Проблемы с задачей в Maple

[PSP]

Привет всем.
Пытаюсь в Maple решить следующую задачу :

Имеются дробно-линейные преобразования вида :

$$x'=\frac{a_{11}x+a_{12}y+a_{1}}{b_{1}x+b_{2}y+b} $$

$$y'=\frac{a_{21}x+a_{22}y+a_{2}}{b_{1}x+b_{2}y+b}$$

У этих преобразований имеются неподвижные точки,т.е.

$$x'= x ,y'= y $$

Пытаюсь их найти,вот код :

  restart; e:=solve({x=(a[11]*x+a[12]*y+a[1])/(b[1]*x+b[2]*y+b),y=(a[21]*x+a[22]*y+a[2])/(b[1]*x+b[2]*y+b)},{x,y});  

Задача решается, но в решении появляется функция

   RootOf   

.
Не могу найти её конкретный вид.
А с другой стороны ,применение оператора

 allvalues(e);  

делает решение совершенно необозримым.
Хотя бы понять, сколько неподвижных точек получается ?
Может ли кто помочь ?

[Vince Diesel]

Математика выдает 3 точки, координаты каждой – огромная простыня из коэффициентов. Выражения содержат корни, так что сколько там действительных точек...

-- Чт апр 07, 2016 14:29:03 --

На нескольких наборах конкретных коэффициентов получилось по три действительных решения.

[PSP]

Vince Diesel в сообщении #1113012 писал(а):

Математика выдает 3 точки, координаты каждой – огромная простыня из коэффициентов. Выражения содержат корни, так что сколько там действительных точек...

-- Чт апр 07, 2016 14:29:03 --

На нескольких наборах конкретных коэффициентов получилось по три действительных решения.

А какие корни? квадратные?Кубические ?
Можно наложить условия,чтоб они были действительными?

Если ещё на точки наложить условия,что расстояние между ними равны L ,насколько это уменьшит простыню из коэффициентов?

[DLL]

Я так понимаю, вас интересует общий случай параметров (a_11, a_12, b_11 и так далее...) или они известные числа?

[PSP]

DLL в сообщении #1113052 писал(а):

Я так понимаю, вас интересует общий случай параметров (a_11, a_12, b_11 и так далее...) или они известные числа?

Да,интересует общий случай параметров (a_11, a_12, b_11 и так далее...).
На них в дальнейшем ложатся ограничения :
1.Чтоб неподвижные точки были вещественны.
2.Чтоб расстояние между неподвижными точками было одно - L.
Далее может быть ещё пара требований для сужения связей между этими параметрами.

[Vince Diesel]

PSP в сообщении #1113020 писал(а):

А какие корни? квадратные?Кубические ?

И те и другие. В примерах координаты получаются корнями кубических уравнений.

PSP в сообщении #1113020 писал(а):

Если ещё на точки наложить условия,что расстояние между ними равны L ,насколько это уменьшит простыню из коэффициентов?

Так это будут уже условия на коэффициенты. К двум уравнениям добавятся еще два, а коэффициенты войдут в число неизвестных. Так что исходные простыни надо вычитать, возводить в квадрат, складывать и приравнивать. Учитывая, что это выражения с корнями, меньше от этого они могут стать только чудом

[PSP]

Vince Diesel в сообщении #1113073 писал(а):

PSP в сообщении #1113020 писал(а):

А какие корни? квадратные?Кубические ?

И те и другие. В примерах координаты получаются корнями кубических уравнений.

PSP в сообщении #1113020 писал(а):

Если ещё на точки наложить условия,что расстояние между ними равны L ,насколько это уменьшит простыню из коэффициентов?

Так это будут уже условия на коэффициенты. К двум уравнениям добавятся еще два, а коэффициенты войдут в число неизвестных. Так что исходные простыни надо вычитать, возводить в квадрат, складывать и приравнивать. Учитывая, что это выражения с корнями, меньше от этого они могут стать только чудом

Тут я с Вами согласен.
Надеюсь,что с помощью компьютера задача решаема...Дело ведь только в количестве математических операций...
Впрочем,надеюсь, и чудеса бывают...
Конечная же цель - решить такую задачу для 4-х мерного пространства.

[arseniiv]

Так я ж рассказывал в другой теме: фиксированным точкам этих преобразований соответствуют собственные подпространства определённых матриц $3\times3$ (одномерному — точка, двумерному — прямая, трёхмерному — вся плоскость). Для их нахождения есть методы, и численные тоже — и, может быть, именно они и нужны?

