Для первых двух достаточно проверить является ли
![$e^{ix}$ $e^{ix}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/f/fff7dd8019286a00e5b8ea9c465316ee82.png)
характеристической. Можно по определению, можно воспользоваться фактом, что характеристические фун-ии совпадают с классом непрерывных положительно опредленных фун-ий с соответствующей нормировкой и воспользоваться их опредлением.
![$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{ix} e^{-ixt}\,dx.=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{i(1-t)x} \,dx=\lim_{A\to -\infty \;\;B\to +\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}i(1-t)}e^{i(1-t)x} \,\Bigg|_{A}^{B}=$ $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{ix} e^{-ixt}\,dx.=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{i(1-t)x} \,dx=\lim_{A\to -\infty \;\;B\to +\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}i(1-t)}e^{i(1-t)x} \,\Bigg|_{A}^{B}=$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/e/8/be8c8a3d8eb5ff6cce307e93f21b58d982.png)
![$=\displaystyle\lim_{A\to -\infty \;\;B\to +\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}i(1-t)}e^{i(1-t)B} -\frac{1}{\sqrt{2\pi}i(1-t)}e^{i(1-t)B} \right)=??$ $=\displaystyle\lim_{A\to -\infty \;\;B\to +\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}i(1-t)}e^{i(1-t)B} -\frac{1}{\sqrt{2\pi}i(1-t)}e^{i(1-t)B} \right)=??$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/9/0/d907097fe9fe25ad1f47f89ca0c6f2bc82.png)
Если бы смотрели в смысле главного значения, получилось бы
![$\displaystyle\lim_{A\to +\infty }\frac{2}{\sqrt{2\pi}(1-t)}\sin((1-t)A)$ $\displaystyle\lim_{A\to +\infty }\frac{2}{\sqrt{2\pi}(1-t)}\sin((1-t)A)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/9/d/d9ded8c508d66acd4b12cbb04fe56c6282.png)
Получается, что оба предела не существуют.
Сейчас попробую разобраться с равномерной непрерывностью, теоремой Бохнера-Хинчина подробнее. Пока что сходу не сразу получается обосновать свои догадкию постараюсь в течение получаса разобраться)
-- 29.11.2015, 00:54 --Проверим, является ли
![$\cos x$ $\cos x$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/d/ddd14aa9553c74dae1ce168fc18abc5d82.png)
неотрицательно определенной (то есть нужно проверить равенство).
![$$
\forall n \ \forall t_1, \ldots, t_n \in \mathbb{R}, \ \forall z_1, \ldots, z_n \in \mathbb{C} \ \sum_{i, j =1}^n \cos(t_i-t_j) z_i \overline{z_j} \ge 0.
$$ $$
\forall n \ \forall t_1, \ldots, t_n \in \mathbb{R}, \ \forall z_1, \ldots, z_n \in \mathbb{C} \ \sum_{i, j =1}^n \cos(t_i-t_j) z_i \overline{z_j} \ge 0.
$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/5/e/85e116fe7e576d64b43e18c847f632c082.png)
Стало ясно, что я не понимаю -- что значит неотрицательная определенность. Я даже почитал тему
topic49431.html, но и там ничего не понял.
Первое, что меня смущает, так это то, что может оказаться, что
![$z_i \overline{z_j}\in \mathbb{C}$ $z_i \overline{z_j}\in \mathbb{C}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/c/2/6c25dfee0752bd3cd0020754b0eee7de82.png)
. Тогда
![$ \sum_{i, j =1}^n \cos(t_i-t_j) z_i \overline{z_j} $ $ \sum_{i, j =1}^n \cos(t_i-t_j) z_i \overline{z_j} $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/3/5/2350624ce407853263ba177aed99e48482.png)
несравнима с нулем, потому как нельзя сравнивать комплексные числа...