр. парам. при перех. проц.)
8. Теоретическая электротехника К.Шимони (параграф 39-42).
Про попытки решения:
Собственно можно прикопаться и сказать, что не приведено попыток решения, однако, я перешерстил приличное количество литературы, и могу сказать, точно что в целом авторы всегда обходят стороной подобные задачки. Из учебников могу подчеркнуть, что обычно, когда нагрузка линии сложная, вычисляют входное сопротивление линии с учетом нагрузки и. таким образом решают задачку для нахождения левого краевого условия, однако в данном случае так поступить низя изза источника напряжения, и это меня очень смущает. Как решать такую задачку?, мне даже не важно добраться до формулы напряжения и токов в линии, а хотя бы верно составить необходимую систему уравнений для краевых условий, которые совместно с телеграфным уравнением можно решить на ЭВМ. Мне важно узнать сам принцип решения задачек, когда краевые условия зависят друг от дружки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длинные линии
Сообщение03.09.2016, 18:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
specialist в сообщении #1148774 писал(а):
обычно, когда нагрузка линии сложная, вычисляют входное сопротивление линии с учетом нагрузки и. таким образом решают задачку для нахождения левого краевого условия, однако в данном случае так поступить низя изза источника напряжения, и это меня очень смущает.

Почему низя-то? Берёте левую подцепь как двухполюсник, и анализируете её до упора (Лапласом, наверное). Получаете некоторое ОДУ, связывающее напряжение и ток на этом двухполюснике. Это ОДУ и надо подставить как краевое условие.

Да, получится нечто посложнее, чем просто в книжках (обычно там ОДУ максимум 1 порядка - "краевые условия 3 рода"), но вполне численно решаемое.

specialist в сообщении #1148774 писал(а):
когда краевые условия зависят друг от дружки.

А они у вас, вроде, славабогу, не зависят друг от дружки. Если я правильно прочитал схему, то у вас там взаимных индуктивностей и емкостей нет, и зависимых источников - тоже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длинные линии
Сообщение03.09.2016, 18:11 


16/07/14
201
Munin в сообщении #1148781 писал(а):
А они у вас, вроде, славабогу, не зависят друг от дружки. Если я правильно прочитал схему, то у вас там взаимных индуктивностей и емкостей нет, и зависимых источников - тоже.
эм, а между ними же ток течет, пусть и волнами, но все же течет, я все еще в смущении

 Профиль  
                  
 
 Re: Длинные линии
Сообщение03.09.2016, 18:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ну, каждое из них (краевых условий) есть всё-таки уравнение. А уравнения друг от дружки не зависят.

Рассмотрим другой случай: пусть ваши $L_2$ и $L_4$ - это половинки какого-то трансформатора (а длинная линия свёрнута в кольцо). Тогда уравнения окажутся зависимыми: в левое уравнение будет входить величина из правого, а в правое - величина из левого. Они станут решаться уже не по отдельности, а только как система. Соответственно, вся краевая задача станет похожа на задачу с периодическими условиями (со склеенными концами). Её, конечно, тоже можно решать численно, но более осторожно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длинные линии
Сообщение03.09.2016, 18:50 
Заслуженный участник


21/09/15
998
specialist
Это теоретическая задача или практическая?
Если практическая, то в симуляторах заменяют длинные линии лестничной схемой с сосредоточенными параметрами

 Профиль  
                  
 
 Re: Длинные линии
Сообщение03.09.2016, 18:59 


27/08/16
10204
Аналитически, а не в спайсе? Вырежьте из схемы источники - получите линейный четырехполюсник. Состоящий из трёх последовательно включённых четырехполюсников: двух схем на дискретных элементах слева и справа и длинной линии посредине. Каждый из них описывается в частотной области любой из множества эквивалентных матриц, которые считаются стандартными методами. Вычисляете соответствующие матрицы, потом соединяете три четырехполюсника последовательно. Будет громоздко, так что, используйте какую-нибудь систему символьной математики. Перейдите обратно во временную область - получите импульсные характеристики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длинные линии
Сообщение03.09.2016, 19:09 


16/07/14
201
AnatolyBa, теоретическая, мне очень интересно как это решить. Крепко подумаю, над предложением Muninа, соберусь с силами и напишу более корректный ответ.

