Криволинейный интеграл. Параметрическая функция.

[Alexandr Letov]

Оговорюсь сразу. У меня проблемы не столько с интегралами, сколько с "общими" примерами(без конкретных цифр) и, немного, со "школьной" математикой, в силу того, что оная была года 4 назад.

Задача: Найти массу части эллипса $x = a\cos(t), y = b\sin(t)$. Расположенной в первой четверти, если плотность в каждой его точке равна ординате этой точки.

$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}b\sin t\sqrt{a^2\sin^2t+b^2\cos^2t}dt = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}b\sin t\sqrt{a^2+\cos^2t(b^2-a^2)}dt$
А вот дальше как?
Напрашивается замена $\cos(t) = u$, тогда (вроде пределы интегрирования правильно поменял):
$-b\int\limits_{1}^{0}$\sqrt{a^2+u^2(b^2-a^2)}du$
Вот тут главная загвоздка.
Мне предложили воспользоваться этой формулой: $\int\sqrt{x^2\pm a^2}dx =$ "какая-то разновидность длинного логарифма".
Но. Во первых тут при $u^2$ стоит "лишний коэффициент". Мне посоветовали вынести его из-под корня, но как это сделать я не понимаю.
Во вторых: среди формул, которые нам давал лектор, этой нет. А на семинарах он нам запрещает пользоваться теми формулами, которые он не давал. Обосновывая это тем, что "Я дал вам необходимый минимум формул. Если у вас получается что-то похожее на формулу, которую я не давал, то ищите другие пути решения." Что я и сказал советчику.
Тогда мне посоветовали взять интеграл по частям.
Формула интегрирования по частям, насколько я помню, выглядит так: $uv - \int vdu$
Но тогда под интегралом получится что-то вроде:$\frac{dv}{2\sqrt{a^2+u^2(b^2-a^2)}}$
...как-то странно отображается... это должна была быть дробь с dv в числителе
Что возвращает нас к "во первых" - как избавиться от лишнего коэффициента при $u^2$.
Если ответ "вынести его из под корня", то объясните, пожалуйста, как это сделать.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Следите за тем, чтобы каждая формула начиналась и заканчивалась на знак доллара.

\sin t, \cos t и т.д.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Brukvalub]

Alexandr Letov в сообщении #1122343 писал(а):

если плотность в каждой его точке равна ординате этой точки.

Alexandr Letov в сообщении #1122343 писал(а):

$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}b\sint\sqrt{a^2\sin^2t+b^2\cos^2t}dt = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}b\sint\sqrt{a^2+\cos^2t(b^2-a^2)}dt$
А вот дальше как?

А плотность-то где?

[Lia]

Вернулась. Это я неудачно поправила.

[StaticZero]

Alexandr Letov в сообщении #1122343 писал(а):

как это сделать.

Равны ли тождественно два следующих выражения? Обоснуйте ответ.

$$ \dfrac{1}{\sqrt{8 + 9x^2}} \ \text{и} \ \dfrac{1}{3 \sqrt{\dfrac{8}{9} + x^2}}.$$

[Lia]

StaticZero
Это не самая большая проблема.

[StaticZero]

Lia в сообщении #1122383 писал(а):

Это не самая большая проблема.

(Оффтоп)

Сразу пинать ТСа по поводу неравенств не хотел.

[Alexandr Letov]

StaticZero, тождественны, поскольку вынося девятку сначала за скобку мы, по сути, делим кажое слагаемое на неё. Поскольку восемь на девять нацело не делится, получается дробь. Потом из девятки извлекается корень в виде тройки, поскольку корень из произведения равен произведению корней.

Но тогда, в моём случае, получается :$\sqrt{(b^2-a^2)(\frac{a^2}{b^2-a^2}+u^2)}$, но ведь первую скобку из под корня нельзя вынести, там же сумма квадратов, а не общий квадрат. А "лишний" коэффициент просто "переехал" к $a^2$.

