Сопряженные пространства (лекции Гельфанд И.М.)

[asclub]

Помогите разобраться:
Гельфанд И.М. - Лекции по линейной алгебре, 5-е изд., Москва, 1998
Страница: 262 и 267



1. Разве 5-ое условие нельзя вывести из предыдущих 4-ех (привлекая аксиомы поля и векторных пространств)? Или я что-то упустил из виду?
2. Зачем нужно 5-ое условие?

[DeBill]

asclub
1. Ну конечно, нет, как это видно из простого примера: пусть $(f,x) = 0$ всегда. Это не противоречит 1-4. Значит, вывести из аксиом - не удастся.
2. А вот для этого и нужно
Можно все немного уточнить. Условие 5 состоит из двух половинок. Первая говорит, что нет тривиально действующих (как в примере) функционалов, кроме нулевого. Это означает, что "их не слишком много" - будь их "много", из их комбинаций мы бы состряпали тривиальный ненулевой. Вторая половина говорит, что их и не слишком мало - в том смысле, что их достаточно, чтобы различить два любых различных вектора (т.е., найти ф-л, принимающий на них разные значения). Так что, по идее, эти половинки - независимые требования. В конечномерном случае, отсюда можно получить и совпадение размерностей. Так что автор чуток перестарался: если изначально потребовать совпадение размерностей, то одну из половинок можно вывести из другой. Попробуйте!

[asclub]

DeBill в сообщении #1102740 писал(а):

asclub
1. Ну конечно, нет, как это видно из простого примера: пусть $(f,x) = 0$ всегда. Это не противоречит 1-4. Значит, вывести из аксиом - не удастся.
2. А вот для этого и нужно
Можно все немного уточнить. Условие 5 состоит из двух половинок. Первая говорит, что нет тривиально действующих (как в примере) функционалов, кроме нулевого. Это означает, что "их не слишком много" - будь их "много", из их комбинаций мы бы состряпали тривиальный ненулевой. Вторая половина говорит, что их и не слишком мало - в том смысле, что их достаточно, чтобы различить два любых различных вектора (т.е., найти ф-л, принимающий на них разные значения). Так что, по идее, эти половинки - независимые требования. В конечномерном случае, отсюда можно получить и совпадение размерностей. Так что автор чуток перестарался: если изначально потребовать совпадение размерностей, то одну из половинок можно вывести из другой. Попробуйте!

Ах вот где шайтан... Сначала Гельфанд всю дорогу рассказывал, что сопряженные пространства - это векторы и линейные функции над этими-же векторами (размерности совпадают). А здесь в 5-ом условии должны быть просто два произвольных пространства никак не связанные.

Спасибо, попробую!

[Munin]

DeBill
А в бесконечномерном случае линейное пространство и его сопряжённое равноправны?

[dsge]

[arseniiv]

Munin
Вы же знаете, что там проблема: $|V^*| > |V|$. В англовики простой пример с последовательностями вещественных чисел с нулями почти везде — счётное число, линейные функции которых могут быть уже всеми последовательностями — их континуум. Вот если считать только непрерывные функционалы (если векторное пространство имеет топологию), может обойтись.

[Munin]

arseniiv в сообщении #1102803 писал(а):

Вы же знаете, что там проблема: $|V^*| > |V|$. :-)

Я даже не знаю, что эти палочки и галочки значат :-)

И попросил мне как раз объяснить.

(Кажется, я с этой просьбой обращаюсь к кому-нибудь с завидной регулярностью уже на протяжении нескольких лет...)

[DeBill]

Munin в сообщении #1102781 писал(а):

DeBill
А в бесконечномерном случае линейное пространство и его сопряжённое равноправны?

Ну, с одной стороны, они живут в разных государствах - так что бы им не считаться равноправными - общих дел, где они бы с кем то третьим взаимодействовали, у них нет. С этой точки зрения, топор, и дерево, которое он рубит - совершенно равноправны: топор рубит, а дерево рубится - и вместе они делают свое общее дело...
Но вот конструкция, описанная выше, призванная совсем выпукло продемонстрировать их равноправие - не прокатит.
Т.е, можно порассуждать в таком духе: пусть есть пара пространств $F,X$ (банаховых), и на их прямом произведении задана билинейная (аксиомы 1-4) форма ("спаривание"), невырожденная (аксиома 5), и непрерывная (ясно, придется это добавить. Потребуем даже $\left\lvert(f,x) \right\rvert \leqslant \left\lVert f \right\rVert \cdot \left\lVert x \right\rVert $ ) Можно ли установить изоморфизм между $F$ и $X^{\ast}$ ? Увы, стандартный пример $l_1$ и $l_{\infty}$ показывает, что это не так. Т.е., наши граждане равны в правах, да. Но некоторые из граждан - более равны....

