Эквивалентность топологий, порождаемых разными метриками

[TILL]

Как доказать что топологии, пораждаемые на $R^n$ различными метриками, например $p_1$, $p_2$ и $p_∞$, совпадают? Есть мысль доказательства с использованием определения базы, но не могу понять как строго это доказать. Возможно до меня не доходит суть понятия метризации.

[Someone]

Там же есть оценки типа $A\|\vec a\|_{p_1}\leqslant\|\vec a\|_{p_2}\leqslant B\|\vec a\|_{p_1}$.

[Oleg Zubelevich]

Шефер Топологические векторные пространства

[mihailm]

TILL в сообщении #519270 писал(а):

Как доказать что топологии, пораждаемые на $R^n$ различными метриками ...

Никак, не метриками, а нормами

[Oleg Zubelevich]

mihailm в сообщении #519332 писал(а):

TILL в сообщении #519270 писал(а):

Как доказать что топологии, пораждаемые на $R^n$ различными метриками ...

Никак, не метриками, а нормами

и метриками тоже, ссылка дана, образовывайтесь

[MaximVD]

Oleg Zubelevich в сообщении #519337 писал(а):

mihailm в сообщении #519332 писал(а):

TILL в сообщении #519270 писал(а):

Как доказать что топологии, пораждаемые на $R^n$ различными метриками ...

Никак, не метриками, а нормами

и метриками тоже, ссылка дана, образовывайтесь

Неужели метрика
$ \rho(x,y) = \begin{cases} 1, \text{ если } x \ne y,\\ 0, \text{ если } x = y \end{cases} $
порождает туже самую топологию, что и евклидова?

[Oleg Zubelevich]

$K_0$ это линейное пространство -- поле $K$ над самим собой

[MaximVD]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich
Я с указанной вами теоремой полностью согласен. Только важное замечание - в условиях теоремы требуется, чтобы $L$ было ТВП. В изначальной теме ничего о согласованности топологии и линейной структуры не сказано. Поэтому, раз нет уточнений, логично считать что метрика может быть любой.
В примере с дискретной метрикой - $\{ 0 \}$ - это открытое множество, а в стандартной топологии это множество не открыто.

[Oleg Zubelevich]

MaximVD в сообщении #519347 писал(а):

В изначальной теме ничего о согласованности топологии и линейной структуры не сказано. Поэтому, раз нет уточнений, логично считать что метрика может быть любой.

логично считать, что в линейном пространстве топология согласована с линейной структурой

[TILL]

Someone в сообщении #519327 писал(а):

Там же есть оценки типа $A\|\vec a\|_{p_1}\leqslant\|\vec a\|_{p_2}\leqslant B\|\vec a\|_{p_1}$.

Эта оценка для норм является определением эквивалентности норм, а как доказать, что топология одна и та же? Сказали доказывать через определение базы топологии. Если в качестве базы взять множество открытых шаров, то нужно каким то образом связать радиусы этих шаров в каждой из метрик.

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

Вот почему я редко влезаю в этот раздел, человеку привели теорему и даже некоторые замечания и пример привели , проясняющее суть теоремы. Он не понимает, какое отношение теорема имеет к его вопросу, и судя по всему, не понимает разницы между метрикой и нормой и какое отношение имеет эквивалентность норм к эквивалентности топологий. Тут нужен кадровый педагог (30 часов в неделю)с железными нервами, чтоб все ти завалы расчищать.

[TILL]

Oleg Zubelevich в сообщении #519360 писал(а):

(Оффтоп)

Вот почему я редко влезаю в этот раздел, человеку привели теорему и даже некоторые замечания и пример привели , проясняющее суть теоремы. Он не понимает, какое отношение теорема имеет к его вопросу, и судя по всему, не понимает разницы между метрикой и нормой и какое отношение имеет эквивалентность норм к эквивалентности топологий. Тут нужен кадровый педагог с железными нервами, чтоб все ти завалы расчищать.

Не спорю, так и есть, такой курс был, и даже больше скажу, данная теорема представляет для меня набор незнакомых определений. Если бы понимал как эти вещи соотнести, не обратился бы...

[lim]

TILL
Oleg Zubelevich
Наверное закрою тему:) Ну или закидайте меня пожалуйста...
Пусть $\mu_1,\mu_2$ --- метрики на $X$. Я буду говорить пока про наши рядом положенные вещи, а в конце предложу идеи из задачи темы.
Пусть $\mu_3=\mu_1+\mu_2 \medspace\forall x,y\in X$. Докажем, что метрики $\mu_3$ и $\mu_1$ порождают одинаковые топологии. (Да, кстати, если я не натупил, то можно доказать вот что --- мы же знаем термины сравнения топологий --- можно доказать 2 включения. Одно содержится в другом и наоборот.)
Ну действительно, пусть $B_r^{\mu_3}(x)$--- шар с радиусом понятно каким в какой метрике и откуда. (И сейчас можно не загоняться с открытостью/замкнутостью, ибо можно уменьшить чуть-чуть радиус и замыкнутое множество будет в открытом). Тогда рассмотрим шар меньшего радиуса, например, $\frac{r}{4}$. Тогда все элементы из $B_{\tilda{r}}^{\mu_1}(x)$ лежат внутри исходного шара. (Понимается из $x\ne y$ и аксиомы метрики о вырожденности.) Вот. В одну сторну прокатило.
В другую. (Буковки сохраняются, но значения я буду менять). Пусть $B_{r}^{\mu_1}(x)$ ---понятно какой шар. Пусть теперь $\tilda{r}=\frac{r}{100}$. Тогда даже самые дальные (насколько можно вложить смысл в это слово) точки будут удалены на $\frac{r}{50}$. И $r>\frac{r}{50} \forall r \in \mathbb{R}^+\setminus 0$. Мы победили.
Так же?
Вот ровно также и доказывается в вашем случае, если не загоняться с нормой. А что касается базы в точке, так переведите это всё на базовые окрестности ещё 2 фразами.

[alcoholist]

MaximVD в сообщении #519343 писал(а):

Неужели метрика
...
порождает туже самую топологию, что и евклидова?

Другую. Тоже согласованную с линейной структурой.

На евклидовой свет клином не сошелся.

-- Пн мар 21, 2016 11:01:42 --

lim в сообщении #1108199 писал(а):

Пусть $\mu_3=\mu_1+\mu_2 \medspace\forall x,y\in X$. Докажем, что метрики $\mu_3$ и $\mu_1$ порождают одинаковые топологии

В силу симметричности метрики $\mu_2$ и $\mu_3$ порождают одинаковые топологии.
Следовательно, любые две взятые с потолка метрики $\mu_1$ и $\mu_2$ порождают одинаковые топологии.

Это, конечно, верно в конечномерном пространстве... Но и только. В бесконечномерном случае это уже не так.

[lim]

alcoholist в сообщении #1108204 писал(а):

В бесконечномерном случае это уже не так

А я и не говорю про бесконечномерность:-) Да и по-моему вообще в теме про векторную структуру нет же ничего (а ещё круче --- посмотреть первое сообщение темы:-) ). Зачем её везде пропихивать?) Мы что Единая Россия что ли?