Задачи Теорвер

[Mitrofan]

Если ряд $\sum C_n^2%$ расходится, то $\sum C_n^2M((\xi_n)^2) $ расходится $\Rightarrow$ $\sum \xi_nC_n$ расходится.

Возможно, у меня уже каша в голове и надо проспаться, смотрите:

Пусть есть два утверждения $P$ и $Q$
Доказать $P\Leftrightarrow Q$ можно c помощью одного из двух достаточных и одного из двух необходимых.
$\Rightarrow$
P достаточно для Q
¬Q достаточно для ¬P
$\Leftarrow$
Q необходимо для P
¬P необходимо для ¬Q

В моем доказательстве я использовал "Q необходимо для P" и "¬Q достаточно для ¬P".
Я что-то не так понимаю?

[Otta]

Mitrofan в сообщении #1077552 писал(а):

Если ряд $\sum C_n^2%$ расходится, то $\sum C_n^2M((\xi_n)^2) $ расходится

Уже нет.

(Оффтоп)

Надо, да. Спите. :)

Ничего сложного, надо выспаться и отвлечься заодно.

[Mitrofan]

Otta в сообщении #1077553 писал(а):

Mitrofan в сообщении #1077552 писал(а):

Если ряд $\sum C_n^2%$ расходится, то $\sum C_n^2M((\xi_n)^2) $ расходится

Уже нет.

$\sum C_n^2M((\xi_n)^2) $
Имеет место неопределенность: (расходящаяся последовательность - [($C_n^2$) $\cdot$ ($M((\xi_n)^2$)] - сходящаяся) и не ясно как поведет себя сумма этого произведения?

[Otta]

Какой ряд Вы оцениваете каким? Про сходимость (расходимость) большего или меньшего Вы сейчас решили говорить? Какие выводы делаете? На основании чего?

(Оффтоп)

Вощим, спать идите ))

-- 28.11.2015, 06:05 --

Mitrofan
Оставьте эту привычку править свои сообщения после того, как Вам ответили. Так и ответ непонятен, и Ваш новый текст может остаться незамеченным. Так не делается.

Дело не в этом. Такой ситуации не может быть. Почти никогда. Завтра дорешаете. Не забудьте вспомнить о том, что последовательность состоит из одинаково распределенных с.в. Но завтра. Спокойной ночи.

[Mitrofan]

...Не знаю как подойти к решению, дальше рассуждения написаны скорее для себя.

(Оффтоп)

Цитата:

Пусть $\xi_1,\xi_2$, ... последовательность независимых одинаково распределенных ограниченных случайных величин с нулевыми математическими ожиданиями.
Доказать, что ряд $\sum {C_n\xi_n}$, где $C_1$,$C_2$,... последовательность вещественных чисел почти наверное сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд $\sum {C_n^2}$.



Доказательство:
Ряд $\sum \xi_nC_n$ сходится, если $\sum M(\xi_nC_n)$ и $\sum D(\xi_nC_n)$ сходятся.

$\sum M(\xi_nC_n)=\sum M(\xi_n)C_n=\sum 0C_n=0$ $\Rightarrow$ сходится.

$\sum D(\xi_nC_n)=\sum M([\xi_nC_n-M(\xi_nC_n)]^2)=\sum M([\xi_nC_n]^2)=\sum M((\xi_n)^2(C_n)^2)=$

$=\sum (C_n)^2M((\xi_n)^2)$(Так как $C_n$ последовательность чисел не являющихся случайными величинами)

Поскольку $\xi_n$ ограниченные независимые одинаково распределенные случайные величины с нулевыми матожиданиями, то существуют:

$a: -\infty<a<0$ и $b: 0<b<+\infty$, такие, что $a<\xi_n<b$ и, следовательно, $0<M((\xi_n)^2) <\infty$.

Пусть существует $q=(\max(|a|;|b|))^2$

Тогда $M(\xi_n^2)<q$ для всех $n$ и $\sum C_n^2M(\xi_n^2)<\sum q(C_n)^2$

$\sum C_n^2M((\xi_n)^2) $ сходится, когда сходится $\sum qC_n^2 $, ($\sum qC_n^2$ сходится тогда и только тогда, когда сходится $\sum C_n^2$)

Достаточность доказана. Докажем необходимость: доказать что сходится $\sum C_n^2$ если сходится $\sum C_n\xi_n$.

-- 29.11.2015, 01:12 --

Ааа, точно в теореме Колмогорова описывается и необходимое, и достаточное условие, сейчас накидаю.

-- 29.11.2015, 01:23 --

Для сходимости с вероятностью единица ряда $\sum \xi_n$ из независимых случайных величин достаточно, чтобы одновременно сходились два ряда: $\sum M \xi_n$ и $\sum D \xi_n$. Если к тому же $\sum P(|\xi_n| \leqslant c) =1$, $n \geqslant 1$, то это условие является и необходимым.

-- 29.11.2015, 01:32 --

Проверим: $\sum P(|C_n\xi_n| \leqslant c) =1,c<\infty $

[Mitrofan]

(Оффтоп)

Сейчас я напишу очередную глупость.

