Недоопределённая и несовместная СЛАУ

[Alik]

$0 = 1$ имеется ввиду нулевая строка?

[AV_77]

Коэффициенты при переменных нулевые, а свободный член равен единице.

[Alik]

Поэкспериментировал с Вашим способом, AV_77 и у меня возник очередной вопрос. Пусть матрица $A$ содержит нулевую строку, а вектор $b$ единицу. Попытаемся найти решение системы по наименьшим квадратам. Поскольку неизвестных больше, чем уравнений, нужно домножать матрицу справа, т.е. решить $AA^Ty=b$, а затем подставить $x=A^Ty$. Оба неизвестных вектора $y$ и $x$ можно получить из системы

$$\begin{pmatrix}-I&A^T\\ A&0\end{pmatrix}\left(\begin{array}{c}y\\ x\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ b\end{array}\right)$$

Однако, эта система благодаря нулевой строке несовместная. Вопрос: как произвести синтез так, чтобы получилась совместная система?

[svv]

Alik в сообщении #1093990 писал(а):

неизвестных больше, чем уравнений

Поясните, почему? Была система с квадратной матрицей, дописали одно уравнение.

[Alik]

Вы правы. В этом случае нужно домножать слева, тогда получаем Bjorck system
http://web.ornl.gov/info/reports/1983/3445600220115.pdf
которая по идее должна иметь единственное решение. Синтезированная матрица дает бесконечно много решений.

[svv]

Alik в сообщении #1094174 писал(а):

которая по идее должна иметь единственное решение

Причём то самое, которое имела система с исходной квадратной матрицей, если та была невырожденной.

Если у нас была квадратная невырожденная матрица $A$ размера $n\times n$ и правая часть $b$, а после дописывания уравнения $0=1$ получилась матрица $\tilde A$ размера $(n+1)\times n$ и правая часть $\tilde b$, то несложно показать, что
$\begin{array}{l}\tilde A^T \tilde A=A^T A\\ \tilde A^T \tilde b=A^T b\end{array}$
Ну, а система $A^T A x = A^T b$ имеет то же решение (при оговоренных условиях на матрицу $A$), что и система $Ax=b$.

[Alik]

Открыл вчерашний Матлаб, извиняюсь, у меня несовместная система из двух уравнений, с тремя неизвестными, добавляя нулевую строку получаем квадратную систему. Поэтому можно домножать и слева и справа.

[svv]

Мне уже неловко всё время какие-то неприятности показывать, но в этом новом случае опять есть проблема. Если матрица $A$ системы имела размер $2\times 3$, а к ней дописали нулевую строку, ранг полученной квадратной матрицы $\tilde A$ останется $2$. Таким же будет и ранг $\tilde A^T$. Далее, ранг произведения матриц не превышает ранга каждого из сомножителей. Следовательно, произведение хоть $\tilde A^T \tilde A$, хоть $\tilde A \tilde A^T$ будет вырожденной матрицей, и у неё не будет обратной. То есть надежды на единственное решение системы с такими матрицами нет.

Например, пусть исходная матрица
$A=\begin{bmatrix}1&2&5\\-2&1&3\end{bmatrix}$
Дописываем нулевую строку
$\tilde A=\begin{bmatrix}1&2&5\\-2&1&3\\0&0&0\end{bmatrix}$
и находим
$\tilde A^T \tilde A=\begin{bmatrix}5&0&-1\\0&5&13\\-1&13&34\end{bmatrix}$,
а также
$\tilde A \tilde A^T=\begin{bmatrix}30&15&0\\15&14&0\\0&0&0\end{bmatrix}$
У обеих последних матриц определитель равен $0$.

[Alik]

Спасибо большое, svv! По поводу

svv в сообщении #1094209 писал(а):

...надежды на единственное решение...

А что если скопировать одну из имеющихся строк вниз и приравнять к другому числу? Заранее извиняюсь за наивность подхода, просто я сначала пытаюсь понять что та или иная манипуляция будет означать у меня в физике.

[svv]

Alik в сообщении #1094213 писал(а):

А что если скопировать одну из имеющихся строк вниз

Определитель, у которого две одинаковые строки, равен нулю. Так что такая матрица всё равно будет вырожденной, а система наверняка не будет иметь единственного решения (если вообще будет их иметь).

Может, Вы приведёте физическую задачу?

[Alik]

В физической задаче система решается итеративно, причем как для переопределенной системы несовместной системы так и для недоопределенной совместной с бесконечным количеством решений итерации сходятся к наименьшим квадратам. Я бы проверил случай недоопределенной и несовместной системы, но ее сначала нужно придумать.

[svv]

Но — одно из двух: или система уравнений обусловлена физической ситуацией, или Вы сами её придумываете, верно? Физика только первое, второе математика.

[Alik]

Да, физика - первое, но эта физика приводит к проекционному методу, в который можно подставлять матрицы "от балды".