А интеграл действительно надо брать по частям? Я попробовал и получилось что в числителе к получится $u^2dv$.
$-b(u\sqrt{a^2+u^2(b^2-a^2)}-\int\limits_{1}^{0}\frac{u^2du}{\sqrt{a^2+u^2(b^2-a^2)}})$
Или я опять где-то ошибся?

[Otta]

Как Вы последний интеграл считали? посчитайте внимательнее.
Ну и добавьте-вычтите в числителе, чтобы он хорошо на знаменатель разделился. Ну и порядок наведите (почему первое слагаемое - не разность от нуля до 1?). Ну и т.д.
Интеграл сведется к круговому.

И перестаньте уже $dv$ писать, пожалуйста, откуда ему тут сейчас быть?

Замечание: существенной может оказаться информация о том, какая полуось эллипса больше.

[Alexandr Letov]

Мда... написал как надо сделать и в следующем же предложении написал что так сделать нельзя...

Цитата:

первую скобку из под корня нельзя вынести,

Можно ведь сделать то самое произведение корней и корень с левой скобкой вынести из под интеграла, как константу. Правильно?

Цитата:

почему первое слагаемое - не разность от нуля до 1?

Там должна была стоять "палочка" с пределами подстановки, но я не нашёл как её поставить.

Цитата:

существенной может оказаться информация о том, какая полуось эллипса больше.

В задании об этом не сказано. В ответе - большая больше малой.

Otta в сообщении #1122433 писал(а):

посчитайте внимательнее

Ну-с поехали.
$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}b\sin t \sqrt{a^2\sin^2t+b^2\cos^2t}dt =$ $\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}b\sin t \sqrt{a^2+\cos^2t(b^2-a^2)}dt =$ $\left\{ \begin{array}{rcl} \cos t = x \\ dx = -\sin tdt \\ \end{array} \right\rbrace =$ $-b\int\limits_{1}^{0}\sqrt{a^2+x^2(b^2-a^2)}dx = $ берём по частям. Формула:
$uv - \int vdu$
$\left\{ \begin{array}{rcl} u = \sqrt{a^2+x^2(b^2-a^2)}\\ dv= dx \to v = x \\ \end{array} \right\rbrace$
$-b(x\sqrt{a^2+x^2(b^2-a^2)}\rvert\limits_{1}^{0} - \int\limits_{1}^{0}\frac{x(b^2-a^2)dx}{\sqrt{a^2+x^2(b^2-a^2)}})$

В этот раз, вроде, нигде не ошибся.

Считаем "левую часть"
$0\sqrt{a^2+0^2(b^2-a^2)} - 1\sqrt{a^2+1^2(b^2-a^2)} = 0-\sqrt{b^2} = -b$
Хм. Если внести $-b$ которое перед скобкой, то получится $b^2$, а в ответе первое слагаемое $\frac{b^2}{2}$.

Так. Отправлю это - вдруг где ошибся.
Попробую "взять" интеграл из "правой части".

[Alexandr Letov]

(Оффтоп)

Цитата:

Вы больше не можете редактировать\удалять это сообщение

ну ой. Тогда новым отправлю.

Нужны дополнительные объяснения.

Otta в сообщении #1122433 писал(а):

Ну и добавьте-вычтите в числителе, чтобы он хорошо на знаменатель разделился.

Сам приём, как таковой, я знаю. Как сделано, например, следующее преобразование мне понятно:
$\int\frac{dx}{(x^2+1)^2} = \int\frac{(x^2+1-x^2)dx}{(x^2+1)^2}$
Но мне мешает то, что в числителе $a^2$, а в знаменателе $b^2-a^2$
Если бы в числителе тоже был минус... а можно всё подкоренное выражение домножить на $-1$?

[Otta]

Теперь последний интеграл криво посчитали.

[Alexandr Letov]

Otta в сообщении #1122585 писал(а):

Теперь последний интеграл криво посчитали.

Я же его ещë не считал. Или вы имеете в виду, что я по частям неправильно взял?
Пересчитал. Не нашëл ошибки... Можете сказать в каком конкретно действии я ошибся?

[Otta]

$du$ чему равно?