2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Эквивалентность топологий, порождаемых разными метриками
Сообщение24.12.2011, 16:08 


24/12/11
4
Как доказать что топологии, пораждаемые на $R^n$ различными метриками, например $p_1$, $p_2$ и $p_∞$, совпадают? Есть мысль доказательства с использованием определения базы, но не могу понять как строго это доказать. Возможно до меня не доходит суть понятия метризации.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эквивалентность топологии
Сообщение24.12.2011, 18:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14267
Новомосковск
Там же есть оценки типа $A\|\vec a\|_{p_1}\leqslant\|\vec a\|_{p_2}\leqslant B\|\vec a\|_{p_1}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эквивалентность топологии
Сообщение24.12.2011, 19:01 


10/02/11
6786
Шефер Топологические векторные пространства

 Профиль  
                  
 
 Re: Эквивалентность топологии
Сообщение24.12.2011, 19:05 


19/05/10
3820
Россия
TILL в сообщении #519270 писал(а):
Как доказать что топологии, пораждаемые на $R^n$ различными метриками ...


Никак, не метриками, а нормами

 Профиль  
                  
 
 Re: Эквивалентность топологии
Сообщение24.12.2011, 19:20 


10/02/11
6786
mihailm в сообщении #519332 писал(а):
TILL в сообщении #519270 писал(а):
Как доказать что топологии, пораждаемые на $R^n$ различными метриками ...


Никак, не метриками, а нормами

и метриками тоже, ссылка дана, образовывайтесь

 Профиль  
                  
 
 Re: Эквивалентность топологии
Сообщение24.12.2011, 19:33 


14/07/10
206
Oleg Zubelevich в сообщении #519337 писал(а):
mihailm в сообщении #519332 писал(а):
TILL в сообщении #519270 писал(а):
Как доказать что топологии, пораждаемые на $R^n$ различными метриками ...


Никак, не метриками, а нормами

и метриками тоже, ссылка дана, образовывайтесь


Неужели метрика
$
\rho(x,y) = \begin{cases}
1, \text{ если } x \ne y,\\
0, \text{ если } x = y
\end{cases}
$
порождает туже самую топологию, что и евклидова?

 Профиль  
                  
 
 Re: Эквивалентность топологии
Сообщение24.12.2011, 19:39 


10/02/11
6786
Изображение
$K_0$ это линейное пространство -- поле $K$ над самим собой

 Профиль  
                  
 
 Re: Эквивалентность топологии
Сообщение24.12.2011, 19:47 


14/07/10
206

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich
Я с указанной вами теоремой полностью согласен. Только важное замечание - в условиях теоремы требуется, чтобы $L$ было ТВП. В изначальной теме ничего о согласованности топологии и линейной структуры не сказано. Поэтому, раз нет уточнений, логично считать что метрика может быть любой.
В примере с дискретной метрикой - $\{ 0 \}$ - это открытое множество, а в стандартной топологии это множество не открыто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эквивалентность топологии
Сообщение24.12.2011, 19:50 


10/02/11
6786
MaximVD в сообщении #519347 писал(а):
В изначальной теме ничего о согласованности топологии и линейной структуры не сказано. Поэтому, раз нет уточнений, логично считать что метрика может быть любой.

логично считать, что в линейном пространстве топология согласована с линейной структурой

 Профиль  
                  
 
 Re: Эквивалентность топологии
Сообщение24.12.2011, 20:10 


24/12/11
4
Someone в сообщении #519327 писал(а):
Там же есть оценки типа $A\|\vec a\|_{p_1}\leqslant\|\vec a\|_{p_2}\leqslant B\|\vec a\|_{p_1}$.

Эта оценка для норм является определением эквивалентности норм, а как доказать, что топология одна и та же? Сказали доказывать через определение базы топологии. Если в качестве базы взять множество открытых шаров, то нужно каким то образом связать радиусы этих шаров в каждой из метрик.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эквивалентность топологии
Сообщение24.12.2011, 20:22 


10/02/11
6786

(Оффтоп)

Вот почему я редко влезаю в этот раздел, человеку привели теорему и даже некоторые замечания и пример привели , проясняющее суть теоремы. Он не понимает, какое отношение теорема имеет к его вопросу, и судя по всему, не понимает разницы между метрикой и нормой и какое отношение имеет эквивалентность норм к эквивалентности топологий. Тут нужен кадровый педагог (30 часов в неделю)с железными нервами, чтоб все ти завалы расчищать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эквивалентность топологии
Сообщение24.12.2011, 20:25 


