TILLOleg ZubelevichНаверное закрою тему:) Ну или закидайте меня пожалуйста...
Пусть
![$\mu_1,\mu_2$ $\mu_1,\mu_2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/5/cb5cd79bb8c6536bb939e53e2bd2e91982.png)
--- метрики на
![$X$ $X$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/f/cbfb1b2a33b28eab8a3e59464768e81082.png)
.
Я буду говорить пока про наши рядом положенные вещи, а в конце предложу идеи из задачи темы.Пусть
![$\mu_3=\mu_1+\mu_2 \medspace\forall x,y\in X$ $\mu_3=\mu_1+\mu_2 \medspace\forall x,y\in X$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/5/7/35713d0f47692d914ef9f4daf9eafc2682.png)
. Докажем, что метрики
![$\mu_3$ $\mu_3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/8/7/587bcf4778172fb367f30631420d1f3a82.png)
и
![$\mu_1$ $\mu_1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/4/c/d4c22567d6bf353815350caad68420a082.png)
порождают одинаковые топологии. (Да, кстати, если я не натупил, то можно доказать вот что --- мы же знаем термины сравнения топологий --- можно доказать 2 включения. Одно содержится в другом и наоборот.)
Ну действительно, пусть
![$B_r^{\mu_3}(x)$ $B_r^{\mu_3}(x)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/2/6/a2695ffced779f66cc66b9938d3bba0082.png)
--- шар с радиусом понятно каким в какой метрике и откуда. (И сейчас можно не загоняться с открытостью/замкнутостью, ибо можно уменьшить чуть-чуть радиус и замыкнутое множество будет в открытом). Тогда рассмотрим шар меньшего радиуса, например,
![$\frac{r}{4}$ $\frac{r}{4}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/8/0/580e1bea1d57ba376c5439e0bed1a54482.png)
. Тогда все элементы из
![$B_{\tilda{r}}^{\mu_1}(x)$ $B_{\tilda{r}}^{\mu_1}(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/e/0/be04c9a3e0b61d489d2ba5caf10ada2382.png)
лежат внутри исходного шара. (Понимается из
![$x\ne y$ $x\ne y$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/a/3/3a3b07df982b88996400b1c703afd9ed82.png)
и аксиомы метрики о вырожденности.) Вот. В одну сторну прокатило.
В другую. (Буковки сохраняются, но значения я буду менять). Пусть
![$B_{r}^{\mu_1}(x)$ $B_{r}^{\mu_1}(x)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/0/9/409e13cffc4d3140f726d113719f015982.png)
---понятно какой шар. Пусть теперь
![$\tilda{r}=\frac{r}{100}$ $\tilda{r}=\frac{r}{100}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/6/c/06cd601044e3777fe4b01eff68d8382f82.png)
. Тогда даже самые дальные (насколько можно вложить смысл в это слово) точки будут удалены на
![$\frac{r}{50}$ $\frac{r}{50}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/5/0d56f321f9128f5f00e6960b851730b082.png)
. И
![$r>\frac{r}{50} \forall r \in \mathbb{R}^+\setminus 0$ $r>\frac{r}{50} \forall r \in \mathbb{R}^+\setminus 0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/1/9/1193d0be8d48e965beee2c2dc2d450d382.png)
. Мы победили.
Так же?
Вот ровно также и доказывается в вашем случае, если не загоняться с нормой. А что касается базы в точке, так переведите это всё на базовые окрестности ещё 2 фразами.