Польза кватернионов

[arseniiv]

Казалось, что этот вопрос уже прояснился для меня, но всё равно спрошу. Есть ли у кватернионов применения, не сводящиеся к применениям алгебры Клиффорда $C\ell_n(\mathbb R)$ (или её подалгебры, или подгруппы по умножению группы её обратимых элементов) для $n=3$ (или какой-то ещё $C\ell_{p,q}(\mathbb R)$, у которой подалгебра, скажем, $\mathbb H\oplus\mathbb H$)? Отделил «для $n=3$», чтобы сказать, что всё должно с тем же успехом проворачиваемо и для других $n$. Т. е. есть ли какая-то польза собственно от кватернионов, или их уже можно с чистой совестью считать историей?

Попытки решения:
• Применение, бросающееся в глаза в компьютерной графике: банальные повороты и SLERP. Но (1) как я установил, в оптимизированной реализации от умножения кватернионов остаётся мало, (2) см. выше — в другой размерности это были бы не кватернионы, а подход работал бы примерно так же хорошо. Тут я просто думаю, что людям удобно наклеить на это всё ярлык из одного слова «кватернионы» — и нет, Диэдр упаси, не какая-нибудь там «группа спина», кто ж это поймёт, да и это на целое одно слово длиннее. А с точки зрения математики это вообще так себе «применение».
• Что-то слышал про кватернионный анализ. Думается, это тоже частный случай чего-то в общем случае более просто излагаемого, чьи другие частные случаи не менее интересны или полезны.
• Можно считать $\mathbb H$ хорошим примером разных алгебраических структур (тело, но не поле; такая-то алгебра над $\mathbb R$, etc.), но на основательность это не тянет.

[g______d]

Например, кватернионно-кэлеровы многообразия.

Но вообще почти такие же вопросы можно задать про $\mathbb C$, и часть аргументов про $\mathbb C$ переносится на кватернионы: например, $\mathbb C$ хорошо тем, что оно поле, а $\mathbb H$ — тем, что там есть деление.

Кватернионный анализ, правда, в данный момент довольно бесполезен, в отличие от.

Но в целом $\mathbb C$ хорошо тем, что про некоторые естественно встречающиеся двумерные вещи можно говорить, как про одномерные над $\mathbb C$. Точно так же с кватернионами и $4k$-мерными объектами, только таких естественно встречающихся гораздо меньше. При переходе на следующий уровень нужно платить какую-то цену (упорядоченность, коммутативность, ассоциативность, наличие деления), и в каждом конкретном случае есть некоторый баланс, какое именно кольцо скаляров самое удобное, если вообще есть какой-то выбор.

[arseniiv]

Спасибо за обсуждение.

g______d в сообщении #1134527 писал(а):

Но вообще почти такие же вопросы можно задать про $\mathbb C$, и часть аргументов про $\mathbb C$ переносится на кватернионы: например, $\mathbb C$ хорошо тем, что оно поле, а $\mathbb H$ — тем, что там есть деление.

g______d в сообщении #1134527 писал(а):

При переходе на следующий уровень нужно платить какую-то цену (упорядоченность, коммутативность, ассоциативность, наличие деления), и в каждом конкретном случае есть некоторый баланс, какое именно кольцо скаляров самое удобное, если вообще есть какой-то выбор.

Ну, мне казалось, что у $\mathbb C$ намно-ого больше всяких приятных свойств, чтобы, так сказать, считаться с ним. Например, вещи про функции на $\mathbb R$, становящиеся понятнее, если всё это погрузить в $\mathbb C$. Кажется, про $\mathbb H$ такого не слышал.

[Brukvalub]

В книге Л. Альфорса "Преобразования Мебиуса в многомерном пространстве" есть параграф, посвященный описанию группы Мебиуса $M(H^3)$ в терминах кватернионов. Альфорс считает, что это описание имеет "элегантную форму". Также кватернионы использованы в книге Грунвельд, Меннике, Эльстродт "Группы, действующие на гиперболическом пространстве" для описания модели гиперболической геометрии в единичном шаре.

[Munin]

g______d в сообщении #1134527 писал(а):

Но в целом $\mathbb C$ хорошо тем, что про некоторые естественно встречающиеся двумерные вещи можно говорить, как про одномерные над $\mathbb C$.