Проверим: Для того, чтобы $\sum P(|C_n\xi_n| \leqslant c) =1,c<\infty $. достаточно чтобы $P(|C_n\xi_n| \leqslant c) =1$ для $i\in n$.
$|C_i\xi_i|<|\sqrt{q}C_i|<c$.
Поскольку $C_n$ последовательность вещественных чисел, то $C_i$ - не случайная величина, а конкретное вещественное число, $C_i<\infty$ и существует $c$, такая, что $|C_i\xi_i|<|\sqrt{q}C_i|<c$ вероятностью 1.
$\sum P(|C_n\xi_n| \leqslant c) =1$
Доказана необходимость.

[Otta]

Mitrofan
Кажется, Вы собирались теоремой о двух рядах пользоваться. Откуда же у Вас ряд из вероятностей?
Вам нужна просто равномерная ограниченность последовательности $C_n\xi_n$. Сделайте ее поубедительнее, пожалуйста, пока не убеждает.

[Mitrofan]

Нам нужно проверить, что $\sum P(|C_n\xi_n| \leqslant c) =1,c<\infty $
Значит ли это, что нам нужно доказать, что $|C_n\xi_n| \leqslant c$ для всех $n\geqslant 1$?


Проверим:
$P(|C_n\xi_n| \leqslant c) =1$ для $i\in n$.
Поскольку $C_n$ последовательность вещественных чисел, то $C_i$ - не случайная величина, а конкретное вещественное число, $C_i<\infty$ и существует $c_i$, такая, что $|C_i\xi_i|<|\sqrt{q}C_i|<c_i$ вероятностью 1, $q=(\max(|a|;|b|))^2$
Однако $C_n$ не является ограниченной и $\lim\limits_{n\to \infty}|C_n| =\infty$
И не существует такой $c<\infty$ чтобы $\sum P(|C_n\xi_n| \leqslant c) =1$

Что-то опять не так.

[--mS--]

Mitrofan в сообщении #1077828 писал(а):

Нам нужно проверить, что $\sum P(|C_n\xi_n| \leqslant c) =1,c<\infty $

Эту чушь Вы откуда взяли? Не иначе, из википедии. Откройте задачник, решения из которого приводили, и в начале той же главы прочтите теорему о двух рядах.

[Mitrofan]

Вот в чем дело. Да, поищу. К сожалению, крайне мало информации про эту теорему в интернете.

[Mitrofan]

Если $\sup\limits_{n} P(|C_n\xi_n|>c) =0,c>0 $, то
"Если $\sum \xi_nC_n$ сходится, если $\sum M(\xi_nC_n)$ и $\sum D(\xi_nC_n) $ сходятся" - необходимое условие.
То есть нужно доказать, что не существует такой $c>0$, что $|C_n\xi_n| > c$ для всех $n\geqslant 1$

Тут возникает вопрос.
Известно, что $\xi_1,\xi_2$, ... последовательность независимых одинаково распределенных ограниченных случайных величин с нулевыми математическими ожиданиями. А что, если в последовательности $C_n$ не будет $C_i=0$ и график распределения вероятности выглядит подобным образом:

(Оффтоп)

Тогда существует $c>0$ бесконечно близкое к 0 такое, что $\sup\limits_{n} P(|C_n\xi_n|>c) =1$.
Выходит, что это необходимое условие мы использовать не можем. Что же делать-то ><.

[--mS--]

Посмотрите решение следующей задачи 6.47.

[Mitrofan]

(Оффтоп)

Докажем необходимость.
Пусть $f(t)$ - характеристическая функция случайной величины $\xi_n$ и $g_n(t)$ - характеристическая функция случайной частичной суммы ряда $\sum\limits_{k=1}^{n} C_k\xi_k$.
Если ряд $\sum\limits_{k=1}^{n} C_k\xi_k$ почти наверное сходится, то $g_n(t)$ сходится к непрерывной в нуле функции.
Имеем $g_n(t)=\prod\limits_{n=1}^{\infty}f(C_kt)$.
Пусть $\sum\limits_{n=1}^{\infty} C_n^2=\infty$.
Существуют положительные $\delta$, $\varepsilon$ (См. задачу 4.119), такие, что $|f(t)|\leqslant 1-\varepsilon t^2 \leqslant e^{-\varepsilon t^2}$ при $|t| \leqslant \delta$, поэтому $|g_n(t)|\leqslant e^{-\varepsilon t^2(\sum\limits_{k=1}^{n} C_k^2)}$ и, следовательно, $g_n(t) \to 0$ при $|t|\leqslant \delta$,$ t\ne 0$ и $g_n(0) \to 1$. Противоречие.