24/12/11
4
Oleg Zubelevich в сообщении #519360 писал(а):

(Оффтоп)

Вот почему я редко влезаю в этот раздел, человеку привели теорему и даже некоторые замечания и пример привели , проясняющее суть теоремы. Он не понимает, какое отношение теорема имеет к его вопросу, и судя по всему, не понимает разницы между метрикой и нормой и какое отношение имеет эквивалентность норм к эквивалентности топологий. Тут нужен кадровый педагог с железными нервами, чтоб все ти завалы расчищать.

Не спорю, так и есть, такой курс был, и даже больше скажу, данная теорема представляет для меня набор незнакомых определений. Если бы понимал как эти вещи соотнести, не обратился бы...

 Профиль  
                  
 
 Re: Эквивалентность топологий, порождаемых разными метриками
Сообщение21.03.2016, 10:20 


10/10/14

54
Russia
TILL
Oleg Zubelevich
Наверное закрою тему:) Ну или закидайте меня пожалуйста...
Пусть $\mu_1,\mu_2$ --- метрики на $X$. Я буду говорить пока про наши рядом положенные вещи, а в конце предложу идеи из задачи темы.
Пусть $\mu_3=\mu_1+\mu_2 \medspace\forall x,y\in X$. Докажем, что метрики $\mu_3$ и $\mu_1$ порождают одинаковые топологии. (Да, кстати, если я не натупил, то можно доказать вот что --- мы же знаем термины сравнения топологий --- можно доказать 2 включения. Одно содержится в другом и наоборот.)
Ну действительно, пусть $B_r^{\mu_3}(x)$--- шар с радиусом понятно каким в какой метрике и откуда. (И сейчас можно не загоняться с открытостью/замкнутостью, ибо можно уменьшить чуть-чуть радиус и замыкнутое множество будет в открытом). Тогда рассмотрим шар меньшего радиуса, например, $\frac{r}{4}$. Тогда все элементы из $B_{\tilda{r}}^{\mu_1}(x)$ лежат внутри исходного шара. (Понимается из $x\ne y$ и аксиомы метрики о вырожденности.) Вот. В одну сторну прокатило.
В другую. (Буковки сохраняются, но значения я буду менять). Пусть $B_{r}^{\mu_1}(x)$ ---понятно какой шар. Пусть теперь $\tilda{r}=\frac{r}{100}$. Тогда даже самые дальные (насколько можно вложить смысл в это слово) точки будут удалены на $\frac{r}{50}$. И $r>\frac{r}{50} \forall r \in \mathbb{R}^+\setminus 0$. Мы победили.
Так же?
Вот ровно также и доказывается в вашем случае, если не загоняться с нормой. А что касается базы в точке, так переведите это всё на базовые окрестности ещё 2 фразами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эквивалентность топологий, порождаемых разными метриками
Сообщение21.03.2016, 10:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
1878
СПб
MaximVD в сообщении #519343 писал(а):
Неужели метрика
...
порождает туже самую топологию, что и евклидова?

Другую. Тоже согласованную с линейной структурой.

На евклидовой свет клином не сошелся.

-- Пн мар 21, 2016 11:01:42 --

lim в сообщении #1108199 писал(а):
Пусть $\mu_3=\mu_1+\mu_2 \medspace\forall x,y\in X$. Докажем, что метрики $\mu_3$ и $\mu_1$ порождают одинаковые топологии

В силу симметричности метрики $\mu_2$ и $\mu_3$ порождают одинаковые топологии.
Следовательно, любые две взятые с потолка метрики $\mu_1$ и $\mu_2$ порождают одинаковые топологии.

Это, конечно, верно в конечномерном пространстве... Но и только. В бесконечномерном случае это уже не так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эквивалентность топологий, порождаемых разными метриками
Сообщение21.03.2016, 11:07 


10/10/14

54
Russia
alcoholist в сообщении #1108204 писал(а):
В бесконечномерном случае это уже не так


А я и не говорю про бесконечномерность:-) Да и по-моему вообще в теме про векторную структуру нет же ничего (а ещё круче --- посмотреть первое сообщение темы:-) ). Зачем её везде пропихивать?) Мы что Единая Россия что ли?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group