Насколько я помню, фишка была в том, что ряд вопросов, довольно сложных над $\mathbb{R},$ оказывался проще, систематичнее и "естественнее" над $\mathbb{C}.$ А вот в сторону $\mathbb{H}$ такого упрощения уже не происходит. То есть, $\mathbb{C}$ в каком-то смысле "оптимум".

[Brukvalub]

Munin в сообщении #1134539 писал(а):

Насколько я помню, фишка была в том, что ряд вопросов, довольно сложных над $\mathbb{R},$ оказывался проще, систематичнее и "естественнее" над $\mathbb{С}.$

Каких вопросов?

[g______d]

arseniiv в сообщении #1134533 писал(а):

Например, вещи про функции на $\mathbb R$, становящиеся понятнее, если всё это погрузить в $\mathbb C$.

Именно с точки зрения анализа они мало полезны. Но есть другие вещи из алгебры и геометрии.

[Munin]

Brukvalub в сообщении #1134540 писал(а):

Каких вопросов? :shock:

Начнём с числа корней полинома $n$-й степени. (Он же потом используется в дифференциальных уравнениях, например.)

[Brukvalub]

Munin в сообщении #1134546 писал(а):

Начнём с числа корней полинома $n$-й степени.

Так ведь вещественный полином сколь угодно высокой степени может совсем не иметь вещественных корней, и что здесь проясняет "его подгружение" в комплексную плоскость?

[arseniiv]

Brukvalub
Спасибо, когда-нибудь загляну в них посмотреть.

[g______d]

Munin в сообщении #1134539 писал(а):

А вот в сторону $\mathbb{H}$ такого упрощения уже не происходит. То есть, $\mathbb{C}$ в каком-то смысле "оптимум".

Зависит от целей. Например, $\mathbb H$ проще устроено с точки зрения $\mathbb H$, чем с точки зрения $\mathbb R$ и $\mathbb C$.

Вообще, тут есть некоторый концептуальный момент. В ситуациях с наличием классификации (например, группы Ли, алгебры Ли, алгебры Клиффорда, конечные простые группы и т. п.) типичные ситуации — это "случаи общего положения" (например, бесконечные серии алгебр Ли $A$, $B$, $C$, $D$), "случайные изоморфизмы в малых размерностях" (например $SU(2)$ и $Spin(3)$) и "исключительные ситуации" (например, $E_n$ или алгебры Клиффорда с делением).

Как правило, наиболее интересны в "реальной жизни" нетривиальные исключительные ситуации.

[alcoholist]

arseniiv
со страницы 31
http://www.mccme.ru/free-books/izdano/2002/VIA-kvatern.pdf
[url][/url]

[g______d]

Brukvalub в сообщении #1134540 писал(а):

Каких вопросов?

Например, вычисление функции от матрицы.

Но в целом вопрос, на которые вы отвечаете, задан слишком поверхностно, — понятно, что на любой вопрос, использующий алгебраическую замкнутость, ответ будет проще в алгебраически замкнутом поле.

[Munin]

g______d в сообщении #1134556 писал(а):

Зависит от целей. Например, $\mathbb H$ проще устроено с точки зрения $\mathbb H$, чем с точки зрения $\mathbb R$ и $\mathbb C$.

:-)
Нет, я как раз про о, что есть что-то кроме "точек зрения $\mathbb{H},\mathbb{C}$ и $\mathbb{R}$". Например, структура самой теории, её сложность, её теоремы, факты и их взаимосвязи, связи теории с другими теориями математики, взгляд "сверху" (например, со стороны теории категорий), и т. п.

g______d в сообщении #1134556 писал(а):

Как правило, наиболее интересны в "реальной жизни" нетривиальные исключительные ситуации.

Меня убеждает точка зрения, что в "реальной жизни" интересны ситуации как раз неисключительные (но и нетривиальные).

[Brukvalub]

Кстати, был у меня маленький казус: в молодости я порылся в литературе, не нашел подобного и тогда сам придумал описание Мебиусовой группы движений многомерных гиперболических пространств в терминах алгебр Клиффорда по аналогии с кватернионным описанием. И даже выступил с секционным докладом на эту тему на одной конференции...
После доклада ко мне подошел один иностранный коллега и сказал, что недавно в США в университете округа Колумбия его ученик защитил диссертацию с аналогичными результатами. Просто результаты диссертации были опубликованы совсем недавно и не все, да еще и в каких-то малодоступных журналах. Вот позорище-то был! Этот коллега не поленился и позже даже выслал мне текст той диссертации. Так что и алгебры Клиффорда тоже имеют нетривиальные геометрические приложения.