Двойной интеграл

[Dmitri2016]

GAA в сообщении #1084990 писал(а):

Задачу из стартового сообщения можно найти в
Виленкин Н.Я., Бохан К.А., Марон И.А. и др. Задачник по курсу математического анализа. Часть II. / Под. ред. Н.Я. Виленкина. — М.: Просвещение, 1971 (djvu).

В этой книге это задача 76.6 главы 1 раздела 6 (Интегральное исчисление функций нескольких переменных). В электронной версии по ссылке есть скобки, но степень пропущена. (В бумажную книгу не смотрел. «Исходя из размерности» степень должна быть второй.) В условии оговаривается: $a > b$. Поэтому ответ на вопрос предыдущего сообщения очевиден.

В указании к задаче сказано: «перейти к полярным координатам». Несмотря на то, что преобразования достаточно утомительные, принципиальных затруднений при решении я не встретил.

Dmitri2016, поскольку при решении нет принципиальных затруднений, Вы бы привели своё решение задачи до того места, где застопорились. Хотя бы при какой-нибудь замене.

Я не могу упростить выражение $\frac{a^2b^2}{b^2\cos^2\varphi+a^2\sin^2\varphi}-(a^2-b^2)\cos^22\varphi$

[GAA]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:
- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу math» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

-- Ср 23.12.2015 23:34:02 --

Dmitri2016, редактируйте последнее сообщение. Остальные сообщения заблокированы во избежание случайного редактирования, которое может привести к нарушению логики развития темы.

-- Ср 23.12.2015 23:43:47 --

Я использовал систему координат $x=\rho \cos \varphi$, $y=\rho \sin \varphi$. (Просто делал прямо по указанию из сборника задач.)

После интегрирования по $\rho^2$ я получил интегралы: один из них интегрируется дифференцированием по параметру, второй — интеграл Лобачевского, третий — тривиальный табличный.

Ответ в учебнике правильный. :)

-- Ср 23.12.2015 23:52:58 --

И ещё. Я учел симметрию задачи (замена $x$ на $-x$, как и $y$ на $-y$, не изменяет ни уравнение границы области, ни подынтегральную функцию): интегрировал по $\varphi$ от нуля до $\pi/2$ и результат умножил на 4.

[Lia]

Dmitri2016
Строгое предупреждение за двойную регистрацию. Второй аккаунт Decart заблокирован бессрочно.