Вопросы про радиационное затухание. (Фейнман, глава 32)

[se-sss]

Здравствуйте!
У меня есть несколько вопросов по главе 32.
http://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_32.html

1) Формула 32.5 выражает мгновенную мощность излучения, проходящего через сферу радиуса $r$, через запаздывающее ускорении $a'$.
Собственно эту же формулу, записанное просто через ускорение (не запаздывающее) можно отождествить просто с мгновенным излучением.
Собственно, об этом далее и говорится, но с оговорками:

Цитата:

We might like to say that this energy was in fact liberated at this earlier time.
This is not exactly true; it is only an approximate idea.
The exact time when the energy is liberated cannot be defined precisely.

Но вот что ему не нравится, я так до конца не понимаю.
Например для обычного трения о плоскость мы тоже можем ввести мгновенную мощность и это тоже будет "approximate idea",
так как если детально рассматривать малые промежутки времени, то там тоже картина будет непростая, но мы успешно пользуемся
приближением.
Может кто-нибудь подробнее сказать, что не так?

2) Этот вопрос вызван задачей из задачника к этой главе и, возможно, этот и последующий вопросы частично cами отвечают на первый.
Есть мгновенная мощность, расходуемая на радиационное трение, значит можно выразить и радиационную силу трения.

Пусть движение идёт только вдоль оси $x$.
Мгновенная мощность излучения:
$P=\frac{q^2\ddot{x}^2}{6\pi\varepsilon_0c^3}$
( собственно формула 32.5 уже без всяких запаздываний).

Теперь находим силу радиационного трения $F_{rad.fric.,x}$.

Как и с обычным трением получаем:
$P=-F_{rad.fric.,x}\dot{x}$

Отсюда $F_{rad.fric.,x}=-\frac{P}{\dot{x}}=-\frac{q^2\ddot{x}^2}{6\pi\varepsilon_0c^3\dot{x}}$

Когда у меня была теоретическая механика, мне рассказывали, что сила зависит только от координаты и скорости.
Мне было интересно:"А почему нет?"
Но примера не было. Теперь есть.
Что делать с теормехом?

3) Теперь рассмотрим заряд, летящий в свободном пространстве.
2-й закон Ньютона:

$m\ddot{x}=F_{rad.fric.,x}=-\frac{q^2\ddot{x}^2}{6\pi\varepsilon_0c^3\dot{x}}$,
далее $\ddot{x}(m+\frac{q^2\ddot{x}}{6\pi\varepsilon_0c^3\dot{x}})=0$.
Одно решение тривиально: $\ddot{x}=0$, т.е. движение с постоянной скоростью.
Другое решение: $q^2\ddot{x}=-6\pi\varepsilon_0mc^3\dot{x}$.
Это является движением с торможением:
$\dot{x}=\dot{x_0}e^{-\frac{6\pi\varepsilon_0mc^3}{q^2}t}$.

Имеет ли какой-то физический смысл это решение?
Если рассматривать задачу на уровне на уровне испускания отдельных фотонов, то законы сохранения энергии и импульса
требуют сверхсветовой скорости электрона, чтобы он мог испустить фотон.
Но здесь не рассматриваются фотоны и вроде всё хорошо, так что излучение свободно летящего электрона можно считать предсказание теории в данном изложении.

(Оффтоп)

Ну я и накатал! Кто же это будет читать?

Заранее спасибо за комментарии.

[amon]

se-sss в сообщении #1114535 писал(а):

Отсюда $F_{rad.fric.,x}=-\frac{P}{\dot{x}}=-\frac{q^2\ddot{x}^2}{6\pi\varepsilon_0c^3\dot{x}}$

А Вас не смущает, что если скорость ноль, то сила бесконечная? Я Вам открою страшную тайну. Если силу радиационного трения сосчитать аккуратно, то окажется, что она в первом приближении пропорциональна не второй, а третьей производной координаты. (См. Ландау, Лившиц т. 2 параграф 75 "Торможение излучением"). Как быть с классической механикой? Считать, что это выражение для радиационного трения приближенное (а так оно и есть), и подставлять в него производные скорости, полученные без учета радиационного трения.

Фейнман эти тонкости обходит - ему нужно показать, что в классической механике-электродинамике атом неустойчив, что он и делает, надув при этом почтенную публику раза два, а может и больше. Посему, мой совет - из этого параграфа запомнить про неустойчивость, а все остальное близко к сердцу не принимать. Радиационное трение в классике - материя тонкая, и находится на грани фола (применимости классической механики и электродинамики).

[svv]

se-sss в сообщении #1114535 писал(а):

Может кто-нибудь подробнее сказать, что не так?

