Мне уже неловко всё время какие-то неприятности показывать, но в этом новом случае опять есть проблема. Если матрица

системы имела размер

, а к ней дописали нулевую строку, ранг полученной квадратной матрицы

останется

. Таким же будет и ранг

. Далее, ранг произведения матриц не превышает ранга каждого из сомножителей. Следовательно, произведение хоть

, хоть

будет вырожденной матрицей, и у неё не будет обратной. То есть надежды на единственное решение системы с такими матрицами нет.
Например, пусть исходная матрица

Дописываем нулевую строку
и находим
,
а также
У обеих последних матриц определитель равен

.