Польза кватернионов

[Munin]

Brukvalub в сообщении #1134549 писал(а):

Так ведь вещественный полином сколь угодно высокой степени может совсем не иметь вещественных корней

и становится непонятно, как решать уравнение $\tfrac{d^2}{dt^2}f+f=0.$

Спасибо за внимание, разговор с вами на этом заканчивается.

[Brukvalub]

Munin в сообщении #1134572 писал(а):

Brukvalub в сообщении #1134549

писал(а):
Так ведь вещественный полином сколь угодно высокой степени может совсем не иметь вещественных корней
и становится непонятно, как решать уравнение $\tfrac{d^2}{dt^2}f+f=0.$

Во дает! Какая-то дремучая невежественность..
Что же тут непонятного? Тривиально доказывается, что это уравнение уравнение имеет двумерное пространство решений, тривиально подбирается базис из синуса и косинуса. И никаких комплексных чисел для этого не нужно.

[Munin]

$P_n(\tfrac{d}{dt})\,f=0.$

Адью.

[Brukvalub]

Munin в сообщении #1134581 писал(а):

$P_n(\tfrac{d}{dt})\,f=0.$

Адью.

Всякий вещественный полином раскладывается над полем вещ. чисел в произведение линейных множителей и квадратичных множителей, не имеющих вещ. корней. Дальше объяснять?

[g______d]

Munin в сообщении #1134566 писал(а):

Меня убеждает точка зрения, что в "реальной жизни" интересны ситуации как раз неисключительные (но и нетривиальные).

Слишком наивно. Как будто $SU(100)$ интереснее, чем $SU(2)$ для приложений. Как раз группы малых размерностей интересны для физики в том числе и из-за случайных изоморфизмов.

Munin в сообщении #1134566 писал(а):

Например, структура самой теории, её сложность, её теоремы, факты и их взаимосвязи, связи теории с другими теориями математики, взгляд "сверху" (например, со стороны теории категорий), и т. п.

Не знаю, что ответить на такие общие слова. Любая дополнительная структура упрощает изучение объекта. Если на многообразии оказалась кватернионная структура (см. выше), то люди, которые ее используют при его изучении, получат преимущество над людьми, которые ее не используют.

-- Вт, 28 июн 2016 16:04:56 --

Brukvalub в сообщении #1134584 писал(а):

Всякий вещественный полином раскладывается над полем вещ. чисел в произведение линейных множителей и квадратичных множителей, не имеющих вещ. корней. Дальше объяснять?

$x^3-3x+1$. Ну т. е. понятно, что он раскладывается, но вы можете явно выписать разложение без использования комплексных чисел и тригонометрии?

[Brukvalub]

g______d в сообщении #1134587 писал(а):

$x^3-3x+1$. Ну т. е. понятно, что он раскладывается, но вы можете явно выписать разложение без использования комплексных чисел и тригонометрии?

Не уверен, что вы сможете это сделать с использованием комплексных чисел, тригонометрии и даже алгебр Клиффорда.

[g______d]

Brukvalub в сообщении #1134593 писал(а):

Не уверен, что вы сможете это сделать с использованием комплексных чисел, тригонометрии и даже алгебр Клиффорда.

Даже интересно, что вы имели в виду под "не сможете", см.

https://en.wikipedia.org/wiki/Casus_irr ... is#Example

[Brukvalub]

g______d в сообщении #1134600 писал(а):

Даже интересно, что вы имели в виду под "не сможете"

Тогда и я могу получить разложение "на коленке"! Напишу разложение в произведение линейного и квадратичного многочленов с неопределенными коэффициентами и "решу" соответствующую систему уравнений на коэффициенты.

[g______d]

Brukvalub в сообщении #1134637 писал(а):

"решу" соответствующую систему уравнений на коэффициенты.

Не понимаю, о чём вы. Система уравнений на коэффициенты после исключения всех переменных, кроме одной, сведётся к исходному кубическому уравнению. Тем не менее, разложение на три вещественных линейных множителя выписывается абсолютно явно с помощью комплексных радикалов, см. ссылку. Обозначения $\omega_k$ там введены несколькими строчками выше и тоже являются комплексными радикалами.

[Brukvalub]

Ладно, ладно, сдаюсь, вы победили!

[lek]

Соглашусь с репликами g______d. Простота конструкции не исключает фундаментальности объекта. Это относится и к кватернионам, имхо. Достаточно вспомнить теоремы Фробениуса о делимости и Гурвица-Альберта о нормируемости в алгебре, задачу о параллелизуемости сфер в геометрии и инстантонные решения уравнений Янга-Миллса в физике (хорошее изложение у Понтрягина в 4-м томе его Лекций по геометрии).

[Munin]

g______d в сообщении #1134587 писал(а):

Любая дополнительная структура упрощает изучение объекта. Если на многообразии оказалась кватернионная структура (см. выше), то люди, которые ее используют при его изучении, получат преимущество над людьми, которые ее не используют.

Ага. Ок.

g______d в сообщении #1134587 писал(а):

Как будто $SU(100)$ интереснее, чем $SU(2)$ для приложений. Как раз группы малых размерностей интересны для физики в том числе и из-за случайных изоморфизмов.

В этом смысле да.

Но с другой стороны, вот например, оказалось, что нельзя ограничиваться только $SU(2),$ оказались интересными и ценными и $SU(3),$ и $SU(5),$ и $SO(10),$ и кое-кто ещё... это, конечно, не $SU(100),$ но что-то вроде того. Кроме того, весьма интересны не конкретно $SU(100),$ но $SU(n)$ и $SO(n)$ при $n\gg 1.$ Чисто так, ворчу для педаньтизьму.

g______d в сообщении #1134587 писал(а):

$x^3-3x+1$.

Да ладно, написали бы сразу полином пятой степени.

Brukvalub в сообщении #1134584 писал(а):

Всякий вещественный полином раскладывается над полем вещ. чисел в произведение линейных множителей и квадратичных множителей, не имеющих вещ. корней. Дальше объяснять? :D

Нет, что вы. Всего лишь доказать этот факт. Без обращения к комплексным числам.

[g______d]

Munin в сообщении #1134717 писал(а):

Нет, что вы. Всего лишь доказать этот факт. Без обращения к комплексным числам.

Существует доказательство основной теоремы алгебры без обращения к комплексному анализу: http://math.stackexchange.com/questions ... of-algebra

Комплексные числа из него тоже можно изгнать, если доказывать не ОТА, а цитируемое утверждение.

Munin в сообщении #1134717 писал(а):

Да ладно, написали бы сразу полином пятой степени.

Тогда там бы просто корней в радикалах не было, ни в вещественных, ни в комплексных.

[Brukvalub]

g______d в сообщении #1134741 писал(а):

Тогда там бы просто корней в радикалах не было, ни в вещественных, ни в комплексных.

Разве ни у какого полинома 5-й степени не бывает корней в радикалах?

[g______d]

Brukvalub в сообщении #1134742 писал(а):

Разве ни у какого полинома 5-й степени не бывает корней в радикалах?

Разумеется, у некоторых бывает. Зависит от разрешимости группы Галуа, насколько я помню (если коэффициенты рациональны). Просто Munin понятно какой пример имел в виду.