Итак, две величины: 1) мощность излучения, оцениваемая по силе радиационного трения на частицу в запаздывающий момент $t'$ и 2) мощность излучения, оцениваемая по потоку ЭМ энергии через большую сферу в момент $t$. Чтобы пошатнуть Вашу веру в прямую связь этих двух величин, прошу Вас найти книгу:
Р.Пайерлс. Сюрпризы в теоретической физике
— и посмотреть начало пункта 8.1, особенно вокруг фразы «Однако очевидно также, что это не есть правильное выражение для мгновенной скорости потери энергии заряженным телом».

amon в сообщении #1114584 писал(а):

А Вас не смущает, что если скорость ноль, то сила бесконечная?

Вот, и Пайерлс о том же.

[rustot]

По-моему, чтобы не было возможности ошибиться, нужно рассматривать ускорение с возвратом к прежней скорости, тогда и смотреть на сколько изменилась суммарная энергия поля за всю эту операцию. Иначе безвозвратные потери на "трение" с временными обратимыми затратами на изменение энергии поля легко смешать

[se-sss]

Всем спасибо.
Все эти формулы приближённые. У Пайерсла это и сказано. Так же описаны условия перехода к формуле, как у Ландау (т.е. сила пропорциональна 3-й производной).
Впрочем последняя формула обладает даже ещё лучшим спецэффектом: свободный заряд может разгоняться сам по себе, что, естественно, следствие приближённого описания, а не реальный эффект.
А наиболее адекватны они "в среднем", например в циклических процессах.

[svv]

На мой взгляд, дело не только в приближенности (я имею в виду формулу Фейнмана). На больших расстояниях от заряда выражение для поля в дальней зоне становится всё точнее, но от этого соответствующий интеграл по сфере всё большего радиуса не стремится к мощности силы радиационного трения в запаздывающий момент.

А дело в том, что существует ближняя зона, в которой запасается некоторая энергия, и баланс прихода и расхода соблюдается лишь в среднем.

-- Ср апр 13, 2016 14:25:32 --

rustot в сообщении #1114637 писал(а):

Иначе безвозвратные потери на "трение" с временными обратимыми затратами на изменение энергии поля легко смешать

По-моему, rustot говорит о том же.

[Munin]

И что хуже всего, для точечного заряда эта "некоторая энергия" бесконечна.

[svv]

Ничего, для практики имеет значение лишь $\infty(t_2)-\infty(t_1)$

[Munin]

Ага, а вот её как раз и не получается внятно вычислить :-) Точнее, вычисление разными способами даёт разные результаты.

Например, если побустить частицу на некоторую скорость, то $\infty$ превратится в $\gamma\infty.$ И спрашивается, где взять на это деньги?

[Walker_XXI]

Некоторые интересные замечания по радиационному трению можно найти у В.Л.Гинзбурга в книге "Теоретическая физика и астрофизика. Дополнительные главы".

А вопрос

se-sss в сообщении #1114535 писал(а):

Когда у меня была теоретическая механика, мне рассказывали, что сила зависит только от координаты и скорости.
Мне было интересно:"А почему нет?"
Но примера не было. Теперь есть.
Что делать с теормехом?

перекликается с замечанием В.И. Арнольда в "Математических методах классической механики" (буквально в первом параграфе):

Принцип детерминированности Ньютона. Начальное состояние механической системы (совокупность положений и скоростей точек системы в какой-нибудь момент времени) однозначно определяет всё её движение.
Мы не успеваем удивиться этому факту, так как узнаём его очень рано. Можно представить себе мир, в котором для определения будущего системы нужно в начальный момент знать также и ускорения. Опыт показывает, что наш мир не таков.

[Munin]

Кстати, несколько статей Гинзбурга в УФН были посвящены излучению равноускоренного заряда.

[peregoudov]

Тема интересная, но сложная.

se-sss в сообщении #1114535 писал(а):

1) Формула 32.5 выражает мгновенную мощность излучения, проходящего через сферу радиуса $r$, через запаздывающее ускорении $a'$.

Распространенная точка зрения на излучение --- это то, что имеет ненулевой поток на бесконечности. Если вы только после ухода энергии в бесконечность способны определить, что она излучилась, то о точном "времени излучения", действительно, трудно говорить. Еще труднее доказывать, что излучение --- факт абсолютный, не зависящий от ИСО.

se-sss в сообщении #1114535 писал(а):

Но вот что ему не нравится, я так до конца не понимаю.

Думаю, это ему и не нравится.

На самом деле излучение можно определить локально и лоренц-инвариантно, и время излучения, и мощность --- в общем, все. То, что Фейнман об этом не пишет, а говорит о приближенности --- это, мне кажется, из-за того, что соответствующие работы появились позже, чем этот фейнмановский текст. Ну, или они просто не были Фейнману в достаточной степени известны. Там фамилии Фултон и Рорлих, если мне не изменяет память.