-- 03.09.2016, 20:13 --

realeugene в сообщении #1148793 писал(а):
Аналитически, а не в спайсе? Вырежьте из схемы источники.
тогда бы получилась просто стандартная задачка. pspice я еще не подключал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длинные линии
Сообщение03.09.2016, 19:15 


27/08/16
10204
specialist в сообщении #1148794 писал(а):
тогда бы получилась просто стандартная задачка.


Так а что в этой задаче нестандартного?

 Профиль  
                  
 
 Re: Длинные линии
Сообщение03.09.2016, 19:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
При фиксированной частоте она и есть стандартная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длинные линии
Сообщение03.09.2016, 19:20 


27/08/16
10204
У линейных схем импульсные и частотные характеристики связаны стандартным преобразованием.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длинные линии
Сообщение03.09.2016, 19:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Если вы приведёте (со ссылкой на литературу) частотную характеристику длинной линии, это будет полезным вкладом в обсуждение. Рядом можно и импульсную.

 Профиль  
                  
 
 Экспонента в показателе которой
Сообщение03.09.2016, 19:46 


27/08/16
10204
Munin в сообщении #1148801 писал(а):
Если вы приведёте (со ссылкой на литературу) частотную характеристику длинной линии, это будет полезным вкладом в обсуждение. Рядом можно и импульсную.

О, а вы, выходит, об этом не знали?
Я помню, что в литературе это есть, но искать мне сейчас лень. Думаю, несложно вывести и без литературы, для начала записав S-матрицу для согласованой с комплексным характеристическим импедансом длинной линии нагрузкой. Матрица будет антидиагональная:

$S=\begin{pmatrix}0&e^{-\gamma L}\\ e^{-\gamma L}&0\end{pmatrix}$

где $\gamma$ - комплексный коэффициент затухания, а $L$ - длина линии. Эту матрицу можно преобразовать в более подходящую по какой-нибудь стандартной формуле, которая, обязательно, должна быть в перечисленных топикстартером учебниках, или, даже, вывести формулу преобразования самостоятельно, исходя из полученных соотношений между токами и напряжениями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длинные линии
Сообщение03.09.2016, 21:07 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
 i  Бессодержательные сообщения realeugene и amon удалены.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длинные линии
Сообщение03.09.2016, 22:20 


27/08/16
10204
Добавлю относительно нескольких источников. Они на схеме нарисованы как источники тока, но подписаны как напряжения. Предполагаю, что они всё же источники напряжения с нулевым внутренним сопротивлением. Так как схема линейная, то отклик схемы на несколько источников одновременно равен сумме откликов схемы на каждый источник напряжения, когда все остальные источники закорочены.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длинные линии
Сообщение04.09.2016, 11:20 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
realeugene в сообщении #1148866 писал(а):
Так как схема линейная, то отклик схемы на несколько источников одновременно равен сумме откликов схемы на каждый источник напряжения, когда все остальные источники закорочены.
В стартовом сообщении темы автор пишет о анализе переходных процессов (правда ключей у него нигде на схеме не изображено). Так вот, следуя вашему совету, не можем ли мы потерять независимые начальные условия?

Скажем, источник на одной стороне линии может вносить вклад в напряжение на какой-либо ёмкости или ток через индуктивность на момент коммутации на другой стороне линии. Вопрос автора темы был, похоже, в этом.

Нечто похожее мелькнуло в сообщении #827179

Я тоже посматриваю в сторону принципа суперпозиции, но надо разобраться, что будет с начальными условиями. Причём не важно длинная там линия или нет - просто есть линейная цепь, под воздействием нескольких источников и в заданный момент времени (скажем ноль) имеет место коммутация.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group