TILLOleg ZubelevichНаверное закрою тему:) Ну или закидайте меня пожалуйста...
Пусть

--- метрики на

.
Я буду говорить пока про наши рядом положенные вещи, а в конце предложу идеи из задачи темы.Пусть

. Докажем, что метрики

и

порождают одинаковые топологии. (Да, кстати, если я не натупил, то можно доказать вот что --- мы же знаем термины сравнения топологий --- можно доказать 2 включения. Одно содержится в другом и наоборот.)
Ну действительно, пусть

--- шар с радиусом понятно каким в какой метрике и откуда. (И сейчас можно не загоняться с открытостью/замкнутостью, ибо можно уменьшить чуть-чуть радиус и замыкнутое множество будет в открытом). Тогда рассмотрим шар меньшего радиуса, например,

. Тогда все элементы из

лежат внутри исходного шара. (Понимается из

и аксиомы метрики о вырожденности.) Вот. В одну сторну прокатило.
В другую. (Буковки сохраняются, но значения я буду менять). Пусть

---понятно какой шар. Пусть теперь

. Тогда даже самые дальные (насколько можно вложить смысл в это слово) точки будут удалены на

. И

. Мы победили.
Так же?
Вот ровно также и доказывается в вашем случае, если не загоняться с нормой. А что касается базы в точке, так переведите это всё на базовые окрестности ещё 2 фразами.