Суть же в том, что скорость передачи 4-импульса излучению равна произведению 4-скорости на квадрат 4-ускорения (плюс еще множитель типа 2/3). Эта штука очевидно лоренцев вектор. И всякий, наважно как, ускоренный заряд излучает. Но эта штука не равна обычно принимаемому выражению для силы радиационного трения. То есть обычно принимаемое выражение для силы радиационного трения состоит из двух частей: собственно радиационного трения (передача импульса излучению) и передачи импульса связанному полю.

Такая точка зрения подкрепляется замечательным наблюдением, которого я не видал нигде, кроме как в одной работе в архиве. Запаздывающие поля имеют склаганмые, линейные по ускорению, и не зависящие от ускорения. Соответственно тензор энергии-импульса, квадратичный по полям, содержит слагаемые, квадратичные, линейные и не зависящие от ускорения. Так вот, слагаемые, квадратичные по ускорению, сохраняются сами по себе --- их 4-дивергенция равна нулю вне мировой линии заряда, а на ней --- сюрприз! --- в точности сводится к произведению 4-скорости на квадрат 4-ускорения, то есть собственно радиационному трению.

Таким образом, нет нужды ждать, пока энергия уйдет на бесконечность: потоки энергии излучения и связанного поля независимы и излучение отделяется от заряда прямо в той точке, где находится заряд.

amon в сообщении #1114584 писал(а):

Считать, что это выражение для радиационного трения приближенное (а так оно и есть)

Это очень спорное утверждение. Есть работа Дирака 1938 года (как мне сказали, ее очень не любят американцы), где предложен оригинальный способ вывода уравнения с радиационным трением, так называемого уравнения Лоренца---Абрагама---Дирака (ЛАД). Дирак предложил не мучаться с моделью электрона, а просто окружить мировую линию трубкой и смотреть потоки 4-импульса через эту трубку. И в рамках такого подхода хорошо видно, что ЛАД является как раз точным.

Кроме того, поток квадратичного по ускорению члена в тензоре энергии-импульса оказывается пропорционален все тому же произведению 4-скорости на квадрат 4-ускорения, а поток остальных членов (связанного поля) --- снова сюрприз! --- выражается
только через 4-скорость на концах трубки (но не через значения во внутренних точках).

se-sss в сообщении #1114535 писал(а):

Что делать с теормехом?

rustot в сообщении #1114637 писал(а):

По-моему, чтобы не было возможности ошибиться, нужно рассматривать ускорение с возвратом к прежней скорости, тогда и смотреть на сколько изменилась суммарная энергия поля за всю эту операцию.

Ну, прямо к прежней скорости не обязательно, но у меня тоже есть идея, что обычная начальная задача для ЛАД не вполне адекватна и надо, скорее, ставить задачу рассеяния.

[Munin]

peregoudov в сообщении #1115049 писал(а):

На самом деле излучение можно определить локально и лоренц-инвариантно, и время излучения, и мощность --- в общем, все. То, что Фейнман об этом не пишет, а говорит о приближенности --- это, мне кажется, из-за того, что соответствующие работы появились позже, чем этот фейнмановский текст. Ну, или они просто не были Фейнману в достаточной степени известны. Там фамилии Фултон и Рорлих, если мне не изменяет память.

Суть же в том, что скорость передачи 4-импульса излучению равна произведению 4-скорости на квадрат 4-ускорения (плюс еще множитель типа 2/3). Эта штука очевидно лоренцев вектор. И всякий, наважно как, ускоренный заряд излучает. Но эта штука не равна обычно принимаемому выражению для силы радиационного трения. То есть обычно принимаемое выражение для силы радиационного трения состоит из двух частей: собственно радиационного трения (передача импульса излучению) и передачи импульса связанному полю.

Такая точка зрения подкрепляется замечательным наблюдением, которого я не видал нигде, кроме как в одной работе в архиве. Запаздывающие поля имеют склаганмые, линейные по ускорению, и не зависящие от ускорения. Соответственно тензор энергии-импульса, квадратичный по полям, содержит слагаемые, квадратичные, линейные и не зависящие от ускорения. Так вот, слагаемые, квадратичные по ускорению, сохраняются сами по себе --- их 4-дивергенция равна нулю вне мировой линии заряда, а на ней --- сюрприз! --- в точности сводится к произведению 4-скорости на квадрат 4-ускорения, то есть собственно радиационному трению.

Всё это очень интересно. Не приведёте ли конкретных ссылок, чтобы почитать поподробней?

[arbuz]

peregoudov в сообщении #1115049 писал(а):

На самом деле излучение можно определить локально и лоренц-инвариантно, и время излучения, и мощность --- в общем, все.

Можно ли лоренц-инвариантно определить вектор Пойнтинга?
Я видел работы на эту тему, но не обнаружил единого мнения у разных авторов.
Существует ли единое мнение о том, когда вектор Пойнтинга перестает работать?

[Munin]

arbuz в сообщении #1115772 писал(а):

Можно ли лоренц-инвариантно определить вектор Пойнтинга?

См. ЛЛ-2 § 33.
И не позорьтесь больше такими вопросами.