[arseniiv]

Munin в сообщении #1102822 писал(а):

Я даже не знаю, что эти палочки и галочки значат

Издеваетесъ! Мощность же множества.

[DeBill]

arseniiv
Ну да, я - рефлексы, однако - под сопряженным понимал пространство линейных ОГРАНИЧЕННЫХ функционалов.
И для такого понимания я и сочинял пример. А, еще: под "равноправием" можно понимать "равномощность" -, как Вы сказали, и тут ответ отрицательный , (без непрерывности). Для непрерывных: равномощность, видимо, есть. Тогда можно спросить про "равноразмерность". И ответ все равно "нет": $l_1$ сепарабельно, а сопряженное к нему $l_{\infty}$ - нет. Но можно спросить о равноправии как о чем то эфемерном, типа, ну вот, эти слева, эти справа - равноправны, значить...В таком духе я и воспринял вопрос о равноправии (конкретно: проходит ли схема Гельфанда?). Ответ: нет.

[Mikhail_K]

Munin в сообщении #1102781 писал(а):

А в бесконечномерном случае линейное пространство и его сопряжённое равноправны?

В бесконечномерном случае под сопряжённым пространством понимается пространство именно непрерывных линейных функционалов, а не любых линейных. Потому что в бесконечномерном случае это важно.
Если $X$ - банахово пространство, то $X^*$ - тоже банахово - состоит из всевозможных непрерывных линейных функционалов $f:X\to\mathbb{R}$ с нормой

$$ \|f\|=\sup\limits_{x\in X,x\neq 0}\frac{|f(x)|}{\|x\|}. $$

Но не для всех банаховых пространств $X$ и $X^{**}$ изоморфны. Это верно только для важного класса пространств, называемых рефлексивными. Для таких пространств, можно указать взаимно однозначное отображение $X$ на $X^{**}$, сохраняющее норму. Например, $L_p(a,b)$, $p>1$ рефлексивны, а $C[a,b]$ нерефлексивно. Рефлексивное пространство и сопряжённое к нему можно считать "равноправными" - они получаются друг из друга операцией сопряжения. Все гильбертовы пространства рефлексивны, потому что для них изоморфны даже $X$ и $X^*$.

[arseniiv]

DeBill
Угу. Я написал только про мощность, чтобы на всякий случай не написать чего-нибудь неверного. С мощностями-то вопрос простой…

[Munin]

В общем, я понял только "всё плохо" :-(

DeBill говорит про ограниченные линейные функционалы.
Mikhail_K говорит про непрерывные линейные функционалы.
Кроме того, мешок разных примеров пространств (с которыми я не знаком).

В общем, всем спасибо, я пополз обратно в свою норку... (где arseniiv палочками, галочками и ёршиками не побьёт...)

-- 28.02.2016 17:41:14 --

(Оффтоп)

Mikhail_K в сообщении #1102845 писал(а):

$$ \|f\|=\mathop{\operatorname{whazzup}}\limits_{bro\mathit{?}}\frac{|f(x)|}{\|x\|}. $$

[DeBill]

Mikhail_K в сообщении #1102845 писал(а):

Рефлексивное пространство и сопряжённое к нему можно считать "равноправными" - они получаются друг из друга

А, вот хорошая формулировка "равноправности". А то в схеме Гельфанда она какая-то не очень убедительная.

-- 28.02.2016, 18:43 --

Munin
Аа, для линейных, ограниченный и непрерывный - все едино...

[Mikhail_K]

Munin в сообщении #1102863 писал(а):

В общем, я понял только "всё плохо"

я пополз обратно в свою норку... (где arseniiv палочками, галочками и ёршиками не побьёт...)

или ползите к Колмогорову и Фомину. Чтобы стало всё хорошо :)