-- Чт апр 07, 2016 22:25:33 --

И, если вы до сих пор ищете подгруппу проективных преобразований, которой вы так и не дали определение, это не тот путь, которым стоит идти. Если он вообще приведёт куда-нибудь.

[PSP]

arseniiv в сообщении #1113108 писал(а):

Так я ж рассказывал в другой теме: фиксированным точкам этих преобразований соответствуют собственные подпространства определённых матриц $3\times3$ (одномерному — точка, двумерному — прямая, трёхмерному — вся плоскость). Для их нахождения есть методы, и численные тоже — и, может быть, именно они и нужны?

-- Чт апр 07, 2016 22:25:33 --

И, если вы до сих пор ищете подгруппу проективных преобразований, которой вы так и не дали определение, это не тот путь, которым стоит идти. Если он вообще приведёт куда-нибудь.

Вы не понимаете.Тут не линейные преобразования, а дробно-линейные. И многомерные.Тут группа Кремона, а не $\mathrm{PGL}(3,\mathbb R)$. Сия группа есть подгруппа группы Кремона.
Задача целевая следующая :
1.Найти в 3х-мерном пространстве подгруппу дробно-линейных преобразований такие,между неподвижными точками коих расстояние L -фиксированно.
2.Найти инварианты для этих преобразований.

[Vince Diesel]

PSP в сообщении #1113020 писал(а):

Можно наложить условия,чтоб они были действительными?

Это надо считать дискриминант кубического уравнения. Получится однородный многочлен 12 порядка от всех коэффициентов. Вероятно, условие равенства расстояний тоже является корнем многочлена (системы) высокого прядка. Только корни могут не выражаться алгебраически через коэффициенты.

[PSP]

Vince Diesel в сообщении #1113123 писал(а):

PSP в сообщении #1113020 писал(а):

Можно наложить условия,чтоб они были действительными?

Это надо считать дискриминант кубического уравнения. Получится однородный многочлен 12 порядка от всех коэффициентов. Вероятно, условие равенства расстояний тоже является корнем многочлена (системы) высокого прядка. Только корни могут не выражаться алгебраически через коэффициенты.

Нда...Остаётся надеяться,что случиться чудо и они будут выражаться алгебраически....
Не лезть же в эллиптические и гиперэллиптические функции...

[arseniiv]

PSP в сообщении #1113121 писал(а):

Вы не понимаете.Тут не линейные преобразования, а дробно-линейные. И многомерные.

Я не понимаю, а вы, в свою очередь, не читали про проективную группу и однородные координаты. Почитайте: Кострикин, Основы алгебры, ч. 2: Линейная алгебра, гл. 5, §3.

-- Чт апр 07, 2016 22:50:06 --

Или можете игнорировать очевидную связь, разумеется.

[PSP]

arseniiv в сообщении #1113130 писал(а):

PSP в сообщении #1113121 писал(а):

Вы не понимаете.Тут не линейные преобразования, а дробно-линейные. И многомерные.

Я не понимаю, а вы, в свою очередь, не читали про проективную группу и однородные координаты. Почитайте: Кострикин, Основы алгебры, ч. 2: Линейная алгебра, гл. 5, §3.

-- Чт апр 07, 2016 22:50:06 --

Или можете игнорировать очевидную связь, разумеется.

Да,вы правы,сие имеет отношение к моей задаче.
А нужную подгруппу я определил.
Фиксированное расстояние между неподвижными точками.

[arseniiv]

PSP в сообщении #1113121 писал(а):

Задача целевая следующая :
1.Найти в 3х-мерном пространстве подгруппу дробно-линейных преобразований такие,между неподвижными точками коих расстояние L -фиксированно.

В теме «Подгруппа дробно-линейных преобразований» я привёл пример двух преобразований с одинаковыми двумя неподвижными точками, у композиции которых появляется новая, а через пару старых проводится целая «неподвижная прямая». Как тут расстояние будем отмерять?

[PSP]

arseniiv в сообщении #1113151 писал(а):

PSP в сообщении #1113121 писал(а):

Задача целевая следующая :
1.Найти в 3х-мерном пространстве подгруппу дробно-линейных преобразований такие,между неподвижными точками коих расстояние L -фиксированно.

В теме «Подгруппа дробно-линейных преобразований» я привёл пример двух преобразований с одинаковыми двумя неподвижными точками, у композиции которых появляется новая, а через пару старых проводится целая «неподвижная прямая». Как тут расстояние будем отмерять?

Значит, ваш пример не относится к искомой подгруппе.