Пост будет дополняться

[Mitrofan]

Подходит к моей задаче

Цитата:

Докажем необходимость.
Пусть $f(t)$ - характеристическая функция случайной величины $\xi_n$ и $g_n(t)$ - характеристическая функция случайной частичной суммы ряда $\sum\limits_{k=1}^{n} C_k\xi_k$.
Если ряд $\sum\limits_{k=1}^{n} C_k\xi_k$ почти наверное сходится, то $g_n(t)$ сходится к непрерывной в нуле функции.
Имеем $g_n(t)=\prod\limits_{n=1}^{\infty}f(C_kt)$.
Пусть $\sum\limits_{n=1}^{\infty} C_n^2=\infty$.
Существуют положительные $\delta$, $\varepsilon$, такие, что $|f(t)|\leqslant 1-\varepsilon t^2 \leqslant e^{-\varepsilon t^2}$ при $|t| \leqslant \delta$, поэтому $|g_n(t)|\leqslant e^{-\varepsilon t^2(\sum\limits_{k=1}^{n} C_k^2)}$ и, следовательно, $g_n(t) \to 0$ при $|t|\leqslant \delta$,$ t\ne 0$ и $g_n(0) \to 1$. Противоречие.

Не понимаю чем обосновано утверждение:
$|f(t)|\leqslant 1-\varepsilon t^2 \leqslant e^{-\varepsilon t^2}$ при $|t|\leqslant \delta$

-- 30.11.2015, 01:22 --

Понял, дело в скорости убывания функций.

-- 30.11.2015, 01:30 --


Полное решение:
Пусть $\xi_1,\xi_2$, ... последовательность независимых одинаково распределенных ограниченных случайных величин с нулевыми математическими ожиданиями.
Доказать, что ряд $\sum {C_n\xi_n}$, где $C_1$,$C_2$,... последовательность вещественных чисел почти наверное сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд $\sum {C_n^2}$.



Докажем достаточность.
Ряд $\sum \xi_nC_n$ сходится, если $\sum M(\xi_nC_n)$ и $\sum D(\xi_nC_n)$ сходятся.

$\sum M(\xi_nC_n)=\sum M(\xi_n)C_n=\sum 0C_n=0$ $\Rightarrow$ сходится.

$\sum D(\xi_nC_n)=\sum M([\xi_nC_n-M(\xi_nC_n)]^2)=\sum M([\xi_nC_n]^2)=\sum M((\xi_n)^2(C_n)^2)=$

$=\sum (C_n)^2M((\xi_n)^2)$(Так как $C_n$ последовательность чисел не являющихся случайными величинами)

Поскольку $\xi_n$ ограниченные независимые одинаково распределенные случайные величины с нулевыми матожиданиями, то существуют:

$a: -\infty<a<0$ и $b: 0<b<+\infty$, такие, что $a<\xi_n<b$ и, следовательно, $0<M((\xi_n)^2) <\infty$.

Пусть существует $q=(\max(|a|;|b|))^2$

Тогда $M(\xi_n^2)<q$ для всех $n$ и $\sum C_n^2M(\xi_n^2)<\sum q(C_n)^2$

$\sum C_n^2M((\xi_n)^2) $ сходится, когда сходится $\sum qC_n^2 $, ($\sum qC_n^2$ сходится тогда и только тогда, когда сходится $\sum C_n^2$)


Докажем необходимость.
Пусть $f(t)$ - характеристическая функция случайной величины $\xi_n$ и $g_n(t)$ - характеристическая функция случайной частичной суммы ряда $\sum\limits_{k=1}^{n} C_k\xi_k$.
Если ряд $\sum\limits_{k=1}^{n} C_k\xi_k$ почти наверное сходится, то $g_n(t)$ сходится к непрерывной в нуле функции.
Имеем $g_n(t)=\prod\limits_{n=1}^{\infty}f(C_kt)$.
Пусть $\sum\limits_{n=1}^{\infty} C_n^2=\infty$.
Существуют положительные $\delta$, $\varepsilon$, такие, что $|f(t)|\leqslant 1-\varepsilon t^2 \leqslant e^{-\varepsilon t^2}$ при $|t| \leqslant \delta$, поэтому $|g_n(t)|\leqslant e^{-\varepsilon t^2(\sum\limits_{k=1}^{n} C_k^2)}$ и, следовательно, $g_n(t) \to 0$ при $|t|\leqslant \delta$,$ t\ne 0$ и $g_n(0) \to 1$. Противоречие.
$\sum\limits_{n=1}^{\infty} C_n^2$ сходится.

[--mS--]

Предлагаю Вам выяснить всё-таки:
1) что означает "одинаково распределённые случайные величины", чем отличается $\mathsf M(\xi_1^2)$ от $\mathsf M(\xi_{17}^2)$;
2) какими свойствами обладают математические ожидания и дисперсии: как связаны $\mathsf D(c\xi)$ и $\mathsf D\xi$, $\mathsf M(c\xi)$ и $\mathsf M\xi$
и убрать из доказательства достаточности всё лишнее.

К тому же я думаю, что ссылка на теорему о двух рядах, которой у Вас явно не было, будет незаконной в решении. Может быть теперь, после доказательства необходимости, найдёте в главе 4 нужную тривиальную оценку для модуля характеристической функции и с другой стороны, как это сделано в задаче 6.44? Или, что вообще не требует никаких нестандартных знаний, неравенство Чебышёва примените к хвосту ряда из $C_n\xi_n$?