Недоопределённая и несовместная СЛАУ

[Alik]

Недоопределённая СЛАУ определяется как система, где количество неизвестных больше, чем количество линейно независимых уравнений. Такая СЛАУ имеет бесконечное количество решений. Однако, некоторые англоязычные источники рассматривают также случай недоопределённой и несовместной СЛАУ. Например

$$ \begin{cases} x_1+x_2+x_3=1\\ x_1+x_2+x_3=0 \end{cases} $$

Можно ли привести другой, более общий пример? Как выглядит reduced row echelon form для недоопределённой и несовместной СЛАУ?

[gris]

Недоопределённая СЛАУ не может иметь единственного решения. Это однородная недоопределённая обязательно имеет бесконечное число решений. Вообще тут проще иметь дело с рангами.
Мне такой пример нравится:
$\left[ \begin{array}{cccccc}1 & 0 & 0 & 0 & 0& |1 \\0 & 1 & 0 & 0 & 0& |1 \\0 & 1 & 0 & 0& 0& |0\end{array} \right]$

[Otta]

Alik в сообщении #1093784 писал(а):

Однако, некоторые англоязычные источники рассматривают также случай недоопределённой и несовместной СЛАУ.

Не, ну можно подумать, русскоязычные источники обходят его стороной. ))

Alik в сообщении #1093784 писал(а):

Можно ли привести другой, более общий пример?

Любая система, ранг матрицы которой строго меньше ранга расширенной матрицы.

[Alik]

Да, есть теорема Кронекера-Капелли о рангах. Для случая выше ранг матрицы коэффициентов - единица, ранг расширенной матрицы - два. Решений нет, теорема работает, но система недоопределённая...

[gris]

Просто само слово пакостное. Совершенно неполиткорректно называть систему недоопределённой. Можно неопределённой. А в этом "недо" слышится недоразвитость, недостойность. Интересно, оно есть в приличном учебнике по вышке?

[Alik]

Модифицирую вопрос. Допустим есть совместная переопределенная система из $m$ уравнений с $n$ неизвестными. Каким-либо способом мы находим и вычеркиваем $m-n$ линейно-зависимых уравнений и остаемся с квадратной системой. Понятно, что если в правой части изменить хотя бы одно число, система скорей всего станет несовместной. Однако она осталась определенной, число уравнений равно числу неизвестных. Как преобразовать совместную переопределенную систему к несовместной и недоопределённой?

[svv]

Alik в сообщении #1093861 писал(а):

Понятно, что если в правой части изменить хотя бы одно число, система скорей всего станет несовместной.

Что Вы, если в результате вычёркивания получилась система с квадратной матрицей ($n\times n$) полного ранга ($\operatorname{rank}A=n$, все строки линейно независимы), так она при любой правой части $b$ будет иметь ровно одно решение $x=A^{-1}b$.

[Alik]

svv в сообщении #1093865 писал(а):

она при любой правой части $b$ будет иметь ровно одно решение $x=A^{-1}b$.

А как же Кронекер, а особенно Капелли с рангом расширенной матрицы?

[svv]

Смотрите: если ранг нашей квадратной матрицы порядка $n$ равен $n$, то, приписав к ней столбец свободных членов, мы её ранг уменьшить не можем (так как ненулевой минор $n$ порядка у нас уже есть). С другой стороны, этим мы её ранг не можем и увеличить, так как ранг матрицы не превосходит количества её строк. Таким образом, ранг основной матрицы равен рангу расширенной (оба $n$), чего и жаждет теорема Кронекера-Капелли.

-- Вс янв 24, 2016 16:17:29 --

svv в сообщении #1093868 писал(а):

так как ранг матрицы не превосходит количества её строк

Или, лучше: так как в матрице $n\times(n+1)$ миноров порядка $n+1$ просто не существует, ни нулевых, ни не.

[Alik]

Спасибо. Я, к сожалению, не встречал такого популярного объяснения в литературе. Тогда превратим совместную квадратную систему в несовместную определенную по другому. Возьмем произвольный столбец и вычтем из правой части. Вопрос остается: какие манипуляции нужно произвести чтобы получить несовместную и недоопределённую систему?

[svv]

Alik в сообщении #1093871 писал(а):

Возьмем произвольный столбец и вычтем из правой части.

Это одно из классических преобразований матрицы (в данном случае расширенной), не меняющих её ранг. (Да и не станет ранг расширенной матрицы меньше ранга основной, а основную Вы не меняете.) Так что — надо что-то делать с основной матрицей. Пока она квадратная и невырожденная, решение будет единственным при любой правой части.

[Alik]

Alik в сообщении #1093871 писал(а):

Возьмем произвольный столбец и вычтем из правой части.

Я имел ввиду заберем (вычеркнем) его из матрицы матрицы коэффициентов и заодно вычтем из правой части. Т.е. просто одно из неизвестных сделаем константой (единичкой).

[svv]

Да, у Вас получится несовместная система, за исключением случая, когда до вычеркивания и вычитания $\ell$-го столбца неизвестная $x_\ell=1$ в единственном решении.

Можно просто вычеркнуть $\ell$-й столбец и ничего не вычитать из правой части. Тогда несовместная система получится, если только до вычеркивания в решении не было $x_\ell=0$.

[Alik]

Спасибо, строгая формулировка - очень важная вещь. Я тем временем нашел некоторые примеры row echelon form
https://people.math.osu.edu/kwa.1/notes/571_1.2.pdf
хотя не уверен, что это поможет в "синтезе" нужной системы.

[AV_77]

Берете любую недоопределенную систему и добавляете к ней уравнение вида $0 = 1$. Получится несовместная система. Если хочется более "сложного" вида, то дополнительно преобразуйте систему линейными преобразованиями.